辽宁省铁岭市2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025年中学生能力训练

数学阶段练习（一）

时间：120分钟满分：120分

※考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在试卷上作答无效.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

,,11

A.x+2x=x+1B.-~H2—0

XX

C.3x+2y=5D.3（x+l）—2x+1

2•一元二次方程3d—2x—7=0的一次项系数是（）

A.3B.2C.2D.-7

3.已知抛物线G的顶点坐标为（-2,3）,且与抛物线G：y的开口方向、形状大小完全相同，则抛物

线G的解析式为（）

A.y=（x-2）+3B.y-—（x-2）-3

C.y-—（%-2）+3D.y=（x+2）+3

4.一元二次方程（x+l『=16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是

x+l=4,则另一个一元一次方程是（

A.x+1=—4B.x-l=4C.x+l=-4D.x+l=4

5.如果用配方法解方程――2x-5=0,则配方后方程可化为（)

A.卜-1)~=6B.(x+l)~=6C.(x-球=5D.(x+1)2=5

6.函数y=ax?+6x（°00）与y=ax+b的图象可能是（）

7.保障国家粮食安全是一个水恒的课题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验,

让农民能得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地2022年有81种农作物种子，经过两年不断的努力培

育新品种，2024年有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x,则根据题意列出

的符合题意的方程是（）

A.100（1-2x）=81B.100（1+2x）=81

C.81（l+x）2=100D.81（1-=100

8.若关于x的二次函数了=；机/+（机+1）》+机+1的图象与x轴有两个公共点，则满足条件的根的值可

以是（）

A.-1B.0C.1D.-2

9.如图，Rt4/CB中，ZC=90°,AC=7,BC=5,点尸从点2出发向终点C以1个单位长度/s移

动，点。从点C出发向终点/以2个单位长度/s移动，P、。两点同时出发，一点先到达终点时尸、。两点

同时停止，则（）秒后，△尸C0的面积等于4.

C.4D.1或4

10.二次函数>="2+乐+。的图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x=-1,且与X轴的一个交点为

4

（一3,0）,与y轴交点的纵坐标在-3〜-2之间，根据图象判断以下结论①%>0；®2a-b=0；®-<b<2；

@a+b+c=Q：⑤若ax；-6X]=ax；且X1w,则西+》2=2.其中正确的结论是（）

A.②④B.②③④C.②③⑤D.②③④⑤

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.方程-—4x+3=0的两根为再、x2,则玉+々等于

12.若二次函数y=-4x+加的图象经过/（一1,%），8（4,%）两点，则%,办的大小关系是必

%.（填“>”或“=”或"V"）

13.若关于龙的方程必-x-加=0有两个不相等的实数根，则实数心的取值范围是

1,

14.如图是某座抛物线形的廊桥示意图.抛物线的函数表达式为>=-拓必+io,为保护廊桥的安全，在

该抛物线上距水面高为8米的点E,尸处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离即是米.

15.如图，已知抛物线y=x2—2x,等边△4BC的边长为2百，顶点/在抛物线上滑动，且8c边始终

平行于x轴，当△4BC在滑动过程中，点8落在坐标轴上时，C点坐标是.

三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（每题5分，共10分）选择最佳方法解下列关于x的方程：

（1）2x?+6x+1=0；（2）x~—6x+8=0.

17.（本小题8分）

一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表：

.・・…

X-5-4-3-2-101n

y.・・-11-41454m-4・•・

（1）这个二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为;

（2）加的值是，〃的值是；当时，y随x的增大而增大;

（3）求这个二次函数的解析式.

装

18.（本小题8分）

已知关于龙的一元二次方程X?-2mx+2m-1=0（m为常数）.

（1）求证：不论优为何值，该方程总有实数根.

（2）若方程的一个根为0,求〃?的值和方程的另一个根.

19.（本小题8分）

习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”.某校为促进学生全面发展、健康成长，计

划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地N3CD,基地的一面靠墙（墙的最大可用长度为16m）,另三边

用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留1m宽的门（门不用木

栏），修建所用木栏的总长为37m,设苗圃/BCD的一边CD长为;on.

AD

BL———*C

（1）用含x的代数式表示基地靠墙一边AD的长是m；

（2）若基地/BCD的面积为120m2,求x的值；

（3）基地/BCD的面积能否为130m2.若能，请求出x的值：否则请说明理由.

20.（本小题8分）

某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为7元，当销售单价定为9元时，每天

可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价

不能超过进价的2倍，设该纪念品的销售单价为x.（元），1日销量为》（件），日销售利润为w（元）.

（1）求了与x的函数关系式：

（2）求日销售利润•（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出

最大利润.

21.（本小题8分）

跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如

图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的

参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度。为60m,基

准点K的高度为24m,基准点K到起跳台的水平距离为dm（d为定值）.设运动员从起跳点/起跳后的高

度y（m）与水平距离x（tn）之间的函数关系为y=af+bx+c（。h0）.

（2）若运动员落地点恰好到达K点；且此时a=-b=~,求基准点K到起跳台的水平距离d；

546

（3）若运动员飞行的水平距离为32m时，恰好达到最大高度84m,试判断他的落地点能否超过K点，并

说明理由.

22.（本小题12分）

法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程办2+bx+c=O（a^0）的两个实

bc

数根分别为占、x2；那么两个根的关系为：石+/=—-，xrx2=-.习惯上把这个结论称作“韦达定

aa

理”.

定义：倍根方程：如果关于X的一元二次方程以2+为+c=o（awo）有两个实数根（都不为0）,且其中一

个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程£+9x+18=0的两个根

是一3和一6,则方程/+9丁+18=0就是“倍根方程”。

（1）若一元二次方程炉-6x+c=0是“倍根方程”，求c的值；

（2）若（x-2）（m—冷=0（机70）是“倍根方程"，求加与"的关系；

（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）是“倍根方程”，请说明2/=9℃,

23.（本题13分）

已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-V+bx+c与x轴交于4,8两点，与y轴的正半轴

交于点C,且4（—1,0）,C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点P是抛物线在第一象限内的一点，连接尸比PC,过点尸作POLx轴于点。，交BC于点

K.记△P5C,△3OK的面积分别为S],52,求5―S2的最大值；

（3）如图2,连接/C,点E为线段/C的中点，过点£作E尸，NC交x轴于点尸.在抛物线上是否存在

点使NMFN=NOC4?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

图2

数学阶段练习(一)参考答案(人教版)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.D2.B3.D4.C5.A6.B7.C8.C9.A10.D

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.412.>13.加>—z14.2015.(3+V^,0)，(―I+2V3,—2y/3

三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.(1)解：a=2,b=6,c=1,

A=62-4x2x1=28>0,---2

.-6±V28/

・・x=------，・・・4

4

.-3+V7—3—V7

••4Y]—______9人Y2—-______,..J.«

(2)x2-6x+8=0,(或用配方法)

因式分解得：(x-2)(x-4)=0,-2

可得2=0或工一4=0,…4

解得：玉=2,%=4；…5

17.解：(1)对称轴为直线x=-1,顶点坐标为：(-1,5)；-2

(2)m=1,n=2；当、<一1时，y随x的增大而增大一5

(3)设抛物线解析式为y=a(x+l『+5,

把(0,4)代入得ax(O+l『+5=4,解得a=—1,

抛物线解析式为y=—(x+1?+5=—/一2x+4…8

18.(1)证明：VA=62-4ac=4m2-4(2m-l)=4m2-8m+4=4(m-l)2>0,

所以对于任意的实数小，方程总有实数根.…4

(2)解：设方程的另一个根为f,

则0+1=2m，0-t=2m-1,解得m=~,t=\,

2

所以方程的另一个根是1.…8

19.解：⑴AD长为（39—3x）m；…2

(2)根据题意得:x-(39-3%)=120,

解得x=5或x=8,

•；x=5时，39-3%=24>16,x=8时，39-3%=15<16

x=5舍去，x的值为8；…5

(3)不能，理由如下：假设基地的面积能为130m2,

由题意得：x(39-3x)=130,整理得：3X2-39X+130=0,

AA=(-39)2-4x3x130=-39<0,原方程没有实数根，

基地/BCD的面积不能为130m2.-8

20.解：(1)根据题意得，j=200-10(x-9)=-10x+290,

故V与x的函数关系式为j=-10x+290(9<x<14)；-3

(2)根据题意得，W=(X-7)(-10X+290)=-10(X-18)2+1210,

•.•一10<0,.,.当x<18时，W随X的增大而增大，

当x=14时，w最大=1050,

答：当x为14时，日销售利润最大，最大利润1050元.…8

21.解：(1)c=60；1

(2),/a=-----，b=—，

546

.125“

..y=-----xH—x+60，

“546

:基准点K的高度为24m,

1,5

/.24=-----x"H—x+60,解得：X,=72，x=—27舍去

54617

基准点K的水平距离d为72m；-4

(3)他的落地点能超过K点，理由如下：

,••运动员飞行的水平距离为32m时，恰好达到最大高度84m,

.♦•抛物线的顶点为(32,84),

设抛物线解析式为y=a(x-32)2+84,

93

把(0,60)代入得：60=a(0-32)^+84,解得a=------,

128

3

二抛物线解析式为歹=——(X—32)9+84,

128

当X=72时，>=---x（72-32）2+84=46.5>24,

'128'）

他的落地点能超过K点.-8

22.解:（1）设方程/-6x+c=0的两个根为再，x2,

..•一元二次方程必-6x+c=0是“倍根方程”，x2=2X],

xl+x2=6,xxx2=c,.•・3X]=6,xx=2,x2=4c=8；・・・4

（2），・•方程（x-2）（加工-〃）=0的一个根为2,

则另一个根为1或4,

当另一个根为1时，则一1x（加一〃）=0,

m—n=0,即：m=n

当另一个根为4时，则2x（4加-〃）=0,

4m—n=0,即：4m=n

,ixxct八—u/口-b+Jb?_4cic-b-yjb?-4ac

（3）由求根公式得，x=------------------,x=-------------------,

12a222a

甘°Rin-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4ac

右％=2X,贝--------------=---------------x2,

127la2a

化简得：2b°=9ac.

.cra,i-b+ylb~-4ac-b-4b~-4ac

若2M=x，则--------------x2=-------------------，

122ala

化简得：2b2=9ac.

因此，总有2〃=94.…12

23.解：（1）把2（—1,0）,C（0,3）,代入函数解析式得：

—l—b+c=0[b=2

<，解得：\,

c=31c=3

.*•y——x?+2x+3…3

（2）,当y=0时，一X?+2x+3=0解得%]二—1,x2=3,5（3,0）,

・・・设直线5c的解析式为：>二丘+3（左wO）,把3（3,0）代入，得：k=-l,

.*•y——x+3,

设尸（私一加2+2加+3）,则K（加，一加+3）,D（m，O）,

PK=—m2+2m+3—（—加+3）=—m2+3m,DK=—m+3,DB=3—m,

i39ii?

:.S、=—PKOB=——m2+-m,S）=—DK,BD=—（3—m）,

122222、）

八《

.qq32J_9102^159/151JI

•.S.—So-——m+—m—3-m=-2mH----m—-—2\m------H--------

12222V722（8）32

1CO1

.•.当加=—时，E—邑的最大值为—；…8

832

J2

（3）.*.^（-1,0）,C（0,3）,点£为NC的中点，E

2；2

'：FELAC,：.AF=CF,

：.ZAFE=ZCFE,

设OF=a,则CF=4F=a+l,

在Rt^CO尸中，由勾股定理，得：/+3?=（a+l）2.

：.a=4,/.F（4,0）,CF=5,

•：FELAC,ZAOC=90°,

：.NAFE=ZOCA=90°-NCAF,

：.NAFE=ZOCA,

设