2024年高考数学复习专项试题汇编：数列

(5)数列

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1.[2024届•重庆市第八中学•模拟考试]已知数列｛%｝的前n项和为5“，设甲：｛%｝是等差数列，

乙：/=(%丁”,则甲是乙的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]定义：在数列｛4｝中，娱—&包=d(〃eN*),其中d

an+lan

为常数,则称数列｛叫为“等比差”数列.已知“等比差”数列｛凡｝中，/=4=1,%=3,则十

()

A.1763B.1935C.2125D.2303

3.[2024届.浙江温州.二模]已知等差数列｛%｝的前〃项和为%公差为d,且｛SJ单调递增.

若为=5,则d£()

A-H)B-[°'7)CH)D.若)

1H

4.[2024届•合肥一六八中学•模拟考试]数列｛%｝中，an=an+l+2,a5=18＞贝Jq+a2Haw=

()

A.210B.190C.170D.150

5.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]设数列｛%｝满足q=3,%=3a”-4n，若

2

=4/7+8n+5)且数列也｝的前〃项和为S“，则S”=()

anan+\

A.nfl———1++]

I6n+9)36n+9(6n+9)(6n+9)

二、多项选择题

6.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]等差数列｛%｝中，q>0,则下列命题正确的是（）

A.若。3+%=4,则Sg=18B.若Si5>0,516<0,贝!

C.若%+%=5,。3+〃4=9，贝！J%+i8=17D.若。8=Ho，则Sg>。，510<0

7.[2024届.江苏省前黄高级中学.一模]已知等差数列｛4｝的前几项和为S/｛%｝的公差为d,

则（）

A.Si3=13s7B.S5=4a2+%

C.若｛也”｝为等差数列，则d=_lD.若｛叵｝为等差数列，则d=2q

8.[2024届.山东临沂.二模]已知｛4｝是等差数列，S“是其前〃项和，则下列命题为真命题的是

（）

A.若生+&=9,%+。8=18,则%+%=5

B.若出+%3=4，则Su=28

C.若廿5<0,则跖〉工

D.若｛«„｝和｛4•%｝都为递增数列，则an>Q

三、填空题

9.[2024年新课标H卷高考真题]记S”为等差数列｛%｝的前〃项和.若%+%=7,3a2+4=5，

则$=_________..

10.[2024届.河南许昌.模拟考试校考]抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为。，反面向

上的概率为：，记〃次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为4,则数列｛4｝的通项公式4=

H.[2024届.河北衡水.二模联考]已知等差数列｛%｝（公差不为0）和等差数列也｝的前〃项和

分别为S",Tn,如果关于x的实系数方程1003炉—10++1003=0有实数解，则以下1003个方

程平+4=0«=1,2,…,1003）中，有实数解的方程至少有个.

四、双空题

12.[2024届•河北•模拟考试]已知数列｛4｝满足q=2,且an+1=a；+4/+2,则%=

______________;令d=」々+」不若也｝的前〃项和为S,,,则S〃=________________.

a“+3"〃+1+

五、解答题

13.[2024届.辽宁省实验中学.模拟考试]已知正项数列｛%｝的前〃项和为S.,且满足

咯=。『+4%+4.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

’2"T〃为奇数

⑵若a=1，｛么｝的前几项和为7；，求七•

5可,_4为偶数

14.[2024届•山西长治•一模校考]已知正项等比数列｛4｝满足红=4",〃eN*.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足a=出口，设其前〃项和为S”，求证：S„<5.

an

15.[2024届.湖北.模拟考试联考]记用为公比不为1的等比数列｛%｝的前〃项和

,%—4=—84+8q,5*8=21.

(1)求4;

(2)设包=题24，由｛4｝与也｝的公共顶从小到大组成数列｛%｝,求｛%｝的前〃项和小

参考答案

1.答案：C

2.答案：B

解析：因为数列｛4｝是“等比差”数列，

所以"+2——=d(nwN*),因为q=q=L/=3，

an+lan

所以d=%_&=2,所以有嗅——=2,-=幺—"=2,

%a〃+i册/1a?q

累和，得口一&=联=2〃+ln4=2〃一3(〃22,女9),

4+i%%%-i

因此有3=2〃-3,也=2〃-5,…，a=1,累积，得

an-\an-2a\

生=(2〃—3)(2〃—5)..」=>4=1X3X5X...X(2〃—3),

ax

所以丝=比3*5±..4比43x42=1935,

a22Ix3x5x…41

3.答案：A

4.答案：C

解析：由a”=4M+2知数列｛%｝是公差为-2的等差数列，

所以q+a2H----F%o=5(%+«6)=5x(18+16)=5x34=170.

故选：C.

5.答案：D

解析：由an+l=3an-4n可得<7计1一[2(n+l)+l]=3&-(2〃+1)],

ax-3,-(2x1+1)=0,

则可得数列｛%-(2〃+1)｝为常数列0,即(2“+1)=0,二a“=2”+1,

,4/+8〃+5(2〃+1)(2〃+3)+2,2,11

n(2〃+1)(2〃+3)(2〃+1)(2〃+3)(2〃+1)(2〃+3)2n+l2〃+3

112

)=n+-———=n(l+).

"35572n+l2n+332n+36n+9

故选：D.

6.答案：ACD

解析：等差数列｛%｝中，q〉0,

对于A,%+%=4，59=9（>；>）=9（）；。7）=]8,A正确；

对于B,兀=15（.；&）=15%>0,贝l]g〉O,&=16纥.6）=8（网+的）<0'

贝U%+为<°，佝<—。8<0，因止匕d——（网+。9）（。8—。9）<。，即。8<“9，B专昔；

对于C,％+。6=2(〃3+。4)—(4+。2)=13,则%+%=2(%+4)—3+%)=17,C正确;

9

对于D,设｛%｝的公差为d,由。8=HO，得q+7d=10q+45d,解得d=—百生,

则S=9q+36d=9(4-----q)>0,=5(2q-----4)<0,D正确.

91938

故选：ACD

7.答案：BD

解析：A选项，&J®；%)*；%=]3%,而S7,的不一定相等，A不正确;

B选项，因为§5=5"生)=5%,4a2+%=4(%—d)+a3+4d=5%，

所以S5=4a2+%,故B正确；

C选项，因为=〃2d+(%-d)n,

若｛九见｝为等差数列,贝1J(〃+1)〃八+1-次1〃=(“+1)2d+Q_d)(n+l)_十2d—(%-d)n

=2nd+%，

要想+q为常数，贝1」d=0，故C不正确;

D选项，由题可知S'=〃q+""T）"=4/-

若｛疯｝为等差数列,则其5卜为关于〃的一次函数,

所以q—_|=0，即d=2q,故D正确.

故选：BD

8.答案：BC

解析：

9.答案：95

解析：解法^设｛〃〃｝的公差为d,由%+%=%+2d+q+3d=2q+5d=7,

3a2+%=3（q+d）+q+4d=4q+7d=5,解得q=—4,d=3,贝lj510=10%+45d=95.

解法二：设｛〃〃｝的公差为d,由〃3+。4=。2+。5=7，32+。5=5，得。2=—1，〃5=8，故

d=w=3,4=11，贝|JS10=3X1O=5（%+4）=5x19=95.

io.答案：1+QJ+1

解析：根据题意有：抛掷〃次偶数次正面向上的情况由抛掷次偶数次正面向上的情况下第

n次反面向上，或抛掷次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成，

可得递推关系为4+,构造数列4=,

1

所以「T=；，即数列1%是以4-g为首项，以;为公比的等比数列，

—4

又抛一次硬币，偶数次正面向上为0次，此时q=士3，所以％」1=士3」1，

所以％m>〔｛），故答案为，白出■

11.答案：502

解析：由题意得，C3-4X10037;003>0,

又因为S1003=—；4。。3）=1003«502，7;003=1003s之+―）=IOO3%2，

代入得溢2-4怎220,要使方程f—平=0«=1,2，…,1003）有实数解，则

a；—4220a=1,2,…,1003),

2

显然第502个方程有解，设方程—qx+仇=0与方程x-o1003x+%03=0的判另U式分别为A，

△1003'

则△]+：的)+23-物期)=：溢03伪(》3)--~x

A1003=(a—(a1tMa+-4(4+-42Z?502,

即'+A10032当--畋。2=2（吮-4媪）20,等号成立的条件q=%。。3，

所以ARO,A100320中至少一个成立,

同理可得A20,金020中至少一个成立，…，Aoi20,A0320中至少一个成立，且。220,

综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，

故答案为：502.

12.答案：22"-2;』—』—

ZZ322-1

解析：由a〃+i=a；+44+2，可得a.+j+2=a；+4a“+4，即+2=(4+27，

两边取以4为底的对数得log4(a„+1+2)=210g4(4+2),

Xlog4(a1+2)=log4(2+2)=1^0>

则数列｛log/q+Z)｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

n

所以log4(a„+2)=2-',所以q=4州-2=2*-2；

由an+1=a；+4an+2,得a〃+i+1=a；+4a〃+3=(4+1)(为+3)，

则=——A——r=-f—................—\得---

。0+3a〃+i+14+1，〃+1+1

。]+1%+1a2+l/+1+1。〃+1+1

1111

%+lQ〃+i+l32r+，-1,

故答案为：2“-2；

22322-1

13.答案：(1)«((=4/7-2

⑵7；2

2〃=^3l+2n-n

解析：(l)•.,8S“=a“2+4a“+4①.^.8S“T=a“T2+4a“T+4②

①-②整理得(%+%)(%-%一4)=0,心2

数列｛%｝是正项数列，an一%=4,H>2

当”=1时，由8sl=+4%+4,可得q=2.

二数列｛%｝是以2为首项，4为公差的等差数列，

/.an=4n-2；

<2"-"为奇数

(2)由题意知,

,2〃-3〃为偶数

故卫“=(1+22+24+…+227)+0+5+9+…+4”-3)

〃(1+4"-3)

=1-4+-2

4"T"

=---+2n-2-n-

3

14.答案：⑴%=2芹

(2)证明见解析

解析：(1)设正项等比数列｛%｝的公比为式q〉0),由殁红4〃，得_4〃+1,

''2—'

两式相除得/=4,贝必=2,又竽=4,即a；=4,而q0,贝ljq=2,

所以数列｛«„｝的通项公式是q=a^-1=2".

⑵由⑴知么=等，

mi3572n+l

〃222