2024-2025学年河北省邢台市高二年级上册第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.经过4(2,—3),8(—1,爪)两点的直线的一个方向向量为(1,—3),则爪=()

A.3B.4C,5D.6

2.已知点M是点N(6,7,8)在坐标平面xOz内的射影，则|加|=()

A.A/85B.10C.V113D.100

3.已知直线珀勺两点式为三§=则()

□—yz—o

A.直线1经过点(5,2)B.直线1的斜截式为x=|y-y

C.直线1的倾斜角为锐角D.直线1的点斜式为y-2=|(x-5)

4.已知向量Z=(1,2,-1)%=(2,0,1),则向量/在向量刃上的投影向量为()

A.节B.一争C.争D.一至

5.经过点P(-2,0)作直线2,若直线/与连接4(2,4),B(l,-4)两点的线段总有公共点，则直线I的倾斜角的取

值范围是()

A.烁用c」O,Ru售，兀)D」0百U管，兀)

6.空间内有三点P(3,l,—4),E(2,1,1),F(1,2,2),则点P到直线EF的距离为()

A.灰B.3避C.V3D.2^/3

7.在三棱锥P-4BC中，G为-ABC的重心，~PD=APA^PE=fiPB^PF=^PC,A，nE(0,1),p

若PG交平面DEF于点M,且丽=那，贝！U+〃的最小值为()MN

8.在直四棱柱ZBCD—aiBiCg中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD.AD=DC=BC=2,AB=公

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D哥

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若值£2｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()

-»—>—>—>—»-»—>—>—>—»—>—>

A.a—b,b+c,c—aB.a—c,b—c,a—b

—>—>—>—>—»—»—>—>—>——>—>

C.b—a,a—b—c,cD.a,b—a,c—b

10.已知直线I经过点(-2,-1),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线I的方程可能是()

A.x-y+1=0B.x+y+3=0C.2x+y+5=0D.x-2y=0

11.在长方体4BCD—中，AB=4,AD==6,P为长方体ABC。-218停1。1表面上一动点，贝U

西•南的值可能是()

A.-15B.-10C.-5D.2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知“BC的三个顶点A(-6,3),B(2,5),C(7,—4),则边4B的中线所在直线的一般式为.

13.已知直线(2m-4)x-(ni+3)y+m+8=0经过定点P,贝UP的坐标为.

14.在三棱锥P—4BC中建立空间直角坐标系后，得至IM(1,1,1),B(2,O,1),C(1,O,2),P(3,2,4),贝U三棱锥P—ABC

的体积为,三棱锥P-4BC外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

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已知直线/的倾斜角为百，在久轴上的截距为2.

(1)若直线。经过点P(2,-避),Q(3,0),求/的斜截式方程，并判断A与I是否平行；

(2)若直线6的一般式方程为久+避y+2=0,求％在y轴上的截距，并判断%与/是否垂直；

(3)若直线％与I平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为68，求h的一般式.

16.(本小题12分)

在三棱柱48。-2道心中，平面44道停1平面ABC,AA1^A1C,AC=2,AC1BC,AA^LArC.

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(2)若异面直线ABi,C4i所成角的余弦值为白，求8c.

17.(本小题12分)

(1)若直线/沿x轴向右平移5个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求/的斜率;

(2)一束光线从点P(-2,4)射出，与y轴相交于点Q(0,-1),经y轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的

方程.

18.(本小题12分)

在空间几何体力BC-DEF中，四边形ZBED,4DFC均为直角梯形，

71_

=Z.CAB=5，AB=AC=CF=1,AD=2,BE=3.

(1)证明：平面BEF1平面DEF.

(2)求直线DF与平面BEF所成角的大小.

19.(本小题12分)

在如图1所示的图形中，四边形4BCD为菱形，AB4D=60°,△P4D和△BCQ均为直角三角形,

APDA=/-QCB=90°,PD=2。=2CQ=2,现沿AD,BC将入PAD和、8CQ进行翻折，使PD//QC(PD,QC在

(1)当二面角p-a。-B为90。时，判断。Q与平面P4B是否平行;

(2)探究当二面角P—AD-B为120。时，平面P8Q与平面PBD是否垂直;

(3)在(2)的条件下，求平面PBD与平面QBC夹角的余弦值.

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参考答案

1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.AD

1Q.ABD

11.5C

12.8x+9y—20=0

13.&2）或（0.5,2）

14.1；

.等或写或1117r

15.解：（1）

因为直线Z的倾斜角为宗所以直线Z的斜率为避，

又直线I在x轴上的截距为2,即直线过（2,0）点，

则由点斜式可得直线，方程为y=平（久-2）,

化为斜截式方程得y=避X-2逆，直线Z的斜率k=a

在y轴上的截距为-2避.

所以的勺斜截式方程为y=避乂-24；

由直线"经过点P（2,-平）,Q（3,0）,

则直线上的斜率的=弋一严=B则直线匕的方程为y=道（比-3）,

故。的斜截式方程为y=平x-3平,在y轴上的截距为-38.

由两直线斜率相同，在y轴上的截距不同，则”/小

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(2)

由直线6的一般式方程为x+避y+2=0,

化为斜截式方程为y=-鸟-竽，故%在y轴上的截距为-,平；

直线％的斜率七=一字，由k,6=4x(—乎)=-L

所以两直线L与［互相垂直.

⑶

由直线h与।平行，则斜率七=k=避，故可设直线方程为y=避％+b,

令x=0,得y=b；令y=0,得x=一号b；

由直线％与两坐标轴围成的三角形的面积为6平，

则S=纲•卜字W=*2=64，所以=36,解得b=±6.

所以直线%的方程为y=8*±6,

即b的一般式方程为8X-y±6=0.

16.解：(1)

因为平面4413。1平面力8C,交线为4C,

AC1BC,BCu平面力BC,

所以BC1平面a&CiC,

因为441U平面441C1C,所以BC1441，

因为7MliAC41cnBC=C,ArC,BCu平面4/C,

所以4411平面&BC,

又BBJ/441，所以BBil平面ABC；

(2)

取AC的中点P,连接P&,因为44i=&C,所以4止，47,

因为平面44iC\C1平面ABC,交线为4C,4止u平面441clC,

所以&P1平面ABC,

取AB的中点H,连接P"，贝！|PH〃BC,

因为AC1BC,所以PH1AC,

故以P为坐标原点，P",PC,P4i所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

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因为AC=2,所以公尸=%。=1,故/(O—1,O),C(0,1,0)/式0。1),

设BC=m,贝(]8(叫1,0),设3式”,/1),

由廊=%得(0,1,1)=(s—nU-Lh),

解得S=771/=2,/l=1,故81(77121)，

AB[=(犯3,1),两=(0-1,1),

因为异面直线也,。11所成角的余弦值为《

1^7.京|_1(6,3,1)•(0,-1,1)1_2_1

所以|cos2Bi,(L4i|

\AB^\CA^一伽2+9+1.71+1—J2(m2+10)-3*

解得772=2",故BC=2也.

17.解：(1)由题意，直线/存在斜率，可设直线方程为y=%%+6

直线，沿式轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后，

所得直线的方程为：y=fc(%-5)+b+2

化简得y=kx—Sk+b+2.

因为平移后与原直线重合，贝IJ而+b=kx-Sk+b+2.

解得k=|，即直线的斜率为■!.

(2)由P(-2,4),Q(0,-1)两点坐标，可得直线PQ的斜率为西/

所以入射光线所在直线方程为y=等-1，即5x+2y+2=0.

因为反射光线与入射光线所在直线关于y轴对称，

所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，

所以反射光线所在直线的斜率为■!，所以反射光线所在直线方程为y=|x-l,

即5x-2y—2=0.

18.1?：(1)

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■JT

证明：因为NCAD=NDAB=NC4B=5,所以AB,AC,4。两两垂直.

以a为坐标原点，分别以诟，AD,左的方向为x轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),0(020),8(1,0,0),C(0,0,1)尸(0,1,1),E(l,3,0).

设平面BEF的法向量为元=(久i,yi,zQ,因为族=(0,3,0),BF=(—1,1,1),

所以椁案［,一0，解得力=。，令肛=1,得zi=l,故1=(1,0,1).

设平面DEF的法向量为拓=(x2,y2,z2),因为而=(0,-1,1),~DE-(1,1,0),

所以肃布__C令冷=1，得m=(l尸1尸1).

因为访•元=0,所以前1日，所以平面BEF_L平面DEF.

【小问2详解】

设直线OF与平面BEF所成的角为a,由(1)知而=(0-1,1)，

平面BEF的一个法向量为元=(1,0,1),

.\DF-n\|(0,-Ll)(L0,l)|11

则fflllsm戊u就同一<+1x71+1-72x72-2,

TT

所以a=g,

即直线DF与平面BEF所成的角为也

19.解：⑴

若二面角P-AD-B为90。，则平面PAD_L平面48CD,

因为平面24。C平面4BCD=AD,且P。1AD,所以PD1平面4BCD,

如图，以D为坐标原点，而，丽的方向分别为x,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

贝伊(0,0,2),。(0,。,0)方(1,避,0),<2(—1,8,1)/(2,0,0),

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设平面P4B的法向量为元=(x,y,z),因为丽=(-1-y/3,2),BA=(1,—避,0),

所以"需=*中产=0一，得—3,居3),

(n-BA=x—y/oy=0,

因为丽=(-1,73,1),所以丽■n=-lx3+V3xA/3+1x3^0,

所以DQ不与平面P48平行.

(2)

取BC的中点E,连接DE,则DE1AD,

因为AD1PD,所以二面角P-ZD—B的平面