立体几何中的截面问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展25立体几何中的截面问题(精讲+精练)

、知识点梳理

一、截面问题的理论依据

(1)确定平面的条件

①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行

二、截面问题的基本思路

1.定义相关要素

①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.

②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.

③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.

④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.

⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的基本逻辑：找截点一连截线一围截面

3.作截面的具体步骤

(1)找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点

方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点

(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线

(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面

三、作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交

线的过程。

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线

的平行线找到几何体的截面的交线。

模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点

方法：两点成线相交法或者平行法

特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF(这类型的关键)；

2.“第三点”是在外棱上，如Ci,注意：此时合格Ci点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处,

只要在棱上就可以.

方法二：平行线法，做法如下图.

四、正方体中的基本截面类型

0©6^00

锐角三角形等腰三角形等边三角形梯形平行四边形

(1)(2)(3)

006100

二、题型精讲精练

【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形C.正五边形D.正六边形

【答案】ABC

【分析】

根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答

案中的图形进行比照，即可判断选项.

【详解】

当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；

截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；

当截面为五边形时，不可能出现正五边形；

截面为六边形时，可能出现正六边形，

故选：ABC.

【典例2】己知正四棱柱A8CD-A4GR中，BE=^BBt=2,4AB=3AAt,则该四棱柱被过点C,E

的平面截得的截面面积为.

【答案】12M

【分析】在。2上取点尸，使得，尸=2,连接则四边形AEC厂是平行四边形，

由勾股定理可得A2CE,AC,再结合余弦定理与面积公式即可求解

【详解】由题意，正四棱柱ABCD-agGR中，BE=：BBi=2,4AB=3AAt,

可得441=84=。6=8,8£=2,在。2上取点尸，使得。尸=2,连接ARCP,则有A尸=CE,A尸//CE,

所以四边形4ECF是平行四边形，由勾股定理可得

AE=V62+62=6近,CE=V22+62=2A/10,=762+62+82=2A，

212

匚匕I、I/厂厂A£,+CE—AC72+40—136A/5.195nn5TlyA77^77曰b

所以cosAAAfiC=丘二1—=----『——7==——-，所以sinZA.EC=-一，所以四边形AECF是平

2A石xCE2x6V2x2V1010"10

行四边形的面积为4ExECxsin/AEC=6后x2Vi?x券=12加，故答案为：12M

【典例3］如图，在正方体4BCO-A4GQ中，AB=4,E为棱BC的中点，尸为棱44的四等分点(靠

近点2),过点AE,尸作该正方体的截面，则该截面的周长是

［答案］9、+25+2亚

3

【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点AE，尸的正方体的截面，从而求截面的周长.

【详解】如图，取G2的中点a,取CG上靠近点G的三等分点G,

连接AE,EG,GH,HF,FA,易证AE〃止,A尸〃EG,则五边形AEGHF为所求截面.

84

因为AB=4,所以BE=CE=QH=［fl=2,AF=3,DF=1,CG=m,QG=~

则AE=2岔,EG=:，GH=冬43,m=&AF=5,故该截面的周长是

33

人厂+25+2J13战死小49y+25+2J13

AE+EG+GH+HF+AF=------------------•故答案为：—-----------

33

【典例4】已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等，四个顶点在球。的球面上，平面。经过棱AB,AC,

S

AD的中点，若平面。截三棱锥A-bCD和球。所得的截面面积分别为耳，52,则肃=（）

A.巫B.至C.—D.—

8万16万87r64万

【答案】B

【分析】根据平面截三棱锥A-BCD所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.

【详解】设平面a截三棱锥A-3CD所得正三角边长为a,截面圆的半径为r,则

由正弦定理可得=王a,."2=W2=当十病’故选：B

sin60033

【题型训练-刷模拟】

1.截面形状问题

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

【答案】D

【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形.

如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，

因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形,

不可能为七边形，

故选:D.

2.（2023•全国•高三专题练习）已知在正方体ABCD-AAGA中，E,F,G分别是AB,BBt,8c的中

点，则过这三点的截面图的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.

【详解】分别取QG、RD、的中点以、M.N,连接G”、HM、MN,

••,在正方体中，E,F,G分别是AB,BBt,Bg的中点,

:.HG//EN,HMIIEF,FG//MN,

；.六边形EFGHMN是过E,F,G这三点的截面图,

过这三点的截面图的形状是六边形.

故选:D

3.（2023•全国•高三专题练习）已知在长方体ABC。-$耳GR中，AB=BB1=2BC,点、P,Q,T分别在棱

BBi，CG和A3上，且耳尸=3族，CQ=3GQ,BT=3AT,则平面PQT截长方体所得的截面形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】C

【分析】连接QP并延长交CB的延长线于点连接ET并延长交AD于点S,

过点S作SR//EQ交于点R,连接RQ,即可得到截面图形，从而得解.

【详解】如图连接0P并延长交CB的延长线于点E,连接ET并延长交AD于点S,

过点S作SR//EQ交。2于点R,连接EQ,

则五边形PQRST即为平面PQT截该长方体所得的截面多边形.

其中因为■BIP=3BP,CQ=3ClQ,BT=3AT,

EBBP11

所以AEBPSWCQ,贝1!万=方=>所以E3=48C,

ECCQ32

又ASATSAEBT,所以岂=丝=1，所以SA=!匹=4A。，

EBTB336

则SD=9AD,

6

显然ASDRSAECQ,贝！］蹊=笠，所以。R=:QC=1；CG=3DR.

“91212

故选：C

4.（2023秋・江苏南京•高三统考开学考试）在正方体ABCD-A与GR中，过点8的平面a与直线A。垂直，

则a截该正方体所得截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】A

【分析】作出辅助线，证明出即，平面相C，所以即，4C,同理可证明BC」AC,得到4C_L平面BCQ,

故平面a即为平面BG。，得到截面的形状.

【详解】连接B28G，G2AC,

因为AA]J_平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以AA

又四边形A3CZ）为正方形，所以AC_LB£>,

又A41nAe=A,A4，ACu平面AAC，

所以BO,平面AAG，

因为ACu平面AAXC,

所以BO_LAC,

同理可证明8GAC,

因为=8G，8。u平面BCQ,

故AC，平面BCQ,

故平面。即为平面BCQ,

则a截该正方体所得截面的形状为三角形.

5.（2023・河南•模拟预测）在正方体A8CO-中，M,N分别为A。，GQ的中点，过M,N,与三

点的平面截正方体ABC。-&与GA所得的截面形状为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【答案】B

【分析】在A8上取点Q,且BQ=3AQ,取C。中点为P,在上取点R,且，R=3".通过AQAMSAPCB,

可得NAQM=N3PC,进而得出NABP=NAQM,〃BP.通过证明耳N〃BP,得出4N〃QM.同理得

出NR〃瓦Q,即可得出正方体的截面图形.

在上取点。，且8Q=3AQ,取CD中点为P,连接用0.

在。2上取点R,且RR=3OR,连结NR,MR.

因为有=AM=2/QAM=NPCB,

BC2

所以AQU/SAPCB,所以NAQW=/BPC.

又AB"CD,斫以ZABP=ZBPC,所以ZABP=ZAQW,

所以，。河〃BP.

因为MP分别为GA，8的中点，所以PN〃cq,且PN=CG.

根据正方体的性质，可知BBl〃CG,且BBi=eg,

所以，PN//BB},且PN=BB],

所以，四边形BPNq是平行四边形，

所以，B.N//BP,所以4N〃QM.

同理可得，NR〃BQ.

所以，五边形QMRN用即为所求正方体的截面.

故选：B.

6.（2023•全国•高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体ABCD-ABGR中，点/为的中点,

点尸在侧面ADQA上，且到4。的距离为6,到AA的距离为5,则过点尸且与AM垂直的正方体截面的形

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.

【详解】如图所示，过点P作匹〃AR分别交斜,。。于点E尸，因为ALUA。，可得E/FA。，

在正方体ABC。-4月6。中，平面ADR4,所以EF上CD

又cr>nao=o,所以EF1平面MD\,AD1平面MD\，所以AQ，所

过尸作交于AA点K,则尸K=6,设KF=x

,FKKPx6

则AE=4忆所以三丁=即仁=79，则x=6

%A^EAiEA/

所以4f=4长+什=5+6=11

在正方形4BCA中，取CQ的中点叫，连接町明，4陷

则VA]M12与VD1GN,则ZDlAlMl=ND£

所以NNDM+=NNDM+=90。,即A.M,±DXN

取4G的中点N,过F作FH//D]N交B©于点H,连接"N,则人”|，制

又MM,1平面42c2，所以MMi，F”,由脑%cAM=M

所以ML平面所以五H，A/

又EFcFH=F,所以4M_L平面EFH

连接BG，过H作“G//BCi,由BCJ/AQ,则3。"/产七，所以HG//FE（且HGrFE）

连接EG,则四边形EfHG为梯形，所以4加，平面EFHG

所以截面的形状为四边形边形ETHG.

故选:B.

7.（2023・上海•高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方

形ABC。为底面，则四边形EFGH的形状为（）

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定

【答案】B

【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有"G//EEE"〃尸G,即知EFG”的形状.

【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知HG//EF,EHUFG,

E尸GH为平行四边形.

故选：B

2.求截面的面积

一、单选题

1.（2022春•山西朔州•高一校考阶段练习）在正方体ABCD-4耳CQ中，棱长为3,E为棱B耳上靠近耳的

三等分点，则平面AE2截正方体的截面面积为（）

A.2vHB.4A/TTC.2叵D.4A/22

【答案】C

【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可.

【详解】延长AE,44交于点尸，连接2尸交耳£于点G,如图，

在正方体ABCD-A耳6,中，面ADDN面BCCR,

•.•面AFDt0面ADD,4=AD,,面AFD}口面BCG瓦=EG

:ADJ/GE,又•,2=3&,GE=0

，四边形AEGDI是梯形，且为平面AER截正方体ABCD-A耳6。的截面.

又•:RG=AE=屈,在等腰梯形AEGR中，过G作

GH=J〃好-'炉=而

.•.S=1.（AD1+EG）-GH=1.（V2+3A/2）.^T=2A/22.

故选：C.

2.（2022秋.安徽合肥.高三统考期末）已知正方体ABC。-$耳C.的棱长为2,M、N分别为A再、4G的

中点，过M,N的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）

C3710一9

A.2A/2B.2A/5D.-

,22

【答案】D

【分析】画出图形,可得最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA，根据梯形的面积公式求解即可.

【详解】如图所示,最大面积的截面四边形为等腰梯形MNC4,

其中MN=Ji,AC=26,,AM=CN=5高为九=

故面积为gx（&+2&b半=|

故选:D.

3.（2023•安徽蚌埠•统考一模）如图，正方体ABC。-ABIGP的一个截面经过顶点AC及棱4耳上一点K,

截面将正方体分成体积比为2:1的两部分，则英的值为（）

AJDJ

n3-V5

C.LJ,--------------

3222

【答案】C

【分析】画出截面,得到截面把正方体分为三棱台ABC-KB.M和另一几何体,根据棱台体积公式求出KB1,

进而求出的值.

【详解】设正方体棱长为1,KBL，

如图所示，该截面把正方体分为几何体A8C-K与M和另一几何体,

由面面平行的性质可知：KMHAC,

延长A&CM,相交于点。，则Oe平面A阴A，且Oe平面8CC4,

又平面ABB.AP平面BCCXBX=BBt,

所以。在直线B片上，即AK,CM,2与三线共点，

所以几何体为三棱台，

其中三棱台ABC-K耳M上底面积是1一，下底面积为高等于1,

所以丫=]»石才文14解得：户”，

75-1_3-754K_3-若275-1

所以AK=1-%51-

22'g-22

故选：C

4.（2023春•全国•高一专题练习）已知三棱锥P-ABC的所有棱长均为3,球。与棱B4,PB,PC都相切,

且平面ABC被球。截得的截面面积为2兀，则球。的半径为（）.

A.1B.72C.20D.6,或2垃

【答案】B

【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为。1,连接A。，由球O截平面ABC所得的截面面积为2兀，

得截面圆的半径为0,设球o的半径为R,得=i,过O作PA的垂线，垂足为D,得△尸A。1

POODL

sMOD,可得37=777，进而求得衣=应.

jr/l/1CX）

【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为。一连接AQ,则球心O在线段PQ或其延长线上，

。1为正&4BC的中心，贝!IAQ=：*#48=百，PQ=彩状-AO；=底.

设球O的半径为R,因为球O截平面ABC所得的截面面积为2兀,

所以截面圆的半径为所以一2,7?>V2.

过O作PA的垂线，垂足为D,则00=7?,

POOP

△FA。s^PQD,所以TT为.

①当点O在线段pq上时，"”一2=4即飞代一2=底一圆，

贝!IR2-3扬?+4=0，且后-而?20,解得R=0;

②当点在线段尸《的延长线上时，#+收-

O2=4即依_2=®_瓜

贝（I-3'$/^/?+4=0，-0.\/37?—\/6>0,解得R=或R=,

当尺=行时，点O,。1重合，此时点O不在线段PQ的延长线上，故舍去；当R=20时，切点D不在棱

综合①②可知，R=0,

故选:B.

5.（2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）若球。是正三棱锥A-3CD的外接球,

3。=3,42=2百，点£在线段及1上，BA=3BE,过点E作球。的截面，则所得的截面中面积最小的截面

的面积为（）

,8兀4兀

A.——B.2KC.—D.兀

33

【答案】A

【分析】设。是球心，O'是等边三角形BCD的中心，在三角形O。。'中，^OO'-+DO'~=OD2,可求得

R=OD=2,再利用厂2=R2-O«2可得过后且垂直OE的截面圆最小即可.

如图所示，其中。是球心，O'是等边三角形BCD的中心，

可得OB=（7D=FBC=6,AO=JAB。-OB。=3,

设球的半径为R,在三角形0D。'中，由OO=+£>O"=。£）2,

即（3-尺）2+（右）2=屋，解得尺=2,即AO=2,

所以ON=3。。，

因为在人钻。'中，O'A=3O'O,BA=3BE,

所以，OE//O'B,OE=-O'B=^~,

33

由题知，截面中面积最小时，截面圆与0E垂直，

AO

设过E且垂直0E的截面圆的半径为小贝!］一=代一。片=4一三=|,

所以，最小的截面面积为无一=与.

故选：A

6.（2023・四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，

顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=6=点E是线段8c的中点，过点E作球。的

截面，则所得截面面积的最小值是（）

【答案】A

【分析】如图，。］是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于0E时

截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.

【详解】如图：

。1是A在底面的射影’由正弦定理得‘△BCD的外接圆半径「二磊=L

由勾股定理得棱锥的高|AQ|=万万=1设球。的半径为R,

贝1]R2=(I—R『+I,解得R=I,

所以1。。卜0,即2与。重合,

所以当过点E作球O的截面垂直于0E时，截面面积最小，

此时截面半径为怛闵=心，截面面积为子.故选：A.

1124

7.（2023秋・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，M,N

分别为棱AR,OR的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）

【答案】C

【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点。处，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截

面圆的圆心为线段的中点。求解.

【详解】解：如图，

正方体外接球的球心在其中心点。处，球的半径R」«+12+F=

22

要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段MN的中点

连接。M,ON,则OM=ON=MN=显,

2

所以OQ==当，

此时截面圆的半径r=^R2-OQ2=当，

此时，截面面积的最小值5=兀，=gTT.

O

故选：C.

8.(2023・四川成都・校联考模拟预测)在三棱锥V—ABC中，平面E4C,VA=1,AB=AC=W

COSNW1C=变，点/为棱AV上一点，过点尸作三棱锥V-ASC的截面，使截面平行于直线VB和AC,当

2

该截面面积取得最大值时，b=()

A.叵B..

32

rVnD.叵

43

【答案】B

【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表

示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直

角三角形即可求得答案.

【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作所〃4C,交VC于点E；

在平面VBC内，过点E作EQ〃VB,交BC于点Q；

在平面VAB内，过点F作ED〃VB,交AB于点D,连接DQ,如图所示，

E

C

因为£F〃AC,贝（J△VC4s△VE77,设其相似比为k,即歹7='^=77^二女，

VAVziCx

则EF=瓜;

又因为V44=l,AC=y/2）cosZVAC=»

2

由余弦定理得，VC=Jl+2-2xlxV2x^=l,贝！|代2+忆Y=AC2,BPVC1W1.

又3V_L平面L4C,VC,VAu平面侬C,所以3V_LVC,BVLVA.

又AB=金,则3y=1,BC=V2.

A//A。FD

因为FD//VB,则/\AFDs/\AVB,则--=——-=---，

AVABVB

同理可得QE=1-左，即。E=FD,

因为EQ〃VB,FD//VB,则EQ〃ED,

故四边形EFDQ为平行四边形；而EQu平面EFDQ,VBz平面EFQQ,

故VB〃平面EQ,同理AC〃平面EFDQ,

即四边形E/*Q为截面图形；

又平面E4C,£Fu平面VAC,则BV_LEF,

又FD/NB,所以FD_L£F.

故平行四边形EH»Q为矩形，则S矩形£住=口•ED=®-(1-Z)=-4i\k

所以当4=5时，S矩形EF02有最大值，则VTruAVAu/,

在RtATVF中，CF=y/CV2+VF2=Jl+1=^,

故选：B

9.(2023・安徽合肥•统考一模)已知正方体ABCD-A4G。的棱长为4,M,N分别是侧面CR和侧面BQ的

中心，过点"的平面a与直线ND垂直，平面a截正方体AC】所得的截面记为S,则S的面积为()

A.5A/3B.4A/6C.I屈D.9面

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答.

【详解】正方体A8CD-AAGA的棱长为4,建立如图所示的空间直角坐标系，

侧面CDj的中心”(0,2,2),侧面BG的中心N(2,4,2),而£>(0,0,0),有两=(2,4,2),

显然点M在平面。与平面CDDG的交线上，设尸(0,3为)为这条交线上任意一点，

用=(0,乂-2,4—2),而ND,平面a,则赤•两=4(必一2)+2(4—2)=0,

即2%+马=6,令z=0,得点尸(0,3,0),令4=4,得点G(0,l,4),连FG,

平面。与平面ABCD必相交，设Q(x,y,O)为这条交线上任意一点，而=(x,y-3,0),

由苑-两=2尤+4(y-3)=0,即尤+2y=6,令x=4,得点"(4,1,0),连FE,

因为平面4月£2〃平面ABCD,则平面a与平面4月GR的交线过点G,与直线FE平行，

过G作曲//庄交AA于8(/,4),GH=a,-l,0),FE=(4,-2,0),

由曲//厚得f=2,即"(2,0,4),显然平面a与平面A84A，ADRA都相交，

则平面a与直线A4相交，令交点为K(4,0,〃2),EK=(0,-l,m),由丽.而=-4+2"=0得K(4,0,2),

连接EK,HK得截面五边形EFGHK,即截面S为五边形EFGHK,

EF=FG=2EGH=EK=&HK=2贬,取斯中点工(2,2,0),连接GL,EH,则3乙=£”=万，

龙心口“小”灯〃EK2+HK2-EH2屈.”打〃V15

在△石HK中，cosZEKH=---------------=--------,smZEKH=----,

2EKHK55

△EHK的面积S^EHK=EKHKsinZEKH=；xj^x2jlx^=76,

女”7小…GF2+LF2-GI}1./「E276

在ArG£中,cosAGFL=---------------------=—,sinZGFL=-------,

2GFLF55

△FGL边包上的高/z=PG•sinNGFL=坐,

梯形面积SEQH=L（G"+EE>/7=L（6+26）X半=6#,

22v5

所以S的面积为5=S.EHK+SEFGH=.

故选：C

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

10.（2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥中，

AB=BC=CD=DA=2A/2,ZADC=ZABC=90",平面ABC」平面ACD,三棱锥A-BCD的所有顶点都在

球0的球面上，E,F分别在线段OB,CD上运动（端点除外）,BE=0CF.当三棱锥E-ACF的体积最大时，

过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（）

L3

A.兀B.C.-7iD.2兀

2

【答案】C

【分析】取AC的中点0,证得。为球心，利用二次函数求出三棱锥E-Ab的体积最大时x的取值，当纷

垂直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径.

【详解】如图，取AC的中点。，连接OF,OB,OD,

因为/AT)C=NASC=90。，所以O4=O2=OC=O£>=1AC,即。为球心,

则球。的半径R=2,又AB=3C,所以

又平面ABC」平面ACQ,平面ABCc平面AC。=AC,03u平面ABC.

所以QB_L平面ACD,

设Cb=x,贝！18£=也尤＜2,所以0cxe近，

所以三棱锥E-Ab的体积

/I—\2

V=-SxOE=-x-CFxADxOE=----242(2-y/2x)=-(y/2x-x2)=--x-—+-.

3sArF32323、'3^2J3

当x=YI时,V取得最大值〈，

23

由于。4=O3=OC=OD,在ACOF中，由余弦定理得：

22

OF=VOC+CF-2OC-CFcosZACF=A4+--2x2x^lx^l=眄.

V2222

根据球的性质可知，当/垂直于截面时，截面圆的面积最小,

设此时截面圆的半径为,，所以厂=J/?2一。歹2=

则截面面积的最小值为仃2

故选:C.

11.（2023•江苏•高一专题练习）已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,侧棱长为20,SC的中点为£,

过点E做与SC垂直的平面a,则平面a截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为（）

A.述B.辿C苫D.|

33

【答案】A

【分析】根据题意垂直关系可得平面。截正四棱锥S-ABCD所得的截面面为四边形AMEN,结合根据相似

求长度，进而根据面积公式即可求解.

【详解】连接ACAE,

由题意可得：SA=SC=AC=2y/2,即ASAC为等边三角形,

且E为SC的中点，可得AE_LSC,AE=#,

故AEu平面a,

连接80,设BDcAC=O,连接SO,

可得AC_LBDSO_L平面ABCD,

且班）U平面ABC。，贝

AC^\SO=O,AC,SOu平面&4C,所以班）1平面5AC,

AEu平面SAC,则

在直线SB取一点M,连接AM,ME,使得MELSC,

SB2+SC2-BC28+8-43

在ASBC中，cosZBSC

2SBSC2x20x204

_SEV2_472

因为MELSC,可得cosNBSC一。一3

故5M=2MB,

同理在棱SC取一点N,使得SV=2NC,连接NE,AN,MN,则AELSC,

故平面a截正四棱锥S-ABCD所得的截面面为四边形AMEN,

—=—=2,则MN//BD,MN=2BD=@^,

MBNC33

由可得上WLAE,

所以四边形AMEN的面积工=生”

2233

故选：A.

12.（2023春・湖北武汉•高一武汉市第H^一中学校考阶段练习）已知正四棱锥尸-ABCD的体积为36,底面

ABCD的面积为18,点E、F分别为巴4、PC的中点，点G为尸3的靠近点3的三等分点，过点E、F、G

的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（）

TB.吁C苧.器

【答案】C

【分析】连接AC、BD,设ACn3D=O,连接尸。，连接GO】并延长交尸。于点a,连接GE、GF、HE、

HF,在△尸5£＞中，过点B作BM//GH交PD于点M,交尸。于点■，过点加作上加，血＞交于点N,

证明出防，G”,计算出麻、G"的长，进而可求得截面四边形的面积.

【详解】连接AC、BD,设ACnBD=O,连接P。，

易知尸。为正四棱锥P-ABCD的高，连接E尸交尸。于点Oj.

因为点E、尸分别为E4、PC的中点，则可7/AC,

因为所0尸0=9,所以，。为尸。的中点.

连接G。并延长交于点H,连接GE、GF、HE、HF,

因为四边形ABCD为正方形，则AC13。，

因为P01平面ABC。，ACu平面ABCD,所以，ACLPO,

因为尸0rl8。=。，P0、皮）u平面P8D,所以，ACI5?®PBD,

因为G〃i平面尸&D,所以，ACLGH,则EFJ_G",

四边形GEHF为所求的截面四边形，如图1.

图1

因为正四棱锥尸-45co的体积为36,底面ABC。的面积为18,

所以底面A3CO是边长为3亚的正方形，则AC=8。=6,

由匕”cD=gSwc。•尸O=gxl8xPO=36,可得尸0=6,

在△尸的中，过点B作BM//GH交PD于点M,交PO于点。

过点M作MNLBD交BD于点、N,如图2.

,GHP0.PG2

因为BMUGH,则痴厂屉=方=鼠

139

又。I为P0的中点，。为5。的中点，所以尸a=]PO=3,PO2=-PO=-9

93

OO.=PO-PO.=6——=—,OB=OD=3,

22

MNPO6八…MNOO311

所以tanNMDN="=U=?=2,tanZMBD=-----=—2—=—x—=—

DNOD3BNOB232

贝1]=BN=2MN,所以BD=BN+DN=2MN+LMN=，MN=6,

222

故MN=g,所以8N=V，则BM=J-N?+MN2=

35

故四边形GEHF的面积为SmaEHF=-EF-GH=-x3x^=”好，

四见形2255

故选：c.

【点睛】方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的

性质确定截面形状是解决截面问题的关键.

(1)平面的四个公理及推论；

(2)直线和平面平行的判定和性质；

(3)两个平面平行的性质；

(4)球的截面的性质.

二、填空题

13.(2023春•河北保定•高一定州一中校考阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD-ABiG。中，若E为棱B片

的中点，则平面AEG截正方体ABCD-4片64的截面面积为.

【答案】2瓜

【分析】作出截面截面AEC/,/为。2的中点，则可得截面AEC/是边长为正的菱形，求出其面积即

可.

【详解】如图，在正方体ABCD-A用GA中，

平面&DQAII平面B£CB,

平面AEQ与平面A.D.DA的交线必过A且平行于QE,

故平面AEG经过OQ的中点下，连接"，得截面AEC/,

易知截面AEC/是边长为正的菱形，其对角线EE=80=2亚,

AQ=2瓜截面面积S=；A£xEF=；x2夜x26=2技

故答案为：2器.

AB

D}G

14.(2022•广西桂林•校联考二模)在三棱锥ABC。中，对棱A3=CO=君，AD=BC=屈,AC=BD=M,

当平面a与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值

为.

【答案】3

【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x,y,z,求出x，V，z,

由线面平行得线线平行，证明当瓦RG,〃是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨论求得截

面面积的最大值.

【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x,y,z,则

旧+y2="&+z?=+z?=屈,贝!]x=l,y=2,z=3.

当平面a与三棱锥ABCD的对棱AB,CD均平行时,截而为四边形EFGH,ABIIFG〃EH,CD//EF//HG,

AFEFAE

设二同理£"=(1T)A&/(或其补角)是异面直线AB,8

ACCDAC

所成的角，

SEFGH=EFEHsinZHEF=t(l-t)AB-CDsinZHEF,其中AB.CDsinZHEF为定值，

111

t(l-t)=-t2+t=-(t-^)2+-^,时，*1T)取得最大值，即截面跳GH面积最大，此时E,£G,"是所

在棱中点，

由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半g孙=1,