江西省鹰潭市余江区某中学2024-2025学年高三年级上册第二次模拟考试（10月月考）数学试题（含解析）

余江一中2025届高三年级第二次模拟考试

数学

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形，立体

几何，解析几何.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合Z=<x—2<x<g>,8={x|x（3x+8）,,3},则ZD8=（）

2.已知扇形的周长为30cm,圆心角为3rad,则此扇形的面积为（）

A，54cm2B.48cm2C.27cm2D，9cm2

3.己知％。2462cle2wO，”关于龙的不等式q—+4x+q〉o与4工2+&》+。2〉o的解集相同”是

abq

xx的（)

。22c2

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

4.已知函数/（X）=)

5.若sin[a+]J=3sin[a-《71J,贝|tan[a+O71=(

66

_5A/3+6.5A/3+6C.D.5V3-6

AB”-6

33

6.已知函数/（x）=g——i61nx在区间（2a—l,2a+l）上单调递减，则a的取值范围（）

B•21_3

A.工2D.5，+。

2；2252

7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、

国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度

MN,他在塔的正北方向找到一座建筑物48,高为7.5m,在地面上点C处（5,C,N在同一水平面上

且三点共线）测得建筑物顶部/,镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在N处测得镇国寺塔顶部

M的仰角为30。，则镇国寺塔的高度约为（）（参考数据671.73）

A.37.52mB.35.48mC.33.26mD.31.52m

+W，若实数见6满足/（/）+/（2〃-3）=2,则万的最大值为

8.已知函数/(x)=x,3:

卜・当C口当

.丁

二、多选题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知。〉0,6〉0,且若log/<l,则下列不等式可能成立的是（）

>0>0

C.(^-l)(6-^)>0D.(tz-l)(4z-Z?)>0

10.已知/(%)=卜08^-卜0国卜加，8(%)=(5加一卜尿|)88%,贝U()

A.将/(x)的图象向右平移]个单位长度可得到g(x)的图象

B./(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=2对称

57r

。/(力和8⑴在71,—上均单调递增

D.f(x)和g(x)的值域均为[-1,1]

11.己知函数/(X)的定义域为R,且/(l+x)=——2)=—/(一%)，且当xe[-1,1]时,

/(x)=a32+i,则下列说法正确的是()

A.函数>=/(x-l)为奇函数

B.当xe[3,5]时，/(%)=x2-8x+14

C./(l)+/(2)+/(3)+-+/(99)=l

D.若g(x)=/(x)-log9(x+l),则g(x)恰有4个不同的零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若命题“王€[-1,2],使得x2+“-加-5…0”是假命题，则加的取值范围是.

13.已知函数/(x)=Gsin©x-cosox-1(0〉0)在区间(0,功上恰有两个零点，则。的取值范围是

14.已知正实数x,J满足血=ye'+lny,则9的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知sin2。+cos2a=4sin。+2cos。.

(1)求sinacosa+cos2a的值；

(2)若“£(一阳0),/?£[()，5),且tan2〃—6tan£=l,求o+的值.

16.（本小题满分15分）

在锐角V48c中，内角48,C的对边分别为a,"c,且taa4+taa8=———-——

a2+c2-b2

（1）求角力的大小；

（2）若8C=2,点。是线段8C的中点，求线段4D长的取值范围.

17.（本小题满分15分）

7

如图，在四棱锥尸—Z8CD中，四边形Z8C。是菱形，cos^ABC=—,且4B=P4=PC=5,点E

25

是线段PD上的一点（不包含端点）.

（1）求证：AC1BE；

（2）若尸。=4,直线8E与平面PCD所成角的正弦值为迪，求£>£的长.

7

18.（本小题满分17分）

22/7

已知椭圆C:三+去=l（a〉b〉o）的左、右顶点分别为48,其离心率为当，点尸是。上的一点（不

同于45两点），且VP48面积的最大值为3G.

（1）求。的方程；

（2）若点。为坐标原点，直线4P交直线x=4于点G,过点。且与直线8G垂直的直线记为/,直线

BE

AP交V轴于点E,直线AP交直线/于点尸，试判断卡是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，

BF

请说明理由.

19.（本小题满分17分）

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.

如果函数>=/（x）满足如下条件：

①在闭区间可上的图象是连续的；②在开区间（。力）上可导.

则在开区间（。力）上至少存在一个实数使得/（?一/（"）=/'《）成立,人们称此定理为“拉格朗日

中值定理”.

(1)已知/(1)=2%+工+加111^,\/见6£(1,3)且4<6,

X

(i)若/>)―/(6)〉1恒成立,求实数冽的取值范围；

a-b

(ii)当—1”机<0时，求证：2/(。)；，3)〉/［弓史；

⑵已知函数g(x)=xln竺-+ae工—x(a〉O)有两个零点，记作石,马，若0<2%<々，证明:

e$+2》2>32

余江一中2025届高三年级第二次模拟考试-数学

参考答案、提示及评分细则

1.C由题意知5=x（3x+8）”3}={x|（x+3）（3x—1）”°}=一?/，所以—3q].故选C.

2.A设扇形的半径为，又圆心角为3rad,所以扇形的周长/=2r+3r=30cm,解得r=6cm,所以扇

形的面积S=！X3X62=54cm2.故选A.

2

a.b[G

3.D不等式12+2%+4>0与2/+3%+5>0的解集均为R，但一。不。一，所以充分性不成立；不

。2b?c2

妨令%=1,4=2©=1吗=T也=-2,q=T，满足"=1"=9"，但一+2%+1>0的解集为

a?D?02

2

（―。，―1）u（—1,+。）,———2x—1>0的解集为0,所以+4X+G>0与a2x+b2x+c2>0的解集

不同，必要性不成立.故选D.

4-D因为/（x）=x（：e],x.±i，所以/（—x）=—J：L'k?—：L/（x），定义域关于

x-I（-X）-1x-1

原点对称，故/（'）是偶函数，排除A；当x>0时，ex>c~x,即二一尸>0，当x>l时，又有

x2-l>0，因此当x>l时，/（x）>0,排除B,C.故选D.

由sin[o+m[=3sin[a—E[=3sin卜+；]

5.A——3cosIOLH—If所以tanIOLH———3,则

，兀•兀2G

tanocH——tan一

兀兀I3)6—J------------

tan。+—=tanCtH---3

I63614r兀1,兀1+(—3)xf

1+tana+—xtan—

I36

9+6_(9+G),(G+l)_5G+6

3(C-113(C-1)(G+1)―3.故选.

6.C由题意知r(x)=x—3=广3，令/'(x)<0,解得0<x<4,令/'(x)>0,解得x>4,所

XX

/x/\、2。—1..0.13

以/（X）在（0,4）上单调递减，在（4,+。）上单调递增，所以《解得出即a的取值范围

*CT-I•!>,,I«乙乙

13

是.故选C.

22

7.Bsinl50=sin(450-300)=sin450cos300-cos45°sin30°=,在VA8C中,

7.5

AC=——，在V4CM中,

sin，ZC8sinl5°

ZACM=\800-ZMCN-ZACB=\05°,ZMAC=300+15°=45°,所以

NZMC=180°—//CM——"ZC=30°，由正弦定理得

____M_C____—_____A_C____—A°._s_i_n__^_M_A__C—___7._5__x_s_i_n4_5_°_

sin^MAC~smZAMC5-smZAMC~sinl5°sin30°

75;45°IJIO+ZA/J

MN=MCsin/MCN=--—x-s-n---xsin60°=-------“35.48(m)•故选B

sinl5°sin30°4

8.C^g(x)=/(x)-l=x3+——--l=x3+l-—―,所以

00%+1r\

333

g(-x)=(-x)+l-F^T=-x+l-^-n=-x+i^I-l=-g(x),所以g(x)是奇函数，又

y=丁+1在（一叫+⑹上单调递增，歹=

一5片在上单调递增，所以且⑴在（一叫+⑹上单调递增•因为/（4）+/（2〃-3）=2,所

以g（a2）+l+g（2〃—3）+1=2,所以g（/）=_g（2〃—3）=g（3—2b2）,所以42=3—2〃，即

a2+2b2=3.所以，717^=正9..2+2/,,正―/+2+也二迫,当且仅当。=用主，

2224.、一

即片=312=工时等号成立，所以口右方的最大值为区.故选c.

244

9.ABD若。>1,因为log/<l=log/,所以b<a.当6<1<。时，A正确，当1<6<。时，B正确；

若。<1,因为log/<l=log“a,所以b>a.综上，（。一1）（。-6）>0,故C错误，D正确.故选ABD.

10.BCD将/（x）的图象向右平移］个单位长度后所得图象对应的函数为

故A错误；任取/(x)上一点(加,〃)，其关于直线x=［的对称点为1―机，〃，又

即1^一机，〃)在g(x)的图象上，所以/(x)的图象与g(x)的图

象关于直线x=：对称，故B正确；在兀,<上,sinx<0,cosx<0,所以

44

f(x)=2cosxsinx=sin2x,g(x)=2sinxcosx=sin2x,当工T兀,7|时，2xe|2TT,—I,故/(x)和

0,X€一]+2左兀(+2左兀[kGZ),

5兀

g(x)在71,—上均单调递增，故C正确；因为/(%)=<

?+2左兀,^^+2左兀(左wZ),

sin2x,x€

故D正确.故选BCD.

11.AC因为〃x—2)=—/(—x),所以/(x)的图象关于(TO)中心对称，故A正确；因为/(x)的图

象关于(—1,0)中心对称，所以/(—1)=。+1=0,解得°=—1.所以当xe[—1,1]时，/(x)=-x2+l,

因为/(x—2)=—/(—x),所以/(X)=—/(—x—2),因为+=—x),所以

/(x)=/(2-x),所以/(2-x)=—/(-x—2),即/(力=-/。-4),当xe[3,5]时,

—4+xe,所以/(x)=—/(-4+x)=—[―(-4+x)2+1]=——8x+15,故B错误；因为

/(x)=-/(x-4),所以/(x+8)=—/(x+4)=-[一=所以)(x)的周期为8,又

/⑴=_1+1=OJ⑵=/(0)=1,

/(3)=/(-1)=-1+1^0,/(4)=-/(0)=-1,/(5)=-7(1)=0,/(6)=-/(2)=-1,

/(7)=-/(3)=0,/(8)=-/(4)=/(O)=1,所以

/。)+/(2)+/(3)+…+/(99)=12[/。)+/(2)+/(3)+…+/(8)]+/。)+/(2)+/(3)

=/(1)+/(2)+/(3)=1,故C正确；令g(x)=O,即/(x)=log9(x+l),画出y=/(x)与

y=log9(x+l)的图象，如图所示：

，所以两函数图象共有5个交点，所以g（x）恰有

5个不同的零点，故D错误.故选AC.

12.(—2,1)命题u3xe[—1,2],使得x?+加x—加—5...0"是假命题，即

(—1)2―加一加一5<0,

“X/xe[―1,2]+加工—加—5＜0”是真命题，所以＜\解得—2<加<1,即加的取

22+2m—m—5<0,

值范围是（-2,1）.

71?当

13.0由题意知/(%)=百sinGx-cosGx-l=2sina)x-—1—1—0,所以sin[cox——

6

兀兀LL»5兀7T12「

xw（0,兀）时，g工一巳£—,兀〃>---，所以--<TICD---―--,解得1＜。,，一，即。的取值范围是

666663

4XXXIn***

14.—r由山=井工+1叩得In—=ye*,所以_ln_=xe',则xe'=ln'-e工，因为

eyyy

y

ln-所以了〉令()则/所以在

x>0,ex>0,e旷〉0,1110,/(x)=xe“x>0,'(x)=e"(x+1)>0,/(x)

(\

In三XXX

（0,+"）上单调递增，所以由xe*=ln±・e%，即/(%)=/In—,得x=ln—,所以y=F，所以

yy)ye

222x-x2_x(2-x)

9=1•令g(x)=1，x〉0，所以g'(x)=，当0<x<2时，gz(x)>0,当x>2

ee

时，g'（x）＜0,所以g（x）在（0,2）上单调递增，在（2,+动上单调递减，所以g（x）111ax=g（2）=?.

e

15.解：(1)因为sinZa+cos?。=4sina+2cosa，所以(2sina+coscr)(coscr-2)=0,

因为cosa—2w0,所以2sina+cosa=0,所以tana=—

2

sinacosi+cos2a-sin2。tana+1-tan2。1

sinacos。+cos2。=

si•n2a+cos2atan2a+15

,cc2tan£

(2)由tai?6一6tan£=1,可得tan2〃=-------y-

1-tan/3

11

tana+tan2,

则tan(a+2,)=237

,11,

1—tanatan2尸1——x-

23

因为夕所以24«0,兀），又tan2A=—则兀

因为ae（一兀,0）,又tana——,贝|a£

2

所以a+24e(0,7i),所以1+2尸=彳.

Q2r\2

16.解：(1)因为taih4+tanS——-----T，由余弦定理得tarL4+tan5=---------=---

a+c-b2accosBacosB

由正弦定理得

,「sinCsiib4siriSsiib4cosB+sinScos/sin(4+5)sinC

taiL4+taa8=----------=------+------=--------------------------=——---------=-------------

siib4cos5cos/cosBcosAcosBcosAcosBcosAcosB

又VZBC是锐角三角形，所以sinC>0,cos5>0,所以siM=cosZ,所以taM=l,

又所以幺=：.

222

(2)由余弦定理可得/_c+〃-2cbcos4=c+b-42cb=4,

22222

又力=1■(次+k),所以石2=1(2g+^C)=^A8+ZC+2A8-I4C)=^(C+ZJ+

=；(4+2•c)=l+半bc，

由正弦定理可得号=£=。=2后，所以6=2应sinB，

SIIL4SIILSsinC

c=2拒sinC=2V2sin-“=2cos^+2sin5,

所以be=4V2sin25+4行sin5cos5=472-＞詈25+？忘由25二4sin[23—；)+272,

0<S<-,_

22解得二<5(工，则713兀

由题意得《了彳

0〈龙-5<&,424

42

所以sin12B—4je-^-,1,所以Ace（4^^,4+2，^],

所以赤263,3+2返],所以线段ZD长的取值范围为（括」+Ji].

17.（1）证明：连接AD,记8Z）cZC=G.因为四边形Z8CD是菱形，所以8£＞，/C,G是NC的中

点.

在VP4c中，G是幺C的中点，PA=PC,所以尸GLZC,

又PGcBD=G,PG,BDu平面PBD,所以ZC,平面「5。，

又BEu平面PBD,所以ZC_L8£.

7

(2)解：在VN8C中，cos/ABC=—,AB=BC=5,

25

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos/ABC=36，即ZC=6.同理可得80=8.

取。G的中点。，连接0P,取CD的中点P，连接0E.因为8。=8,所以。G=4.

在VPGC中，PC=5,GC=3,PGJ_GC,所以PG=dPC?-GC2=4.

又尸。=4,所以尸D=PG=£>G,所以POLDG.

因为ZCL平面「BRPOu平面P5。，所以ZCL尸0,又0E"GC,所以OE_LPO.

以。为坐标原点，砺，砺，砺的方向分别为x，N，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

所以8（0,-6,0）,C（3,-2,0）,。（0,2,0）,

P（0,0,2V3）,

所以皮=（3,-4,0）,丽=（0,—2,26）.

设平面PCD的一个法向量为万=（x,y,Z）,

ri-DC=3x-4y=0,

令x=4,解得y=3,z=G，

所以平面PC£＞的一个法向量万=卜,3,G).

设诙=2丽=(0,—2429)(0<4<1),所以而=丽+痂=(0,8—242房).

设直线BE与平面PCD所成角的大小为0,

|赤臼—|24-62+62|

所以sind=bos<5ER〉|_,________,「

11忸目同V16+9+3x7(8-22)2+(2V32)2

3_372

V722-142+287，

解得)=2-收或)=2+V|(舍)，所以DErDP=4，一母=4—2日即。£的长为

222

4-272.

c_V6

1H，

L.2a.b=30

18.解：(1)由题意知＜

2

c2=a2—b2.

解得a=3,b=-\/35C=V6，

22

所以。的方程为土+L=1.

93

⑵设点尸的坐标为(徵,〃),(加。±3),则为-+(=1,即9一加2=3/；

又A点坐标为(-3,0),故直线AP的方程为J=^~(x+3).

m+3

7〃(7〃、

令x=4,可得-即点G的坐标为4,--,

m+3Im+3J

又8点坐标为(3,0),故直线BG的斜率^G=?=&；，

4-3加+3

又直线/的斜率勺满足勺x演G=T，贝4勺=------，故直线/的方程为y=--------X,

7〃7〃

又因为直线5P的斜率为一故直线5尸的方程为丁=——(x-3).

m-3m-3

y=------(x-3),

,Im-3v''曰n(、m+3

m+3m—3In

X_7/__7/_721

所以解得X=—,即XF—

x—39-m2一彳一3'44

即_Jl+演尸\XBXEXX3

I_\_B-E\_l-°l_4BE4

所以,即忸用为定值,该定值为彳

yjl+kBPXX3

叫\XB-XF\B-F\3

19.(1)(i)解：法一：由‘(")—^^->1,且〃<6化简得/(a)——b,

a-b

即—Q—b,令g(x)=/(x)-x=x+—+加Inx,可知g(x)在(1,3)上单调递增,

x

g'(x)=l——+依…0在(1,3)上恒成立，即%在(1,3)上恒成立,令〃(％)=，一%,显然〃(x)在

xxxx

(1,3)上单调递减，

所以帆..〃(口二。，即加..()，故实数加的取值范围为［0,+").

法二：由拉格朗日中值定理可知，3x0e(a,b),使得

a-b

故问题转化为了'(%)>1恒成立.

［TYI］

/'(%)=2--y+—〉1恒成立，即机〉---/恒成立，因为/e(a,6)41,3),

%0%0%0

故令丸(x)=4_x,显然〃(X)在(1,3)上单调递减，所以71已(1,