高考数学二轮复习：立体几何外接球与内切球（100题学生版）

专题17立体几何外接球与内切球必刷100题

任务一:善良模式（基础）1-30题

一、单选题

1.已知正四棱锥P-ZBCD的所有顶点都在球。的球面上，且正四棱锥尸-Z8CD的底面面积为6,侧面积

为6b，则球。的体积为（）

.322877„125125c

A.一几B.——71C.——71D.....-71

3344

2.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席,若三棱锥尸-/3C为鳖席，R4，平面/8C,

PA=BC=4,AB=3,ABLBC,若三棱锥尸-4BC的所有顶点都在球。上，则球O的半径为（）

3.已知A48c是以3c为斜边的直角三角形，尸为平面48c外一点，且平面，平面NBC,BC=3,

PB=26,PC=45,则三棱锥尸-4BC外接球的体积为（）

A.10%B.如2C.-D.$回兀

333

4.三棱锥力-BCD中，AABC=ZCBD=ZDBA=60°,BC=BD=\,的面积为巫，则此三棱锥

外接球的表面积为（）

c32

A.4）B.16%C.—7TD.——n

33

5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席（bi©nao）.已知在鳖席中，

上优，平面NBC,MA=AB=BC=4,则该鳖席的外接球的表面积为（）

A.12万B.24兀C.48%D.96%

6.已知三棱锥3-/CD中，AB=BC=AC=2,CD=BD=4i，5c的中点为反龙的中点恰好为点/

在平面及力上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（）

7.如图，把两个完全相同的直三角尺SBC,S/C斜边重合，沿其斜边SC折叠形成一个120°的二面角,

其中&4=55=2,且48=6，则空间四边形四。外接球的表面积为（）

01/13

A

8.已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球。的表面上，若球。的表面积为287,则该

三棱柱的体积为（）

A.6B.18C.126D.1673

9.已知边长为2的等边三角形N3C,。为8c的中点，以/。为折痕进行折叠，使折后的乙BOC=W，则

2

过A,B,C,。四点的球的表面积为（）

A.37rB.4乃C.5乃D.6兀

10.已知正四面体/BCD的表面积为26,且A、B、C,〃四点都在球。的球面上，则球。的体积为（）

A.2G兀B.避■兀C.兀D.37r

42

11.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，豆PA=2,PB=PD=2M,则四棱锥外接球的表面

积为（）

A.4兀B.8万C.36万D.144万

12.三棱锥8c中，AB=D（=3,AODF2,ACLCD,.则三棱锥。48C外接球的表面积是（）.

02/13

D

A.9〃B.134C.36万D.52〃

13.已知一个圆锥的母线长为2«,侧面展开图是圆心角为其红的扇形，则该圆锥的外接球的体积为

3

（）

A.36万B.48万C.36D.24^2

14.已知三棱柱/2C-&B|G的6个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,N8/C=120。，三棱柱

48C-4AG的侧面积为8+46，则球。表面积的最小值是（）

Ac16%n32%

A.4〃B.167rC.---D.---

33

15.三棱锥P-/3C的顶点均在一个半径为4的球面上，为等边三角形且其边长为6,则三棱锥

尸-48C体积的最大值为（）

A.126B.18百C.24百D.54百

第II卷（非选择题）

二、填空题

16.已知。，E分别是边长为2的等边AZ8C边NB,NC的中点，现将△/£）£沿。£翻折使得平面/DE_L

平面BCDE,则棱锥/-3CDE外接球的表面积为.

17.如图，矩形48。中，”为BC的中点，AB=BM=1,将沿直线翻折成（4不在

平面4WCD内），连结及。，N为耳。的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是.

03/13

Bi

①CN〃平面/月/；②存在某个位置，使得③当三棱锥片的体积最大时，三棱锥

B.-AMD的外接球的表面积是4万.

18.如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2,则半球的

表面积为___________.

Q

19.已知球面上有四个点4B,C,D,球心为点。，。在上，若三棱锥/-8co的体积的最大值为

则该球。的体积为.

20.圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3,则该圆台的体积为

21.已知三棱锥51Mge中，弘?平面力8C,且%=4,45="C=2,?掰。=120?,则三棱锥8c的外接球的

表面积为.

22.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为.

23.已知在四面体48c。中，AB=CD=20AD=AC=BC=BD=/,则四面体48co的外接球表面积

为.

24.已知四面体力8/的四个顶点都在球。的表面上，平面比〃又48=3,BC=2,BD=4,且

NCBD=60。，则球0的体积为

04/13

25.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席.已知在鳖席/-BCD中，满足

平面BCD,且有BD工CD,AB=BD=2,CD=1,则此时它外接球的体积为.

26.已知S,A,B,。是球。表面上的点，SA1ABC,AB±BC,SA=AB=\,BC=41，则球。的表面

积是;

27.一个正四面体表面积为岳，其内切球表面积为冬则'=.

28.已知四面体中，AB=AD=6,AC=4,CD=2岳,平面从力，则四面体5外接球的表面积

为.

29.设体积为8。的正三棱锥尸-43C外接球的球心为。，其中。在三棱锥P-48C内部.若球。的半径

为尼且球心。到底面/3C的距离为。，则球。的半径及=.

30.在边长为6的菱形/BCD中，ZABC=60°,将菱形48CD沿对角线NC折起成直二面角，则所得三棱

锥。-N8C外接球的表面积等于.

任务二:中立模式（中档）1-50题

一、单选题

1.已知球。是正三棱锥上及力（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，於3,/后2百，

点6在线段初上，旦B23BE.过点£作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

A.2"B.3兀C.4〃D.5万

2.在三棱锥尸-4BC中，平面P48L平面NBC,ABLBC,PA=BC=2,AB=4,△尸48的面积为26，

则三棱锥尸-4BC的外接球体积为（）

3.球。的表面积为32万，三棱柱/3C-4月G的顶点在球面上，且三角形/6C是边长为2G的正三角形,

则/月所在直线与平面88CG所成角的正弦值为（）

.V7口g「3々n2s

147147

4.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席^bienao）.已知在鳖席中,

平面NBC,MA=AB=BC=4,则该鳖席的内切球的表面积为（)

05/13

A.(48-32回"B.(48-16后)万C.48万D.(24-16A/2>

5.已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为

（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:27

6.已知三棱锥%的外接球。的表面积为8万，SA=2,%，平面48G△/回是以4C为斜边的直角三角

形，点尸在球。的表面上运动，则三棱锥8c体积的最大值为（）

.1+y/2R1+V2

36

C1+V2D1+V2

.9•12

7.已知A,B,C,。在球。的表面上，A/BC为等边三角形且其面积为逆，40,平面/8C,AD=2,

4

则球。的表面积为（）

A.兀B.2万C.4万D.8TT

JT

8.在四面体S-48c中，网_1_平面48C,NBAC=—,SB=2®，SC=4,SA=2,则该四面体的外接球

6

的表面积是（）

25万口1八八「20V5^-八”

AA.-----B.100"C.--——D.20"

33

9.已知四棱锥尸一48CD,底面48CD为矩形，侧面尸平面48。，BC=2m，CD=PC=PD=2屎.

若点W为尸C的中点，则下列说法正确的为（）

A.3M，平面PCDB.P4〃面AfBD

C.四棱锥M-/BCD外接球的表面积为18万D.四棱锥M-4BCD的体积为6

10.已知四棱锥尸-4BCD的侧棱均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC,ZABC=90°,AD=2班,

CD=2,三棱锥尸-48c的体积为g,则球。的表面积为（）

An1257r2cn64j^?r

A.25TIB.------C.32兀D.---------

63

11.三棱锥S-NBC的各个顶点都在球。的表面上，且“8C是等边三角形，山，底面4BC,SA=4,

06/13

/3=6.若点。在线段24上，且/O=3SD,则过点。的平面截球。所得截面的最小面积为（）

A.3nB.4万C.8〃D.13〃

12.如图，三棱台4%7—4月4中，ABLAC,BC=6,4瓦=44=4逝，44=5收，平面及％;旦_1_平面45C,

则该三棱台外接球的体积为（）

A500万n400万

A.----B.100〃C.150%D.----

33

13.已知正三棱锥的底面边长为2道,高为百，则三棱锥的内切球的表面积为（）

C.%

A.4万B.—71D.3兀

3

14.已知正三棱锥尸-/8C的外接球的球心。满足力+幅+工=6,则二面角/-必-。的正弦值为（）

A276

-1BC.D

-Tr-T

15.蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、

内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴

鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）

的表面上有四个点S、A、B、C,满足S-4&C为正三棱锥，〃是SC的中点，且侧棱S/=l,

则该蹴鞠的表面积为（）

A.3万B.6万C.12万D.16%

07/13

16.如图，在四棱锥尸-4BCD中，已知P4,底面48c且

NBAD=120。,P4=4B=AD=2,则该四棱锥外接球的表面积为（

B.2OnC.20岛

17.已知球。是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）/-BCD的外接球，BC=3,

AB=2^,点E在线段8。上，且助=38£,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）

A.[%,2句B.［肛3句C[2肛4句D.[3肛6句

18.已知边长为26的菱形/BCD中，44=60。，现沿对角线3。折起，使得4c=3行，此时点45。,。

在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.20〃B.24万C.28%

19.正方体/BCD-4夕£2的棱长为2,48,44的中点分别是P，Q，直线尸。与正方体的外接球。相交

于四N两点点G是球。上的动点则AGMN面积的最大值为（）

后国2拒+班3拒+卡V62

222~T~

/7

20.已知四棱锥S-4BCD,&4_1_平面/BCD,ABLBC,NBCD+NDAB=n,SA=2,BC=9—^—,二面

3

TT

角S-BC-/的大小为w.若四面体S-的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

B.4百乃C.10»

第H卷（非选择题）

JT

21.已知菱形/BCD的边长为2百，ZBAD=-,若沿对角线8。将△8。折起，所得的二面角

为钝二面角，且4B,C,。四点所在球的表面积为28乃，则四面体/BCD的体积为.

08/13

22.已知三棱锥/-BCD中，底面BCD,AB=BC=3,NBDC=120°,则三棱锥/-外接球的

表面积为•

23.如图，三棱锥尸-48C的四个顶点都在球。的球面上，PA1PC,A/BC是边长为6的正三角形，二

面角P-/C-B的大小为120°,则球。的体积为.

24.已知四面体/BCD中和AEDC是等边三角形，二面角为直二面角.若NB=4,则四

面体/BCD外接球的体积为.

25.已知矩形/BCD中，AB=2,BC=。,E是C。边的中点.现以NE为折痕将/OE折起，当三棱锥

D-ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为.

26.在一次数学探究活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面/BCD为矩

形，AB=4y[2,BC=4,半圆面NPD_L底面48CD.经研究发现，当点尸在半圆弧4D上（不含4，点）

运动时，四棱锥尸-/BCD的外接球始终保持不变，则该外接球的体积为.

28.四棱锥力-BCDE的各顶点都在同一球面上，/8，底面2。。石，底面8CAE为梯形，/BCD=60。,

且AB=CB=BE=ED=2,则此球的体积等于.

29.空间四面体4BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=M,则该四面体的外接球的表面积

为

30.在三棱锥尸-/3C中，AB=AC=2&，ZBAC=12O°,PB=PC=2a,PA=2下,则该三棱锥外

09/13

接球的半径为.

31.如图，在底面边长为4,高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方

且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为.

32.已知三棱锥尸-ABC的四个顶点都在球。的表面上，尸/,平面NBC,PA=6,AB=26，AC=2,

BC=4,若。为8c的中点，过点。作球。的截面，则截面面积的最小值是.

33.在三棱锥尸-N8C中，“3C和APBC都是边长为2右的正三角形，尸/=3及.若M为三棱锥尸-4BC

外接球上的动点，则点“到平面N8C距离的最大值为.

34.球。的球面上有四点S、A、B、C,其中。、A、8、C四点共面，A43C是边长为26的正三角

形，平面&平面/3C,则棱锥S-4BC体积的最大值为

35.已知球。为三棱锥尸-4BC外接球，A48C为边长为1的等边三角形，PA=2,PC=囱，且尸/_L8C,

则球。的表面积为—

36.在正三棱锥S-/8C中，分别是棱SC?8C的中点，且/MLMV,若侧棱"=20，贝"该正

三棱锥外接球的体积是.

37.在菱形/BCD中，乙4=60°,AB=2,将△N8D沿2。折起到△尸8。的位置，若二面角P-AD-C的

大小为120。，贝!J三棱锥尸-BC。的外接球的表面积为.

38.已知长方体/BCO-HB'C'D中，AB'=y[3,BC'=1,43与平面/CC'/'所成角的正弦值为且，则

4

该长方体的外接球的表面积为.

10/13

TT

39.已知三棱锥S-45C,S4_L平面2a；ZABC=~,SA=3,BC=\,直线圈和平面28。所成的角大

6

-TT

小为g.若三棱锥S-/3C的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

27r

40.在四棱锥尸一48co中，若PA=AB=AD=亚，NBCD=2NPAB=2NPAD=2NBAD=三,四棱锥

P-ABCD外接球表面积为.

任务三:邪恶模式（困难）1-20题

一、单选题

1.已知点A?3?C?。都在球。的球面上，AB=AC,△BCD是边长为1的等边三角形，与平面8co

所成角的正弦值为逅，若/。=2,则球。的表面积为（）

3

A.兀B.4万C.87rD.167r

IT27r

2.在三棱锥S—45。中，ZSAC=ZSBC=~,NACB=一,力。=BC=1.若三棱锥S—的体积为1,

23

则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.13%B.—C.49万D.52万

3

3.已知四棱锥力—5CDE中，侧面Z5C_L底面BCOE,BCHDE,^AB=AC=BC=CD=BE=-DE=2,

2

则此四棱锥外接球的表面积等于（）

,32兀「40TI「124兀c52兀

A.--B.---C.----D.---

3393

4.已知直四棱柱458-4062,其底面45C。是平行四边形，外接球体积为364，若4储，助，则其

外接球被平面24A截得图形面积的最小值为（）

24381

A.87rB.7iC.—7iD.67r

1010

5.已知边长为2e的菱形48CD,4=60°，沿对角线8。把△23。折起，二面角/-助-C的平面角是120°,

则三棱锥38的外接球的表面积是（）

A.20兀B.28%C.36%D.54〃

6.在三棱锥尸-4BC中，AB=AC=272,N8/C=120°,PB=PC=2瓜,尸/=2括，则该三棱锥的外

11/13

接球的表面积为（

A.40乃B.20%C.80"D.60%

jr

7.在菱形48CL•中，/=§，48=4△，将△43。沿8。折起到△尸3。的位置，二面角P-AD-C的大小

2允

为箸，则三棱锥尸-BCD的外接球的表面积为（）

A.2曲）兀B.2777rC.727rD.112万

8.已知三棱锥尸-/3C的四个顶点在球。的球面上，PAmABC,PA=AB=BC=2,P8与平面尸/C

所成的角为30。，则球。的表面积为（）

A.6兀B.12乃C.16%D.48»

9.已知三棱锥。中，D4J_平面4BC,AB=AD=2,BC=6AC,则三棱锥。-NBC体积最大时,

其外接球的体积为（）

20c兀64yB兀