平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第05讲平面向量之极化恒等式

（高阶拓展、竞赛适用）

（2类核心考点精讲精练）

.考情探究•

在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影

法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角

度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点（终点）的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的

几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几

何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移

转化法等价转化为对共起点（终点）的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

知识点1极化恒等式的代数表示

知识讲解

极化恒等式

_[（a+b）2-（a-b）2

a-b-----------------------

4

恒等式右边有很直观的几何意义：

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线"平方差的工

4

恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系

如图在平行四边形ABCD中，AB=G,AD=b

在上述图形中设平行四边形ABCD对角线交于M点，则对于三角形来说:

好回吗……「一苧

极化恒等式的适用条件

(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化

(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问

题

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下

第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积

如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小

于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

考点一、极化恒等式求值

典例引领

L(全国•高考真题)设向量aW满足1t5+3I同，u孙面，则方选=

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

方法一：基本方法，详见解析版

方法二：极化恒等式

_rm+By-By|万+可--忸-芬

由极化恒等式可得:a-b=----------=1----!—!-----二1故选A.

44

2.(2023•全国•统考高考真题)正方形Z5CQ的边长是2,E是的中点，则比.丽=()

A.B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【详解】方法一、二、三，详见解析版

方法四：极化恒等式

设CD中点为。点，由极化恒等式可得:EC-ED=P|2-1|5C|2=3故选：B.

即时便测I

1.（江苏•高考真题）如图，在A48C中,。是2C的中点，旦尸是4。上的两个三等分点，茄=4,

BF-CF=-\，则赤.乐的值是.

7

【答案】

O

方法一：详见解析版

方法二：极化恒等式

----->-►►►I»|2I►|2------►►►►I►|2I»|2

BA-CA=AB-AC=\AD\-\BD\=4,BF-CF=FB-FC=\FD\-\BD\=-l

BE-CE=EB-EC=\E^

—•3—■—■1—.

因为£、F是4D上的两个三等分点，所以|Z£>|=,ED\,\FD\=-\ED\

—.“5—­,13—•—■7

联立解得：|££>「=2所以BE-CE=°

28,8

2.如图，在AABC中，已知48=4,/C=6,ABAC=60°,点D,E分别在边AB,NC上,

且方=2AD,〃=3衣,若少为QE的中点，则BF-DE的值为

3.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的"和对

角线"与"差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，心6=；（|而前（），我们称为极化恒等式.已知在

△A8C中，〃是8c中点，4W=3,3c=10,则焉.就=（）

A.-16B.16C.-8D.8

4.（21-22高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线"与"差对角线"平方差的四分之一.即如图所示：5.S=|（|AD|12-|5C|2）,我们称为极化恒等式.在△

48C中，M是8C中点，AM=3,SC=10,则方.就=（）

A.32B.-32C.16D.-16

考点二、极化恒等式求范围

典例引领

1.（2022•北京・统考高考真题）在。3C中，^C=3,5C=4,ZC=90°.P为“BC所在平面内的动点，且

PC=\,则苏.丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2.如图所示,正方形ABCD的边长为1,A,D分别在x轴,y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC-OB的最大值

是

2.（全国•高考真题）已知AZBC是边长为2的等边三角形，尸为平面28C内一点，则方.（两+定）的最小值

是（）

~34

A.—2B.—C.-D.—1

23

3.如图,在平面四边形ABCD中,ZC=2。=2,NDAC=120°,ZABC=90°,则BD-BC的最大值为

4.设锐角AABC的面积为1,边AB,AC的中点分别为瓦尸，尸为线段E厂上的动点，则每•定+比2的最

小值为_______

5.已知及"BC的斜边48=4,设尸是以C为圆心,1为半径的圆上任意一点，则苏•丽的取值范围是（）

A.1B.1C.[-3,5]D.[1-273,1+273]

即时检测

1.（23-24高一下•内蒙古呼和浩特•期中）如图，已知正方形/BCD的边长为2,若动点P在以N8为直径的

半圆£（正方形48CD内部，含边界），则定•丽的取值范围为

2.（2023,天津红桥•二模）已知菱形48c〃的边长为2,=120°,点E在边3c上，BC=3BE,若G

为线段。。上的动点，则就•衣的最大值为（）

8

A.2B.-

3

10

C.—D.4

3

3.（23-24高一下•北京昌平•期末）在矩形中，AB=2,AD=3,。为矩形ZBC。所在平面内的动点,

且尸4=1,则方.卮的最大值是（）

A.9B.10C.11D.12

1T

4.（23-24高二下•浙江•期中）在△NBC中，BC=2,ZBAC=~,。为8c中点，在△/8C所在平面内有一

动点尸满足丽.丽=正.而，则万.元的最大值为（）

A.gB.毡c.GD.迪

333

5.（23-24高一下•湖南常德•期中）如图，直线”4,点A是4，4之间的一个定点，点A到心乙的距离分

别为&和卡.点B是直线12上一个动点,过点A作NC，48,点E,F在线段BC上运动（包括端点）且砂=1,

若“3C的面积为26.则彳。衣的最小值为（）

r3a

2

6.（2024•黑龙江牡丹江•模拟预测）已知C是边长为1的正六边形边上相异的三点，则焉.丁的取值

范围是.

IN.好题冲关

基础过关

1.（23-24高二下•河北唐山,期末）已知圆（x-2）2+/=9的弦Ng的中点为。（1,1），点尸为圆上的动点，则

。.而的最大值为（）

A.2B.672-3C.8D.4+6a

2.（23-24高一下•北京顺义•期中）已知点/,点8,点尸都在单位圆上，且百，则用.丽的最大值

是（）

3

A.-B.3C.1D.2

2

3.（23-24高一下•福建泉州•期中）在RtA/8C中，乙4=90。,/8=2,/C=6,。为8c的中点，点尸在。8C

斜边8C的中线ND上，则而•定的取值范围为（）

A.[-10,0]B.[-6,0]C,[0,6]D.[0,10]

4.（23-24高一下•重庆•期末）如图，已知正方形23CZ）的边长为2,若动点尸在以43为直径的半圆上（正

方形N8C。内部，含边界），则丽•丽的取值范围为（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[0,3]D.[0,1]

5.（23-24高一下•北京•阶段练习）在直角梯形23CZ）中，AD//BC,ZABC=90°,AD=2AB=2BC=2,

点尸为梯形/BCD四条边上的一个动点，则万•丽的取值范围是（）

A.——,4B.——,2C.[—1,4]D.--,4

6.（23-24高一下•重庆•期末）已知向量力,砺满足|况|=1,|赤|=2,且向量漏在方方向上的投影向量为

OA.若动点C满足=则瓦•无的最小值为（）

A1D4—2^/6r1—V7n5—2A/7

2324

7.（23-24高一下•湖北•期中）在。BC中，点E,F分别是线段/民/。的中点，点尸在直线£尸上，若^ABC

---►2

的面积为4,则丽.正+理二的最小值是（）

2

A.2B.2百C.4D.—

2

8.（23-24高一下,湖南张家界•期中）青花瓷（blueandwhiteporcelain）,又称白地青花瓷，常简称青花,

是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德

镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2,圆。

的圆心为正六边形的中心，半径为1,若点M在正六边形的边上运动，动点48在圆。上运动且关于圆心0

对称，则祝5.磁的取值范围是（）

图一图二

r3

A.[2,4]B.-,4

「3

C.[2,3]D.-,3

9.（23-24高一下,江苏常州•阶段练习）已知图中正六边形/BCD斯的边长为4,圆。的圆心为正六边形的

中心，直径为2,若点尸在正六边形的边上运动，为圆。的直径，则而•丽的取值范围是（）

10.（23-24高一下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其

重要，有机物蔡可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形，已知ABCHU与

C0EFG”为全等的正六边形，且/8=2,点P为线段EF（包括顶点）上的一点，则后.而的取值范围为

D.[31,42]

能力提升

1.（21-22高二上,浙江衢州・期末）已知点尸在圆/+r=2上，已知/（4,0）,5（0,-4）,则莎.丽的最小值

为.

2.（21-22高一下•浙江•期中）正方形/BCD的边长为2,。是正方形N2CL•的中心，过中心。的直线/与

边48交于点跖与边CD交于点N,尸为平面内一点，且满足20P=208+（1-X）OC,则两•丽的最小

值为（）

197

A.——B.——C.-2D.——

444

3.Q1-22高一下•江西•期中）已知点M是正六边形N8CDE/内部（包括边界）一动点，AB=4,

的最大值为.

4.（2024高三•全国•专题练习）已知/,B,C,。是半径为2的圆。上的四个动点，若AB=CD=2,则

石.屈+刀.丽的最大值为（）

A.6B.12C.24D.32

JT

24.5.（23-24高一下•浙江•期中）已知。8c中，BC=4,A=~,若在平面内一点。满足

WB+3DC+DA=Q，则丽元的最大值为

6.（22-23高一下•湖北襄阳•期中）已知四边形/BCD中，AC工BD,AB=BC=吧=1,AC=CD=下,点E

2

在四边形43。的边上运动，则砺.丽的最小值是（）

313

A.—B.—