专题56函数y＝Asin(ωx＋φ)（基础）

专题5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)知识点一A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响平移变换要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，故选：．将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为A． B． C． D．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．故选：．伸缩变换为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位【解答】解：把函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象，再向右平移个单位，可得的图象．故选：．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，耳向右平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【解答】解：将函数的图象上所有点横坐标缩短到原来的，可得函数的图象，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得的图象．故选：．将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为A． B． C． D．【解答】解：函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得；再将所得图象向左平移个单位长度，得，所以函数．故选：．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为A． B． C． D．【解答】解：函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再将所得的图像向左平移个单位，得的图像，所以对应函数的解析式为．故选：．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【解答】解：，将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到．故选：．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为A． B． C． D．【解答】解：函数的图象先向右平移个单位长度，得，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得函数，故．故选：．由图象求三角函数的解析式已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则A． B． C． D．【解答】解：由图象可知，，故，，，又且，所以，，将函数的图像向右平移后得到函数的图像可得，所以．故选：．已知函数，，的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则A． B． C．在区间，上单调递增 D．图象的对称中心为，【解答】解：由题意可知，，可知，所以，由五点法作图可知，所以．所以函数．所以不正确；将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以不正确；，可得，，，这是函数的增区间，所以正确；，可得，，所以不正确；故选：．已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是A．直线是图像的一条对称轴 B．图像的一个对称中心为 C．在区间上单调递增 D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像【解答】解：根据函数，，，的部分图象，可得，，所以，结合五点法作图，可得，所以，可得，令，求得，不是最值，故直线不是图象的一条对称轴，故错误；令，，解得，当时，可得图象的对称中心为，，故正确；在区间，上，，，函数没有单调性，故错误；将的图象向左平移个单位长度后，可得到的图象，故错误．故选：．函数，的部分图象如图所示，下列说法不正确的是A．函数的解析式为 B．函数的单调递增区间为 C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度 D．函数的图象关于点对称【解答】解：根据函数的部分图象知，，，，因为，所以，两式相减，得：，解得，①因为，所以，解得，即，结合①知．因为，所以，解得，所以，选项正确；令，，解得，，所以选项正确；将函数的图象向右平移个单位得到，再向上平移一个单位长度得到，即函数的图象，选项正确；令，，解得，，函数的图象关于点，对称，所以选项错误．故选：．函数，在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数解析式；（2）求的单调递增区间；（3）当时，求的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图象知，，，，由图象过点，得到，观察图象取，得，；（2）令，，解得，，故函数的单调递增区间为，；（3）因为，所以，所以的取值范围为，．函数的部分图象如图所示，将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．【解答】解：（1）由图可知，，则，所以．由，，得，所以．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向上平移1个单位长度后，得到的图象，所以．（2）因为，所以．所以，所以．三角函数性质的综合问题函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于点对称，则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：由于函数在区间上的图像如图所示，故，所以；由于函数经过点，，故，所以，由于，故故，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），得到的图像，再向右平移个单位长度后，得到的图像，所得到的图像关于点对称，故，故，，故，由于，所以当时，则的最小值为．故选：．已知将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若和的图像都关于对称，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若和的图像都关于对称，则和的图像关于轴对称，而，，所以，，即，，又，所以的最小值为故选：．已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数图像，若图像关于对称，则为A． B． C． D．【解答】解：已知函数，则，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，则，又的图像关于对称，则，即，，则，，又，则，故选：．函数向右平移个单位之后，关于轴对称，则的最小值为A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函数向右平移个单位之后，关于轴对称，，由题意知关于轴对称，，即，又因为，故当时，有最小值4故选：．记函数的最小正周期为．若，且的图象关于直线对称．（1）求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在，上的值域．【解答】解：（1）函数，由，可得，整理得．由于的图象关于直线对称，所以，即，．当时，，．（2）由（1）得：，将函数的图象向左平移个单位，可得的图象．再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，在，上，，，，，，，即在，上的值域为，．已知函数，，的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：；条件③：．（注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分．（1）求函数的解析式；（2）设函数，若在区间，上单调递减，求的最大值．【解答】解：（1）选条件①②：因为，所以，即，则，由图可知，则，因为，所以，即，因为，所以，所以；选条件①③：因为，所以，即，则，由题意可知，则，因为，所以，即，因为，所以，所以；选条件②③：因为，所以，即，则，由题意可知，则，因为，所以，即，因为，所以，所以；（2），由，得，因为函数在区间0，上单调递减，且，此时，所以，所以的最大值是．已知函数，．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间，上的值域．【解答】解：（1）函数，的最小正周期为．令，，求得，，可得函数的增区间为，，．（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，可得的图象；再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，在区间，上，，，故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为2；故函数在区间，上的值域为，．一．选择题（共8小题）1．用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（）A．0，π2，πC．0，π，2π，3π，4π D．0【解答】解：y＝2sinx与y＝sinx对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标0，故选：A．2．将函数y＝sin2x的图象向左平移π3个单位，得到函数f（x）的图象A．f(x)=sin(2x+π3) BC．f(x)=sin(2x+2π3) 【解答】解：若函数y＝sin2x的图象向左平移π3个单位得到y＝sin2（x+π3）＝sin（2故选：C．3．函数y＝2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A．y＝2sin（2x-π4） B．y＝2sin（2x+C．y＝2sin（x+3π8） D．y＝2sin（【解答】解：由图象可知，T2所以T＝π，由T=2πω，得ω＝所以y＝2sin（2x+φ）．∵点（π8，2）在函数图象∴2＝2sin（2×π8∴φ＝2kπ+π4（k∈解得φ=π所以解析式为y＝2sin（2x+π故选：B．4．在下列四个函数，①y＝sin|x|②y＝|cos2x|③y=2sin(2x-π3)④y=2tan(x+A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【解答】解：①y＝sin|x|的偶函数，不具备周期，不满足条件y＝|cos2x|的周期是π2③y=2sin(2x-π3)④y=2tan(x+π10)的周期是故选：D．5．已知函数f（x）＝4cos（2x+π6）的图象为C，为了得到函数g（x）＝4cos（4x+π6）的A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的12倍【解答】解：把C上所有点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝4cos（2×2x+π6）＝4cos（4故选：B．6．为了得到函数y＝cos（x-13）的图象，可以将函数y＝cosx的A．向左平移π3个单位长度 B．向右平移π3个C．向左平移13个单位长度 D．向右平移13【解答】解：把函数y＝cosx的图象向右平移13个单位可得到y＝cos（x-13故选：D．7．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．y＝f（x）的递增区间为(2kπ-5π12，2kπ+B．f(x)=cos(xC．f(x)≤-22D．y＝f（x）其中一条对称轴为x=【解答】解：对于B，由图可知，T4=π12-（-π6）=π4当x=π12时，f（x）＝1，可得cos（2×π12∴2×π12+φ＝0+kπ，k∈Z，∴不妨取∴求f（x）的解析式为：f（x）＝cos（2x-π6），故对于A，∵2kπ﹣π≤2x-π6≤2kπ，k∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12∴y＝f（x）的递增区间为[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈对于D，∵y＝cosx的对称轴为x＝kπ，k∈Z，∴2x-π6=kπ，k∴x=π12+kπ2∴y＝f（x）对称轴为x=π12+kπ2，k对于C，cos（2x-π6）≤-22，即2kπ+3π4≤2x-π6∴kπ+11π24≤x≤kπ+17π24，k故选：C．8．已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，A．A＝4 B．ω＝1 C．B＝4 D．φ=【解答】解：由图象知，最大值为4，最小值为0，则A+B＝4，﹣A+B＝0，得A＝2，B＝2，函数的周期T＝4（5π12-π6）＝4×3π12=π，即由五点对应法得2×π6+φ=π故只有D正确，故选：D．二．填空题（共4小题）9．用“五点法”做正弦函数y＝sinx（x∈[0，2π]）的简图时，五个关键点是（0，0）、（π2，1）、（π，0）、（3π2，﹣1）、（2π，0【解答】解：由正弦函数图象可知，关键的五个点为（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，﹣1），（2π，故答案为：（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，﹣1），（2π，10．用五点法作函数y＝sinx，x∈[0，2π]的简图时，五个关键点的坐标是：（0，0），（π2，1），（π，0），（3π2，﹣1），（2π，0）；其中最高点坐标是（π2，1），最低点坐标是（3π2【解答】解：函数y＝sinx，当x∈[0，2π]时，正好是函数的一个周期，令sinx＝0，则求得x＝0或π或2π，这三个点的坐标为（0，0），（π，0），（2π，0）令sinx＝1，则x=π2，此点坐标为（π2，1），函数与x轴交点（π令sinx＝﹣1，则x=3π2，此点坐标为（3π2，﹣1），函数与x轴交点（3π故五个关键点的坐标分别是：（0，0），（π2，1），（π，0）（3π2，﹣1），（2π，0），函数最高点坐标为（π2，1），最低点坐标为（3π故答案为：（0，0），（π2，1），（π，0）（3π2，﹣1），（2π，0），（π2，1），（3π11．若将函数y＝tan（ωx-π4）（ω＞0）的图像向右平移π12个单位长度后，与函数y＝tan（ωx-π3）的图像重合，则ω的最小值为【解答】解：因为y＝tan（ωx-π4）（ω＞0）的图像向右平移π12个单位长度得函数y＝tan（ω（x-π12）-π4）＝tan（ω又因为平移后的图与函数y＝tan（ωx-π3）的图像重合，所以-πω12-π4解得ω＝1+12k，k∈Z，又因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值ω＝1．故答案为：1．12．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图形如图所示，则函数f（x）的解析式为【解答】解：（1）由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，0＜解得ω=2π又函数图象过点(5π所以Asin(2×所以2×5π12+φ=π+2kπ，（所以φ=π6+2kπ，（k又因为0＜所以φ=又函数图象过点（0，1），所以Asinπ解得A＝2，所以f(x)=2sin(2x+π故答案为：f(x)=2sin(2x+π三．解答题（共3小题）13．已知函数f（x）＝1﹣sinx．（1）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，2π]的图像；（2）求f（x）在[π4，5π4【解答】解：（1）根据五点作图法列表如下：x0π2π3π22πsinx010﹣101﹣sinx10121对应的图象如图：（2）∵f（x）＝1﹣sinx，且x∈[π4，5π4]，结合图象知f（x）max＝1+22；f（x）14．用“五点法”作出函数y＝1﹣2sinx，x∈[﹣π，π]的简图，并回答下列问题：（1）观察函数图象．写出满足下列条件的x的区间，①y＞1；②y＜1．（2）若直线y＝a与y＝1﹣2sinx，x∈[﹣π，π]有