专题10直线与椭圆位置关系（课时训练）-2021年秋季高二数学上学期讲义（人教A版）

专题10直线与椭圆的位置关系1．（2021·四川省眉山第一中学（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题首先可根据线段的中点在轴上得出轴，然后根据得出，再然后根据得出，最后根据以及即可得出结果.【详解】设点坐标为，因为线段的中点在轴上，，，所以，，点与横坐标相等，轴，因为，所以，因为，所以，则，化简得，故，故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查中点性质的应用，能否根据题意得出轴是解决本题的关键，考查椭圆定义的应用，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，考查计算能力，是中档题.2．（2020·江苏省涟水中学高二月考）已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，代入椭圆方程，利用点差法得到，然后根据中点坐标为，求出斜率代入上式，得到a，b的关系求解.【详解】设，则，两式相减得：，因为中点坐标为，所以，所以，又，所以，即，所以，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．（2021·江苏高二专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2||PF1|，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：，设椭圆方程为，双曲线方程为，又∵.∴，∴，则，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为8.故选：D【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.4．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的长轴端点为、，若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明当点P在短轴顶点处，最大，进而由题意椭圆上存在一点使，可得，设，则，又因为，即可求出离心率取值范围.【详解】不妨设，如图所示则，，，所以，，则，又，所以，因为，所以,所以当时，取得最大值，所以当在短轴上时，取得最大值，因为椭圆上存在一点使，所以（为短轴顶点），设，则，又因为，所以离心率，又因为，所以的取值范围为.故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.5．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得,利用圆的性质，得四边形是正方形，得.由可得椭圆的离心率的取值范围.【详解】由，可得,且是圆的切线，利用圆的性质，则四边形是正方形，所以可得.∴，∴.∴.又∵，∴.故选:C.【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围，涉及圆的切线，向量数量积，属于基础题.6．（2020·鹰潭市田家炳中学高二期中（文））已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题首先可设焦距为，则，然后根据题意得出半径以及圆心到原点的距离为，再然后根据圆过短轴的一个顶点得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】设椭圆的焦距为，则，，因为圆以为直径，所以半径，圆心到原点的距离为，因为以为直径的圆过短轴的一个顶点，所以，即，化简得，，，则，，，解得或（舍去），故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的相关性质，考查椭圆、、三者之间的关系的灵活应用，考查离心率的计算公式，考查计算能力，是中档题.7．（2021·江苏高二专题练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论不正确的是A．卫星向径的最小值为B．卫星向径的最大值为C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【答案】D【分析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为，卫星向径的最大值为，所以A,B正确.当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由，可得越大，椭圆越扁，所以C正确.卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.8．（2022·江苏高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知结合椭圆对称性有为平行四边形且，由余弦定理可得，应用基本不等式有，即可求椭圆离心率的范围.【详解】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，在△中，，∴，可得，即，则，∴椭圆的离心率，故选：C．9．（2021·玉林市育才中学（文））已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.【答案】【分析】设，，，，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设，，，，则，，．恰为线段的中点，即有，，，直线的斜率为，直线的方程为，即．由于在椭圆内，故成立．故答案为：．10．（2021·湖南长沙·长郡中学）已知圆：经过椭圆：的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为．则椭圆的方程为________．【答案】【分析】由圆O经过椭圆的右焦点，可得，又过作圆O的切线被椭圆截得的弦长是，可以得出点在椭圆上，代入解出即可.【详解】因为圆：经过椭圆的右焦点，所以，则，且过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为，所以在椭圆上，即，所以，故椭圆的方程为.故答案为：.11．（2021·渝中·重庆巴蜀中学）已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．【答案】【分析】由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值，然后分为椭圆的右顶点和为左顶点两种情况求解即可得答案【详解】解：由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值．当为椭圆的右顶点时，最小，此时，此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为，同理可得的最大值为2，即的取值范围是．故答案为：．12．（2021·四川高三月考（文））椭圆的离心率，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线与轴的交点为定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知，，再结合即可求解得答案；（2）设直线的方程为，，，直线的方程为，进而结合韦达定理，求解当时为定值即可.【详解】解：（1）当点为椭圆上下顶点时，的面积最大，即又，，故，，椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，，，则由得，，直线的方程为令得又，，故，即直线与轴的交点为定点.13．（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三月考（理））已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）A为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.求证：四边形的面积是定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意知，再由椭圆的定义得，由此求得a，b，c，从而求曲线E的标准方程；（Ⅱ）设，，，由三点共线得，，表示出，，由四边形的面积公式可求得定值.【详解】解：（Ⅰ）由题意知，，，则，得，又，，解得，所以E的标准方程是；（Ⅱ）由题意知，，设，，，因为A，，M三点共线，则，解得，B，，M三点共线，则，解得，，，，.所以四边形的面积.所以四边形的面积是定值.

B组能力提升14．（2020·江苏）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解.【详解】由，消可得得，解得，分别代入得，，，，，，，，，，，，，把代入式并整理得，两边同除以并整理得，解得，.故选：D【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）.15．（2020·全国）在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题四边形为平行四边形可知两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得的坐标,再利用,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即两点关于轴对称,,可设,代入椭圆方程得：,因为,故得,为直线的倾斜角,,又,所以,即.故∴椭圆的离心率的取值范围为.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题.16．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于、两点，则周长的取值范围是_________【答案】【分析】求出的取值范围，结合椭圆的定义可求得周长的取值范围.【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，因为、的中点为坐标原点，故四边形为平行四边形，所以，，由椭圆的定义可得，因为直线与椭圆关于原点对称，则点、也关于原点对称，设点，则，所以，，所以，的周长为.故答案为：.17．（2021·宁夏中卫·高三三模（理））已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点（、为椭圆的两个焦点）．又为坐标原点，当的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________．①；②当点在第一象限时坐标为；③直线的斜率与切线的斜率之积为定值；④的角平分线（点在上）长为．【答案】①④【分析】求出的值，可判断①的正误；设点在第一象限内，利用基本不等式求得面积的最小值，利用等号成立可求得的值，可判断②的正误；利用斜率公式可判断③的正误；利用等面积法可求出的长，可判断④的正误.【详解】对于①，双曲线的焦点坐标为，所以，，，，①正确；对于②，由于椭圆的对称性，设点为第一象限内的点，设点，则，先证明椭圆在其上一点处的切线方程为.联立，可得，即，解得.所以，椭圆在其上一点处的切线方程为.所以点、，由基本不等式可得，可得，，当且仅当时，等号成立，此时，，②错误；对于③，，，所以，，③错误；对于④，以为直径的圆的方程为，，则点在圆上，则，，由等面积法可得，解得.故答案为：①④.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.18．（2021·河南洛阳·高三期中（理））已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及椭圆过点可求出，得到椭圆标准方程；（2）先检验直线斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系及化简可得m,即可求解.【详解】（1）由于，故，所以.又椭圆过点，故，从而，，椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，设，则.又由得：，所以，化简得，解得或（舍去）.当时，直线过定点，符合要求.综上可知，直线过定点.19．（2021·广东茂名·高三月考）已知椭圆：，过点的直线，与椭圆分别交于点，和，．记直线斜率为．直线的斜率为．（1）若直线，关于直线对称，证明：为定值；（2）已知点，当时，求面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）设与轴交点为，根据对称性易得与轴交点为，结合P坐标，应用斜率的两点式求，即可证结论.（2）由题意设：，联立椭圆方程由韦达定理可得，，进而利用弦长公式、点线距离公式求、到直线的距离，即可得面积关于的函数，最后由基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）设与轴的交点为，由，则．又，关于直线对称，则与轴的交点为，于是，，∴为定值1．（2）设直钱的方程为：，联立，得：，．∴，，∴．点到直线的距离，，由，故当且仅当，即时，上式取等号．∴时，面积的最大值为．20．（2021·四川成都·树德中学高二月考（理））已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点，为坐标原点．（1）求的方程；（2）若为椭圆上的一点，为椭圆的焦点，且与的夹角为，求的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）由椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点可得椭圆的焦点为，结合椭圆过点，利用椭圆的定义可得椭圆的长半轴长为，分析即得解；（2）设，结合余弦定理和面积公式即得解【详解】（1）由题意，椭圆：（）的一个焦点为，故即椭圆的焦点为又椭圆过点故椭圆的长轴长为故椭圆的长半轴长为，半焦距为，则短半轴长为1故的方程为（2）由题意，不妨设，由余弦定理，21．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））已知椭圆：的右焦点为，点在上，为椭圆的半焦距．（1）求椭圆的标准方程；（2）若经过的直线与交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1