高考数学复习专项训练：平面向量及其应用

专题09平面向量及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

「［向量：既有方向又有大小的量

《零向量：长度为1个单位长度的向量）

O知识点一平面向量的有关概念平行（共线）向量：方向相同或相反的向量|题型01平面向量的概念辨析|

《相反向量：长度相等且方向相反的向量

三角形法则：首尾相接

向量加法平行四边形法则:共起点

运算律|题型01向量的线性运算|

。知识点二向量的线性运算

向量减法I--1几何意义：a-6=a+（-A）

平向量数乘运算律：结合律、第一配律、第二分配律

面

向量共线定理：非零向量。与碘线o存在唯——个实数从使得6=加

向

Yo知识点三向必定理与基本定理）~c^雌定理）题型01向量共线及其应用

量题型02基底的概念及判断

、-------------------------------------------/L「平面向量基本定理：如臬“是平面内的两个不共线的向量，

题型03用已知基底表示向量

及

那么对于平面内任一向量。，有且仅有一对实数否，九，使。=4回+也62

其

应向量的夹角同起点、0*e«180°

定义：«-d=|fl||6|cose题型01向量数量积的计算

用

Z向量的数量积题型02向量垂直的相关问题

O知识点四平面向量的数量积--------几--何意义数量积。•播于I。巨码方向上的投影网cose的乘积题型03向量模长的相关问题

题型04向量夹角的相关问题

向量数量积的性质

题^05投影向量及其应用

向量数量积的运算律I交换律、分配律、数乘结合律

一向量0=(xiyl),b=(X2y2))

T加法：t+b=(xi+x2M+。^)

一向量线性运算坐标表示、卜

a-b=(xi-x2^v-y2)■'

J数乘：片“例

向量平行的坐标表示）~~（XD,2-X说=0）

知识点五平面向量的坐标运算题型01平面向邮坐后示及运算

O题型02线段定比分点的应用

KL：模长的坐标：口=衍）

匚向量数量积的坐标表示

匚［模长的不等关系：路+“力£+H）＞j

口承盘点・置；层升上

知识点1向量的有关概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、零向量：长度为0的向量，记作0.

3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：。与任一向量平行.

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量.

6、相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点2向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

交换律：〃+BB+〃；

加法求两个向量和的运算

aa结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

三角形法则平行四边形法则

求Z与石的相反向量

减法a-b=a+(-B)

-石的和的运算几堤义

=设忖，

结合律：A（jua）=（Aju）a；

求实数力与向量。的当QO时，花与Z的方向相同；

数乘第一分配律：（4+〃）Q=XZ+〃a；

积的运算当4<0时，痛与Z的方向相反；

第二分配律：2（6Z+B）=Aa+Ab

当2=0时，2a=0

知识点3向量共线定理与基本定理

1、向量共线定理：如果［贝，反之，如果且以0,则一定存在唯一的实数2,使3=2石.

2、三点共线定理：平面内三点A、B、C三点共线的充要条件是：存在实数2,〃，使4=彳函+〃而，其

中；1+〃=1,。为平面内一点。2

3、平面向量基本定理

（1）定义：如果耳最是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量Z，有且只有一对

实数44，使4=4弓+44

（2）基底：若4,《不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（3）对平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底给定时，分解形式唯一.4，不是被24,最唯一确定的数值.

③♦区是同一平面内所有向量的一组基底，

则当a与q共线时，办=。；当a与e2共线时，4=。；当a=6时，4=4=。.

④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.

知识点4平面向量的数量积

1、向量的夹角

i1UULiULU1i1i

（1）定义：己知两个非零向量a和b,作。4=a,OB=b,则NA03就是向量。与匕的夹角.

(2)范围：设。是向量。与b的夹角，则0区比180。.

(3)共线与垂直：若0=0。，则;与方同向；若6=180。，则。与力反向；若6=90。，则;与方垂直.

2、平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与匕，它们的夹角为仇则数量MWcose叫做a与6的数量积(或内积)，

IlT'T'T'r11

记作a./?,即a/=|a||Mcose,规定零向量与任一■向量的数量积为0,即().〃=().

(2)几何意义：数量积。.力等于，的长度口与，在:的方向上的投影制cos。的乘积.

11111,r.

【注意】(1)数量积口力也等于匕的长度|b|与a在人方向上的投影|a|cos6的乘积，这两个投影是不同的.

II

(2)口在b方向上的投影也可以写成精，投影是一个数量，可正可负可为0,取决于。角的范围.

\b\

3、向量数量积的性质

1i111

设a,b是两个非零向量，e是单位向量，a是。与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：

rrrr.r,,!,舟

⑴e-a=a-e=\a\\e\cosa=\a\cosa.

1i11

(2)a_Lboa-b=Q.

、11„,rr|1||1|ii_,rr

(3)a,〃同向=a/=M冰a，〃反向=a-6=—圳讣

特别地或|力=层-

II

11Z7.A

(4)若。为a,b的夹角，则cos。=Ri•

\a\\b\

4、向量数量积的运算律

1111

(1)a*b=b*a(交换律).

(2)Aa-b=Ala-b\=a-(结合律).

ziixrrrrr

(3)(a-\-b\-c=a-c-\-b-c(分配律).

【注意】对于实数mb,c有(。力)・。=。・(6・。)，但对于向量〃，b,c而言，(。心)・。=〃・(万。)不一

定成立，即不满足向量结合律.这是因为(D)：表示一个与c共线的向量，而二•山•"表示一个与a共线

11illill

的向量，而。与c不一定共线，所以(Q/)・c=a・(b・c)不一定成立.

知识点5平面向量的坐标运算

1、向量线性运算坐标表示

(1)已知：=(&%)]=(%,%)，则工成=&+/，％+%)，»-%)•

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

（2）右〃=（%,y）,则Xtz=U%,Xy）；

结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

2、向量平行坐标表不：已知a=（%,%）,Z?=（九2，%），则向量〃，伙》W。）共线的充要条件是石％-无2%=。

3、向量数量积的坐标表示

已知非零向量。=（玉,y）,b=（%2，%），。与b的夹角为夕

结论几何表示坐标表示

模a=7xi2+才

11

cos"一十产

夹角cosG-??

旧+y；•小V+

。，力的充要条件

a-b=0平2+—0

rr百％++才)(%+

a-b与c2-I）的关系x%<yl)

点突破•春分•必检

重难点01平面向量最值或范围问题

1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其

最值问题；③得出结论。

2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运

用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。

3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不

等式的思想、三角函数等得出结论；

4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结

合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。

类型1数量积的最值或范围

【典例1】（2024•四川成都三模）在矩形A3CD中，AB=5,AD=4,点E满足2荏=3丽，在平面A3CD

中，动点P满足丽.丽=0，则丽.无可的最大值为（）

A.741+4B.741-6C.2713+4D.2而-6

【答案】A

【解析】以。为坐标原点（。是BE中点），建立如图所示的直角坐标系，

因为在矩形ABCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB.PEPB=Q，

所以动点P在以。为圆心，1为半径的圆上运动，故设P（cos，,sin。），

则A（0,4）,D（4,4）,C（4,—l）,

Z）P-AC=（cos6）-4,sin0-4）-（4,-5）=4（cos（9-4）-5（sin6>-4）=A/41cos（^+（p）+4,

其中锐角。满足tanp=：,故而.蔗的最大值为两'+4,故选：A.

TT7T

【典例2】（2024•江西鹰潭•二模）在Rt^ABC中，角A5C所对应的边为a,b,c,A=：,C=~,c=2,P

62

是AABC外接圆上一点，则卮•（西+厢）的最大值是（）

A.4B.2+710C.3D.1+V10

【答案】A

【解析】如图，设Rt^ABC的外心为。，则点。是的中点，

由定.（丙+网=2无.的=2回+可.丽=2防+2防反，

因c=2,故|用|=|玩|=1,而而•反=cos〈所,反〉，

故定・（西+而）<2+2=4,当且仅当而与反同向时取等号.故选：A.

类型2模长的最值或范围

【典例1】（2024•陕西西安•模拟预测）已知向量％=（帆,机），meR,5=（0,2）,则卜+q的最小值为.

【答案】V2

【解析】a+B=(根，根+2),

所以k+囚=yjm2+(m+2)2=d2m2+4。+4=<^2(m+l)2+2>母.

当机=-1时等号成立.

故答案为：母.

【典例2】（2024.江苏泰州.模拟预测）在平行四边形ABCQ中A=45\AB=1,AD=VL若

Q=荏+x莅（尤eR）,则网的最小值为（）

A.士B.也C.1D.J2

22

【答案】B

［解析］由衣=通+X适可得|Q『=（/+xAD）2=|AB|2+fIADI2+2xAB-AD

=1+2x2+2xx1xV2cos450=2x2+2x+1=2（.x+1）2+1,

因xeR,故无时，|Q|；n=；,即|通|的最小值为日.故选：B.

类型3向量夹角的最值或范围

【典例1】(2024•广东江门•二模)设向量)=(l,x),诙=(2,x),则cos〈S3,S5〉的最小值为.

【答案】述

33

__2+元2

【解析】cos〈函k，砺〉=/\令2+/=々22),贝IJ尤2="2,

J(k+l)(x+4)

一,一t11

cos<OA,OB>:-/=-।=,=

所以l万千m

当』=；,即/=4,尤2=2时，cos〈市，砺〉取得最小值，且最小值为逑.

t43

故答案为：—

3

【典例2】(2324高三上•山东荷泽•阶段练习)已知向量25,满足同=1,网=4,若对任意模为2的向量

均有卜川+|>@42"[,则向量的夹角的取值范围为.

【・答小案田、由兀72兀

【解析】由|初=1,|方1=4,若对任意模为2的向量3,均有|万>|+|方・四<2亚,

由三角不等式得，忸+孙平曲4+|5回42扃，因为向量下为任意模为2的向量,

所以当向量Z+B与向量"夹角为0时，上式也成立，设向量2,石的夹角为a.

（a+b）-c|<|a+ft|-|c|-cosO=21a+b\<2^/21,|a+b\<A/21,

平方得到隶+于+2第21,即一+42+2商•方江21,

则万BPIx4cos6r<2,BPcos6r<-,

一2

同时im—B）C|W|a—B|・|R-cosO=2|<T—5|V2回,所以|日一6区收，

平方得到商2+谷-2万石421,即产+4?-270V21,

解得展B2-2，iPlx4cos6Z>-2,cosaN-g,

11jrOjr

综上一一<cos（7<-,又因为a4。，向，即一一,

22L」33

TT27r

:•向量的夹角的取值范围-,y.

兀2兀

故答案为:

类型4线性系数的最值或范围

—.1—.

【典例1】（2024.山西晋中.模拟预测）（多选）在△ABC中，。为边AC上一点且满足AO=]OC,若P为边

BD上一点，且满足Q=4通+〃/，2,4为正实数，则下列结论正确的是（）

A.，心的最小值为1B.%的最大值为上

12

C.J+上的最大值为12D.；+｝的最小值为4

Z3/143〃

【答案】BD

—.1__.

【解析】因为=所以衣=3而，

又AP=AAB+jLiAC=AAB+3//AZ）,

因为夕、B、。三点共线，所以丸+3〃=1,

又X,4为正实数，所以澳=3、3//《（"+3〃

=

2IH

〃=）时取等号，故错误，正确;

当且仅当丸=34，即4AB

26

（〃）=+《怦

—1I--1=工+工%+32+¥22+2=4,

23〃43〃43〃Y%34

当且仅当*。即"吊时取等号，故C错误，D正确.故选：BD

【典例2】（2324高三下•安徽•阶段练习）已知正方形A3CD的边长为2,中心为。，四个半圆的圆心均为正

方形ABCZ）各边的中点（如图），若尸在BC上，S.AP=AAB+juAD,则几+〃的最大值为

【解析】如图，以线段8c所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,

设尸（cos。,sin。）,0e[n,2TT]

又A（-l,2）,3（-1,0）,C（l,0）,D（l,2）,,

则/=（cosd+l,sin6>_2）,而=（2,0）,ZE=（0,—2）,

AP=A,AD+juAE,即（cos9+1,sin。—2）=X（0,—2）+〃（2,0）

_cos^+1

fcos9+l=2〃"—?

・•..A。：]，解得。口，

sin6—2=-22c2-sin

、4=-----

[2

2-sin6^cos^+11八・八1（w（八兀）.

（=

4+4=----------1-----————（cos0—sin0+3JI7?cosl^+~l+3l?

因为［兀,2兀］,则O+

所以当e+：=2兀时，cos/+：J取得最大值1,

则4+〃的最大值为北正.

2

故答案为：史史.

2

重难点02运用向量表示三角形的重心、垂心、外心、内心

1、常见重心向量式：设。是44BC的重心，P为平面内任意一点

+OB+OC=0

②方=|（PX+PB+PC）

③若9=4（而+而）或9=瓦？+乂屈+前），Ae[0,+oo）,则P一定经过三角形的重心

④若方=%（岛+彘）或加=市+%（虚而+彘）,％e[。,+8）则P一定经过三角形的重心

2、常见垂心向量式：。是AABC的垂心，则有以下结论：

①初-OB=~OB-OC=OC-OA

②研2+国2=|函2+国2=|西2+画2

③动点P满足诃=瓦？+4不,Ae（0,+a））,则动点P的轨迹一定通过AABC的垂心

d\\AB\cosB+1\AC\cosCJ/

3、常用外心向量式：。是儿4BC的外心，

①I西=\OB\=|oc|^OA2=OB2=OC2

②画+~OB）-AB=+OC"）-BC=（OA+OC）-AC=0

③动点尸满足加二空生+乂力」。，4e（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过44BC的外心.

2\\AB\c8osBD+\iAC\cosCJJ

④若（市+OB）-AB=（OB+OCyBC=（OC+OA）-CA=0,贝I]。是A4BC的夕卜心.

4、常见内心向量式：P是AABC的内心，

①画玩+\BC\PA+\CA\PB=0（或a园+bPB+cPC=0）

其中a,b,c分另lj是△力BC的三边BC、AC,AB的长，

②»=2（瑞+禽），〃0,+8）,则P一定经过三角形的内心。

AD__R]DA

【典例l】（2024・四川南充・三模）已知点P在AABC所在平面内，若可=丽•（二^-=）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

则点尸是AABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【答案】D

【解析】在AABC中，由丽一心丝）=0,得丽・士•=西・总，

\AC\\AB\\AC\\AB\

=由丽一g）=o,同理得丽・^^=丽•丝，

\AC\\AB\\BC\\BA\\BC\\BA\

显然QwC，即尸与A不重合，否则cos/4BC=l,同理而力。，

贝!!|"|以《』尸47=|衣|85/尸43,BPcosAPAC=cosZPAB,ZPAC=ZPAB,

于是AP平分/BAC,同理BP平分/ABC,

所以点P是AABC的内心.故选：D

【典例2】（2324高三上.全国•专题练习）已知G,0,X在AABC所在平面内，满足55+而+宓="

\OA\=\OB\=\OC\,AHBH=BHCH=CHAH，则点G,0,//依次为AABC的（）

A.重心，外心，内心B.重心、内心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

【答案】C

【解析】因为M+通+枇=6,所以第+丽=-布,

设AB的中点。，则总+屈=2而，所以-宓=2亦,

所以C,G,。三点共线，即G为AABC的中线C。上的点，且GC=2GD,

所以G为AABC的重心.

因为|西|=|砺|=|灭所以|Q4j=|OB|=|OC|,所以。为的外心;

因为丽•两=两西=5•而，所以丽•（而一面）=0,即丽•近=0,

所以丽，衣，同理可得：HA±BC，HB±AB，所以H为AABC的垂心.故选：C.

重难点03奔驰定理及其应用

1、奔驰定理：。是AA8C内的一点，且x,瓦5+y・赤+z,反=6,

^^4BOC:^4C0/l:^A/lOB=X'.y.Z

2、证明过程：已知。是AA8C内的一点，\BOC,ACOX,AX08的面积分别为%,SB,Sc,

求证：SA-OA+SB-OB+Sc-OC—0.

延长。4与BC边相交于点D,

则♦♦_SA-BD_SRBOD_S'ABD-SRBOD_江

DCSLACDSRCODSRACD-SRCODSB

OD=2£QB+^.QC=^B_QB+,

BCBCSB+SCSB+SC

・・££_SBODSCODSBOD+S—OD_s.

SS+S

OASBOACOABOACOASB+SC

：.~0D=--^-OA,

SB+SC

SB+SCSB+SCSB+SC

所以S4-OA+SB-OB+Sc-OC=0.

（3）奔驰定理推论：x-OA+y-~OB+z-~OC=0,贝I

①S^BOC：S^COA：S^AOB=|x|：lyl：|z|

⑨S—BOC_IXISAAOC_IyISAAOB_IzI

SRABC1%+y+zl9SRABC1%+y+zl'SRABCIx+y+zl

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

（4）对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向

量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。

【典例1】（2324高三上.江西新余.期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向

量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具

体内容是：已知M是AABC内一点，ABMC,AAMC,AAWB的面积分别为%,SB,Sc,且

SAMA+SBMB+SCMC=G.以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,则M为AABC的重心

B.若M为&4BC的内心，则.祝+AC•砺+AB•砺=0

C.若M为&4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,贝！ItanN8AC:tanNABC:tan/3C4=3:4:5

D.若4c=45。，NABC=60。，〃为“1SC的外心，则&:S":=百：2:1

【答案】ABC

【解析】A选项，因为%SB：SC=1：1：1,所以庇+施+旗=0,

取2C的中点。，则标+就=2诟，所以2砺=_市，

故A,M,D三点共线，且加4=2的，

同理，取43中点E,AC中点可得昆三点共线，C,M,E三点共线，

所以M为AABC的重心，A正确；

B选项，若M为AASC的内心，可设内切圆半径为,，则SA=；BC/,SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

所以;BC"•凉+：AC•八痂+•入碇=0,即2C-凉+AC•痴+43-碇=0，B正确;

C选项，若M为AABC的垂心，3通5+4旃+5碇=0，则SA：SB：SC=3：4:5,

如图，AD1BC,CELAB,BFLAC,相交于点M,

S31

又S^ABC=SA+——~r—~,即AM.:MD=3:1,

%ABC1Z4

S41

^△ABC1，3

Sc5

----=TT,即ME:MC=5:7,

^△ABC1，

设=根，MF=n,ME=5t,则AM=3根，BM=2n,MC=7t,

因为NCW=NCB尸，sinACAD=—,sinZCBF=—,所以上-=2，即机="〃，

3m2n3mIn3

同理可得即机='巫f,故〃=4至，，

7t3m32

故3。=sinZBMD=2n«--=--n

63

A/1O5—

^~?_VTO5

cosZCMD=—

7t7t21

故C£>=MCsinZCMD=It-皿红=拽L,tanNABC=处,tanZBCA=—,

213BDCD

4回

CD4同4同_4

故tanZABC:tanZ.BCA=

BD1底一回”

------n

3

同理可得tanZBAC:tanZABC=

4

tanABAC:tanZABC:tanZBCA=3:4:5,C正确；

D选项，若NB4C=45。，ZABC=60°,M为疑。的外心，贝!JNACB=75°,

设AABC的外接圆半径为R,

故NBMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,ZAMB=2ZACB=150°，

111/?11

222222

^SA=-Rsin90°=-R,SB=-Rsin1200=^-/?,Sc=-Rsml500=-R,

2282424

所以J:SB：SC=2:括:1,D错误.

故选：ABC

【典例2】（2324高三上•河北保定•阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是AABC

内一点，ABOC,AAOC,剑阳的面积分别为%,SB,Sc,贝•砺+S®•砺+Sc•元=0.设。是AABC

内一点，AABC的三个内角分别为A,B,C,ABOC,AAOC,AAOB的面积分别为枭，SB,,若

30A+40S+50C=0，则以下命题正确的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。为AABC的外心，贝!|sinA:sin3:sinC=3:4:5

D.若。为AABC的内心，则“LBC为直角三角形

【答案】AD

【解析】对于A,由奔驰定理可得，3OA+4OB+5OC=SAOA+SBOB+SCOC=0,

因为西，OB,反不共线，所以SA：S/SC=3:4:5,故A正确；

对于B,若。是AABC的重心，OA+OB+OC=0,

因为3次+4赤+5反=0,所以诙=2诙，即0,8,C共线，故B错误.

对于C,当0为"1BC的外心时，|西|=|词=］明，

所以SR：:S。=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=3:4:5,

即sin2A:sin26:sin2c=3:4:5,故C错误.

对于D,当。为的内心时，SA:SB:Sc=夕*=〃："：c=3:4:5（不为内切圆半径）,

7T

所以片+〃=。2,所以C=二，故D正确.故选：AD.

2

重难点04极化恒等式及其应用

1、极化恒等式：2%=；［3+可_0-B）2］

2、平行四边形模式：平行四边形48CD,。是对角线交点.则协•T>=3|AC|2—

3、三角形模式：在AABC中，设。为8c的中点，则鼐•祀=|AO|2一|8。匕

【典例1】（2324高三下•湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形

的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，“2=；（刖『-|明］,我们称为极化恒等式.

已知在AABC中，M是中点，AM=3,BC=10,贝U4月.AC4=（）

A.-16B.16C.-8D.8

【答案】A

【解析】由题设，融。可以补形为平行四边形形。C,

由已知得|痂|=3,|肥|=10,丽.衣=；（4|前T-|而||=；x（36-100）=-16.故选：A.

【典例2】（2024高三・全国・专题练习）四边形ABCD中，〃是A3上的点，MA=MB=MC=MD=1,

NCMD=90。,若N是线段CO上的动点，丽.丽的取值范围是.

【答案】一；，。

【解析】M是A3上的点且M4="B=MC=A/D=1=>C、。两点在以A3为直径的圆上，

且圆心为M,NCMD=90。是等腰直角三角形，

所以福.丽=（两+漏）・（W+丽）=两?+两•通+协・两+丽•两

~NM2+~NM-(MB+MA\+MB-MA

5LMB+MA=6,MBMA=-\,

所以丽丽==12VM

在等腰直角MMD中，点M到线段MN上的一点N的距离最大值为1,

取最小值时,N为的中点，此时NM=cos45°.CM=—,

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51――.

—<|W|<1,所以-「VMbNBVO.

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故答案为：一展。

法技巧・逆赛学霸

一、解决向量概念问题的关键点

1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量.

4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的