高考数学一轮复习：集合与常用逻辑用语讲义

知识点一集合的定义与表示

【基础指数框架】

1.定义：具有相同性质的元素所构成的整体，称为集合。

2.集合的性质：（1）确定性：即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量；

（2）互异性：在一个集合中，任何两个元素都是不同的对象；

（3）无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序.

3.集合的表示方法：（1）列举法：将集合的元素逐一列举出来的方式；使用条件：有限集；

（2）描述法：将集合表示为｛代表元素|?荫足的性质｝;使用条件：无限集；

（3）韦恩图：用平面上的矩形或圆形表示一个集合；使用条件：表示集合关系.

【例题分析】

73+瓦〃与〃的奇偶性相同

集合〃={(a,b),*b=12,a,Z?£N*},则M中元素的

例1.对于。、规定。*人=〈7171Vl田川才日

[ax4〃与b的奇偶性不R

个数为（）

A.6B.8C.15D.16

例2.下列说法：①集合｛xeNId=耳用列举法可表示为｛-1,0,1｝｝；②实数集可以表示为｛x|尤为所有的实数｝或

｛R｝；③一次函数y=x+2和y=—2%+8的图像象交点组的集合为｛x=2,y=4｝,正确的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

dbccibc

例3.已知。、b、c为非零实数，记代数式同+同+向+函的值所组成的集合为则下列判断中正确的是

（）

A.0任〃B.4e〃C.2e#D.4e#

例4.（2023•东莞市校级三模）已知全集U和它的两个非空子集A,3的关系如图所示，则下列命题正确的是（）

A.Hx^A,xeBB.VxgA,x笠BC.HreB,x^AD.X/x^B,xeA

【变式训练】

1.（2023秋•金平区期末）下列能构成集合的是（）

A.汕头电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车

C.汕头市所有的中学生D.sin30°,tan45°,cos60°

2.集合{1,鱼，若,2,正，…}用描述法可表示为（）

A.{x\x>l}B.{X\X<45]C.{x\x=4n}D.{x|x=6,"eN*

3.下列与集合{2023,1}表示同一集合的是（)

A.（2023,1）B.{(x,y)Ix=2023,y=1}

C.{xlx2-2024%+2023=0}D.[x—2023,y=1}

4.下列说法中正确的是（）

①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合

@a{6-a)<9

③不等式-尤2+3尤一2<0的解集为<%<2}

④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为{（x,y）|w<0,xeR,yeR}

A.①②B.②④C.②③④D.①③④

知识点二集合的基本关系

【基础指数框架】

1.集合与元素的关系：元素与集合的关系，即蜗，开口朝向集合背靠元素

(1)若元素。属于集合A,记作aeA；

(2)若元素。不属于集合A,记作

(3)常见数集的表示方法：①实数集：R-,②整数集：Z；③有理数集：。；

④自然数集：N-,⑤正整数集：N*、N+⑥空集：①

2.集合之间的关系

(1)元素与集合的关系：G、任(2)集合与集合的关系：=、才邑、(3)空集本身就是集合，无需加{}

3.子集个数的判断

(1)子集：若集合A中所有元素都是集合3的元素，则称集合A包含于集合5(集合8包含集合A),记作

AcB；

(2)真子集：如果4口3且A/5就说集合A是集合3的真子集，记作4竹3；

(3)若集合A含有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

4.集合相等

若集合A中所有元素都是集合8的元素，同时集合3中所有元素都是集合A的元素，就说集合A等于集合3,

记作

5.空集

空集①是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，①是任何集合的子集，①是任何非空集合的真子集.

【例题分析】

例1.(2024•西秀区校级一模)已知集合4={尤€双|*<4},B={x\x=n2-1,n&A},P=Ap\B,则集合尸的子

集共有()

A.2个B.3个C.4个D.8个

例2.(2024•秦淮区校级二模)已知集合4={尤eZ|/-2x,,0},则A的子集个数为()

A.4B.7C.8D.16

例3.(2024•迎江区校级四模)集合P={x|-2„;(;<加-〃九xeZ},当加=工时，集合P的非空真子集个数为()

2

A.8B.7C.6D.4

it

例4.（2024•扬州模拟）设集合“={彳|》=左+万,左eZ},N={x|x=1+万,左eZ},贝!!（）

A.M=NB.M=NC.NcMD.Mp|N=0

例5.（2024•聊城模拟）己知集合4={刈幻,,2},B={x|x-a<0},若4=3,贝心的取值范围为（）

A.（―oo,—2）B.（—co,—2]C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【变式训练】

1.（2024•金安区校级模拟）已知集合4={0,1,2,3},B=[x\x=n2-1,neA},P=A\jB,则P的子集共有

（）

A.2个B.4个C.6个D.64个

2.（2024•内江三模）集合P={x|匕,,0,xeZ}的子集个数是（）

X+1

A.5B.6C.7D.8

3.（2024•茂名一模）已知集合4={0,1,2,3},B={-1,0,1},C=A「p,则集合。的子集个数为（）

A.2B.3C.4D.8

4.（2024♦东湖区校级一模）已知集合人={]|%=写入Z},B={x\x=^+k7i,k^Z},贝U（）

A.A=BB.A^\B=0C.A^BD.AoB

5.（2024•抚顺模拟）已知集合人={1,〃},B={x\\x-1\<2},若则实数。的值是（）

A.1B.0C.-2D.3

知识点三集合的基本运算

【基础指数框架】

1.并集的概念

给定两个集合A、B,把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合3的并集，记作AU§，

读作A并3.

2.交集的概念

给定两个集合A、B,把所有属于集合A且属于集合8的元素所组成的集合，叫做集合A与集合3的交集,

记作读作A交3.

3.补集的概念

对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A4相对于全集U的补集，简称为集

合/的补集，记作6%,即电4=卜B€。,且xeA}.

【例题分析】

例1.（2024•新高考I）已知集合4={回一5</<5},B={-3,-1,0,2,3},则40|2=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0）D.{-1,0,2}

例2.（2023•新高考I）已知集合/={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-x-6..0],则M0|N=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

例3.（2022•新高考I）若集合M={x[&<4},N={尤|3尤..1},则M0|N=（）

A.[x10„%<2}B.{x|g,,x<2}C.{x\3„x<16}D.尤<16}

例4.（2021•新高考I）设集合A={x|-2<x<4},B=[2,3,4,5},则A0|8=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

例5.（2022•乙卷）设全集U={1,2,3,4,5）,集合M满足用/={1,3},贝“）

A.2eMB.3eMC.4eMD.5任M

例6.（2023•全国）集合A={-2,-1,0,1,2},B={2k\k&A],则A0|3=（）

A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{一2,0,2}

例7.（2024•湖北模拟）已知集合河=口|工=；+；,〃©2},N={x\x=^+^,neZ},则下列表述正确的是（）

A.Mp|N=0B.M|jN=RC.MJND.N三M

【变式训练】

1.（2022•新高考U）已知集合4={-1,1,2,4},B={.x||.r-l|„l},贝）

A.{-1,2}B.{1,2）C.{1,4}D.{-1,4}

2.（2024•甲卷）集合4={1,2,3,4,5,9},B={x\^eA],则”（始8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9）C.{1,2,3）D.{2,3,5）

3.（2023•天津）已知集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B=[1,2,4},则（gB）UA=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5）

4.（2023•乙卷）设集合U=A,集合〃={尤[x<l},N={x|—1<尤<2},贝i]{x|x..2}=（）

A.乐（M|JN）B.MjA/MC.4（Mp|N）D.

5.（2021•乙卷）已知集合5=卜|5=2"+1,GZ},T=[t\t=4n+l,neZ},贝1|5口7=（）

A.0B.SC.TD.Z

6.（2021•上海）6知集合,={x|x>-l,xe（},B={x|%2-x-2..0,x&R],则下列关系中，正确的是（）

A.A^BB.RBC.AQB=0D.=R

7.（2023•甲卷）设集合A={x|x=3无+1,keZ],3={x|x=3k+2,%eZ},U为整数集，则4（A|jB）=（）

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=?>k—\,kGZ]

C.{x\x=3k—2,k^Z]D.0

知识点四集合新定义与含参问题

【基础指数框架】

1.如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析.

2.如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到.

3.在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性.

4.由集合间关系求解参数的步骤；

①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

②看集合中是否含有参数，若A口3,且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；

③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.

5.经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.

【例题分析】

例1.(2024•盐湖区一模)已知集合4={刈*一1|“左，左>0},B={x|-3>3},若4=8,贝心的最大值是()

A.4B.3C.2D.1

例2.(2024•大理州二模)已知{x|62-4尤+1=0}={。},其中a,beR,贝1=()

A.0B.」或』C.-D.-

4224

例3.(2024•历城区校级模拟•多选)对于集合A中的任意两个元素x,y,若实数d(x,y)同时满足以下三个条件:

①“)(x,y)=0”的充要条件为"x=y"；

②d(x,y)=d(y,x)；

③VzeA,都有d(x,y)„d(x,z)+d(y,z).

则称d(x,y)为集合A上的距离，记为北.则下列说法正确的是()

A.d(x,y)=|尤-y|为“R

B.d(x,y)=|sinx-siny|为

C.若A=(0,+co),则d(x,y)=|力x—|为服

D.若d为(，则/t也为4/e为自然对数的底数)

例4.(2024•宜春模拟•多选)已知如果实数无。满足对任意的a>0,都存在xeA,使得0<|尤-尤0|<a,则

称尤。为集合A的“开点”，则下列集合中以。为“开点”的集合有()

A.{x|%wO,xG7?}B.{x[%wO,xGZ}

1Y

C.{y|y=—,xeN+}D.{y[y=-----,x&N}

Xx+1+

【变式训练】

1.（2023•上海）已知集合4={1,2},3={1,a},且A=8,则°=.

2.（2023•新高考U）设集合A={0,-a],B={1,a-2,2a-2},若4=8,贝!）“=（）

2

A.2B.1C.-D.-1

3

3.（2022•滨海县校级模拟）已知集合4={2,-2）,B={x\x2-ax+4=0},若A（j8=A,则实数。满足（）

A.{a\-4<a<4}B.{a\-2<a<2}C.{T,4}D.{a|-4漱女4}

4.（2024•曲靖模拟•多选）已知集合S,T,定义ST={x，|xeS,yeT},则下列命题正确的是（）

A.若5={1921,1949},T={0,1},则S，与K的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示实数集，K表示正实数集，则SR=R+

C.若5={2024},R表示实数集，则K=R

D.若5={2049},7T表示正实数集，函数/（无）=侬2。2/，无e（R*）s，则2049属于函数/（无）的值域

5.（2024•河南模拟•多选）对于R的两个非空子集A,B,定义运算Ax8={（x,y）|xeA,yeB},贝|（）

A.AxB^BxAB.Ax（fiQC）=（AXB）Q（AXC）

C.若A=C,贝lJ（AxB）u（CxB）D.AxA表示一个正方形区域

知识点五常用逻辑用语

【基础指数框架】

1.充分条件与必要条件

一般地，“若p,则4”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由.可推出q,记作〃nq,

并且说p是q的充分条件，“是p的必要条件.

如果“若p,则q”为假命题，那么由"推不出4,记作pp4.此时，p不是4的充分条件，q不是"的必

要条件.

概括地说，如果〃nq,则p是q的充分条件，4是p的必要条件.

如果puq,则p是4的必要条件，4是p的充分条件.

2.充要条件

一般地，如果既有夕nq,又有qnp,就记作p=q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要

条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p=那么p与q互为充要条件.

3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

从集合的观点看，设集合A={x|x满足条件p},8={x|x满足条件4},

若A口3,则p是4的充分条件或“是p的必要条件；

若A卫B,则p是q的必要条件或“是p的充分条件；

若A=B,则p是4的充要条件；

若且ABB，则P是4的既不充分也不必要条件.

4.命题的否定

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中称为全称量词，用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词

命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中称为存在量词，用符号“三”表示.含有存在量词的命题叫做存在

量词命题.

全称量词命题：\/XGM，P(X),它的否定为：BxeM,^p(x).

存在量词命题：Bx^M,p(x),它的否定为：.

【例题分析】

例1.（2024•新高考H）已知命题“VxeR,|x+l|>l,命题q:3x>0,x3=x,则（）

A.p和q都是真命题B.-p和q都是真命题

C.p和f都是真命题D.力和r都是真命题

例2.（2024•天津）设a,,则“/”是"3"=3"”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2024•北京）设4,B是向量，贝IJ"（万+6）•（万一5）=0”是“打=一5或讶=5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例4.（2024•甲卷）已知向量为=（x+l,x）,5=（X,2）,贝IJ（）

A.“4,5”的必要条件是“x=-3”

B.“万//方”的必要条件是“x=—3”

C.aaLb"的充分条件是"x=0"

a

D.“G/区”的充分条件是X=-l+^/3^^

例5.（2015•新课标I）设命题。与“eN,">2",则力为（）

A.NnwN,“2>2"B.Bn^N,n2„2"C.