切线问题（学生版） -2025年高考数学压轴大题

专题10切线问题

考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，用导数研究曲线的切线是一个主要命题点，如2024年高考全国卷II

卷及2023年全国卷乙卷在解答题中都考查了曲线的切线问题，曲线的切线问题主要涉及求曲线的斜率与方

程、曲线切线的条数、公切线问题，确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围

等.

解题秘籍

(一)求曲线在某点处的切线

求以曲线上的点(xo4xo))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数段)的导数/(X);

②求切线的斜率/(xo);③写出切线方程y—/(xo)=Axo)(x—Xo),并化简.

【例1】(2024届北京市西城区北师大附属实验中学高三下学期6月热身练)已知函数〃x)=x"lnx,其中

a为常数且awO.

(1)求曲线V=/(%)在x=1处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调区间；

⑶当。=1时，若在点J6))[%>：]处的切线/分别与x轴和了轴于，A,3两点，。为坐标原点，记

的面积为S,求S的最小值.

【解析】(1)f\x)=1Inx+xa~l,x>0.

因为八1)=1,/(l)=0,所以切线方程为>=x-l.

(2)定义域为(0,+8),/'(x)=(alnx+l)婷,令八x)=0,解得…生

11

当。>0时,xe(0,e百，/(x)<0n/(x)的减区间为(0,「司；

1,1

X6(”,+00)，/(X)>0=/(X)的增区间为⑹展,+00).

当a<0时，xe(o,e3)，/'(x)>0n〃x)的增区间为(。，”)；

xe，/'(X)<°="外的减区间为(屋；+对)•

(3)当。=1时，/(x)=xlnx,/(x)=l+lnx.切线/：y=(lnx0+l)(x-x0)+x0lnx0,

%lnx。一x

r八0—/\J

令x=0,%=f<0；令y=0,xA

Inx0+1Inx0+1

5=—||||=-----——.

2'812lnx0+l

,几/、/12x(lnx+l)-xx(2Inx+1)

设g(')=7^------KgOO二F一-^T-

2(lnx+1)e2(lnx+l)2(lnx+l)2

xe(-,e-?),g'(x)<0ng(x)在(Le^)单调递减;

ee

Xe（eW+oo），g'（x）＞°ng（』在仁士+⑹单调递增・

-1111

所以g（x）》g（e2）=-.所以当x=”时，S的最小值为一.

e°e

（二）求曲线过某点的切线

yo-f（xo），

求曲线过某点的切线，一般是设出切点（xoM）,解方程组卜1一次一、得切点（XOM）,进而确定切线方程.

—J（X0）,

XI—X0

【例2】（2024届江苏省南通市高三下学期模拟预测）设。＞0,函数/（x）=ax3-2x+l.

（1）3a=1时,求过点（0,-1）且与曲线y=f（x）相切的直线方程:

（2）和三是函数“X）的两个极值点，证明：/'（xj+/（x2）为定值.

【解析】（1）当。=1时，f（x）=x3-2x+1,则导数（无）=3/-2.

设切点为卜0/；-2%+1）,则/'〈Xo）=3x；-2,

所以切线方程为＞-（器-2%+1）=（3"一2）（》-%）.

又切线过点（0,T）,贝卜1一卜；-2/+1）=（3京-2）（0-%）,

整理得，1x1=2,解得%=1.

所以过点（。,T）且与曲线＞=〃x）相切的直线方程为y=x-l.

(2)证明：依题意，f'(x)=3ax2-2(a>0),令/'(x)=0,得)=土,

X-工舟8)

/'（X）

+0-0+

/W/极大值极小值/

不妨设再<%2，则再=-J--,X?2

V3a3a

x=ax-28I

/(占)+f(2)\一2再+1+axl-2X2+1

所以/(xj+)(x2)为定值.

(三)求曲线的切线条数

求曲线切线的条数一般是设出切点化/(。)，由已知条件整理出关于t的方程，把切线条数问题转化为关于t

的方程的实根个数问题.

【例3】(2024届陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟)已知函数

/(x)=x2+3x+3,g(x)=2ex+1-x-2.

⑴判断g(x)的零点个数；

⑵求曲线V=与曲线>=g(x)公切线的条数.

【解析】(1)解：由函数g(x)=2e同-X-2,可得其定义域为(7,+8),且g，(x)=2尸-1,

令g'(x)>。，得无>—1—ln2；令g(x)<0,得x<—1—ln2,

可知g(x)在(-8,T-ln2)上单调递减，在(-1-如2,+8)上单调递增，

所以g(x)min=g(-l-ln2)=ln2>0,故g(x)的零点个数为0.

(2)解：因为/(x)=x2+3x+3,g(x)=2e，M-x-2,所以/'(尤)=2；£+3若'0)=26川-1,

所以曲线N=/(x)在点(占,才+3%+3)处的切线方程为：

y+3X]+3)=(2再+3)(x-xJ,即y=(2元]+3)x-x；+3,

+1

曲线尸g。)在点卜2,2e*w-％-2)处的切线方程为：y-(2e^-x2-2)=(2e0-l)(x-x2),

2*1-1=2%+3e'H=占+2

即y=(2e*+i_1)x+(2—2%)e*+i_2,令，

(2—2%)6强+1-2=-%2+3'可得'l2+1,

(2-2x2)e-2=-x^+3

消去乙，整理得片一5+[4-21n(%+2)](再+2)=0,

令%+2=/(/>0),可得「一2八n/—l=0,等价于f-21n/-l=0,

设〃⑺=f-21n—[Q>0),贝!]〃《)=包?20,所以〃⑺在(0,+劝上单调递增，

tt

又因为她)=0,所以为/)在(0,+CO)上有唯一的零点XI,

由网+2=1,得玉=-1,所以曲线y=/(x)与曲线y=g(x)有且仅有一条公切线.

(四)曲线的公切线

研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使这两个方程表示同一条直线.

【例4】(2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考)已知函数/(x)=ek",g(x)=ln(x+l),aeZ.

⑴若a=T.求证：/(x)>g(x)；

(2)若函数〃x)与函数g(x)存在两条公切线，求整数。的最小值.

【解析】(1)当°=-1时，〃x)=ei,

1

令〃(x)=/(x)-g(x)=ex-1-ln(x+l),x>-l,则=e"T

x+1

0

令加(x)=e--二y,因为加(x)=e'T+(二)2>，

所以加(x)在区间(T+8)上单调递增，Mm(0)=1-l<0,m(l)=l-1=|>0,

所以存在x°e(O,l),满足e'i=占,

工0十1

当xe(T,x())时,刃(x)<0,〃(x)单调递减;当无时，加(x)>0,/z(x)单调递增;

则当X=Xo时，刀⑺取得最小值,

1,1「Jr")-2=0,

可得人(x())=e"-ln(x()+J=-----Fxn-1=----F+1—222

x0+l°x0+l°

因为x°e(O,l),所以一^=%+1不成立，故等号不成立，则〃(%)>(),

%+1

所以当a=T时，/(x)>g(x).

(2)设公切线/与两函数的图象分别相切于点/(再©*)和点2(无2，也优+1)),

因为/'(x)=e»,g'(x)=!，

所以直线/的方程可表示为了一户+"=卜+"(》一七)或了一山(工2+1)=占(》-%),

则有於*=匕，①

x2+1

(If)丁

A~)i~1X,"T-J.

代入②可得［。+1+山(12+1)］」^=皿工2+1)+」^-1

由①可得再=-ln(x+l)-tz

2I1I1

即a=x2ln(x2+l)-(x2+1),令/=/+1/w(。,+“)，则Q=,

令0«)=«-1)1皿一£,则卬«)=1皿一1,/e(0,+oo),

所以由复合函数的单调性可知w'⑺在区间(0,+旬上单调递增，

又M(l)=_l<0,M(2)=ln2一;>0,

根据零点存在定理知，存在小e(l,2),使得叫=；,

所以W”)=«-1)In/T在区间(0/)上单调递减，在区间(％,+8)上单调递增.

因为>="+；在(1,2)上单调递增，所以2</。+；<］,

贝UW⑺mm=卬(%)=&T)1叫一。=1-％+：

又。为整数，所以a»-l,故所求整数。的最小值是T.

(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围

此类问题或判断符合条件的切线是否存在，或根据切线满足条件求参数的值或范围，求解思路是把切线满足

条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程根的情况或函数性质去求解.

【例5】(2024届重庆市南开中学校高三第九次质量检测)已知函数/(x)=ae，,g(x)=Inx+仇a,6eR).

(1)当6=1时，/(尤)之g(x)恒成立，求实数。的取值范围；

(2)已知直线卜4是曲线>=g(x)的两条切线，且直线4、4的斜率之积为1.

(i)记％为直线4、4交点的横坐标，求证：/<1；

(ii)若［、4也与曲线y=/(x)相切，求的关系式并求出6的取值范围.

【解析】(1)由于ae，21nx+l,贝

ex

设歹(x)=与)，则尸，(同=上=1，/⑴=0,旦尸］_瓦_1在(0,+功上单减，

令F(x)>0得0<x<l,令尸'(x)<0得x>l,

所以尸(x)在(0,1)单调递增,。,+⑹单调递减,所以尸1)厘=尸⑴,则尸⑴=L

e

(2)(i)设两条切线在g(x)上的两个切点横坐标分别为演,乙,

有g'(xJg'(X2)=『F=l,BPxtx2=1,

此时，切线为：y-(lnxI+b)^—(x-xI),y-(lwc2+b)=：—(x-x2),

lnx2-InXjlnx2+lnx221nx2

相减得皿_皿=(x2-xt)x,所以

71

设左(x)=21nx-,^(x)=--l-4<0,所以左⑺在(0,+动上单调递减.

XX

故当xe(O,l)时,左(x)>左(1)=0,所以0>2lux>

21nx),

r<i

当xe(l,+e)时,左(x)〈女(1)=0,所以0<21nx<x,则为

%2--------

-X]

(ii)由题意得：存在实数S",使〃尤)在x=s处的切线和g(x)在x=t处的切线重合,

所以/'(S)=g'⑺="s)]g("，即皿'=1=竺±女=七空，

STts-ts-t

贝s-t=1—/In/—bti5=1—/In%—{b—1)£,

又因为ae，=-=>Ina+s=-In/,所以lnQ=—ln，-s=-lm-l+〃n/+(b-l)/,

题目转化为〃⑺=-ln^-1+tint+伍-1"=Ina有两个不等实根，且互为倒数,

不妨设两根为加,工，

m

贝[J由h(m)=|得一In加一1+加Inm+(b—1)冽=-In——1+—In—+(6-1)—,

\m)mmmm

"(5)=(1)山

化简得lira=]

m+1—2冽\—m

mH----2

m

所以In。=(m-1)Inm-l=9一1)(一1—加)—1+9-1)加=—b,

所以6=-lna,(也可写为a=e-〃

代入〃0中得：=Tnt-1+tint+(b-i)t=-b有两个不等实根,

(7-l-lmju+l)—(1—f)lm-—z—21nz

即6一1=7/皿,设G⑺=3/皿6(。=

("1)2("Ip

由于8（。=；7-1m在（0,+。）上单调递减且〃⑴=0,

所以G⑴在（0,1）单调递增，（1,+8）单调递减，

而f无限趋近于0时，G（f）无限趋向于负无穷大，，无限趋近于正无穷大时，G。）无限趋向于负无穷大，

G⑴=0,所以6-1<0,即8<1.

（六）圆锥曲线中抛物线的切线问题

V2

抛物线x?=2刀（p/0）,可以化为函数了=~，所以我们可以利用导数研究抛物线的切线问题。

【例6】（2024届江苏省南通、扬州、泰州七市高三第三次调研）已知抛物线C：/=2抄5>0）的焦点为

F,直线/过点尸交C于43两点，C在43两点的切线相交于点的中点为0,且尸。交C于点

E.当/的斜率为1时，|/同=8.

（1）求C的方程；

（2）若点尸的横坐标为2,求|。目；

⑶设C在点E处的切线与尸4P8分别交于点,求四边形28MW面积的最小值.

【解析】（1）由题意，直线/的斜率必存在.

设直线/的方程为y=履+,/（再,必,

pA>0,

y—_|__

联立，2得一2〃而一,2=0,（*）,所以<再+工2=22左

2

X?=2py[Xlx2^-p.

当左=1时，&+x2=2p,

此时|/却=必+%+0=（再+5）+[2+5]+0=（%+/）+20=8,

所以"=8,即。=2.所以C的方程为/=46

（2）由（1）知,X1+x2=2pk=4k,

则％=2左，代入直线>=船+1得及2=2犷+1,则NB中点。（2左,2/+1）.

因为丁=47，所以>=T，

则直线尸/方程为尸乂=5（x-xJ,即”;网x-3；,

同理，直线m方程为了=:”-:*，所以舂=4।4?邃=21,

24*-切2

x«+xj—或班=_],所以P（2人,一1）.

P444

因为马=2,24=2,即左=1,此时0（2,3）,尸（2,-1）,

所以直线尸。的方程为x=2,代入/=外，得y=l,所以E（2,l）,所以1。©=2.

（3）由⑵知。（2左,2/+1）,尸（2左,-1）,所以直线产。方程为x=2鼠

代入x2=4y,得y=^,所以5（2£/），所以£为尸。的中点.

因为C在E处的切线斜率了=；*2后=后，

所以C在E处的切线平行于AB,

3

又因为E为尸。的中点，所以S四边形又如•

由⑴中（*）式得/一4质-4=0,所以再+9=4k,

因为直线AB方程为夕=履+1,

所以\AB\=yx+y2+P=（^i+1）+（狂2+1）+2=左（玉+々）+4=4k2+4.

|2^2+2|r--

又尸（2人,一1）到直线AB的距离h=1,1=2+1,

11____J

所以S"P=5|48卜〃=5-（4左2+4）・2"71=4（左2+1）三4,

（当且仅当后=0时取“=”）

3

所以S四边形3VM=-^5P>3,所以四边形ABNM的面积的最小值为3.

典例展示

【例1】(2024届广东省汕头市潮南区高三下学期高考考前测试)已知函数/(x)=x(e，-a/).

⑴若曲线V=/(x)在x=-l处的切线与V轴垂直，求y=/(x)的极值.

(2)若/(x)在(0,+8)只有一个零点，求生

【解析】⑴函数/(x)=x(e'-ax2)的定义域为R,求导得=(尤+1押-3a/,/'(-1)=-3”，

依题意，/'(T)=。，则。=0,f(x)ex=(1+x)ex.

当尤<—1时，f\x)<0,当x>-1时,f(x)>0,

因此函数/(X)在(-项-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

所以函数/(X)在x=-1处取得极小值/(-1)=--,无极大值.

e

(2)函数/(x)=x(e“-"2)在(0,+oo)只有一个零点，等价于歹二^-。/在(0,+8)只有一个零点,

设ga)=e“-a/,则函数g(x)在(0,+8)只有一个零点，当且仅当g(x)=0在(0,+8)只有一解，

即在(0,+«0只有一解，于是曲线尸晨x>0)与直线y只有一个公共点，

XX

令夕(工)==(工>0),求导得=(%)=♦?),当工<2时，(p{x)<0,当x>2时，^?(%)>0,

XX

因此函数0(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

2

函数o(x)在X=2取得极小值同时也是最小值9(2)=—e,

当X-0时，°(x)f+8；当Xf+8时，°(x)f+8,

2

所以/(%)在(0,+8)只有一个零点口寸，a=Je.

4

【例2】(2024届陕西省安康市高新中学高三下学期模拟考试)已知函数/(x)=〃eX(〃wO),g(x)=x2,g，(x

为g(x)的导函数.

⑴证明：当0=1时，Vxe(0,+oo),/(x)>g,(x)；

⑵若/(x)与g(x)有两条公切线，求a的取值范围.

【解析】(1)当°=1时，f(x)=eT,g'(x)=2尤，

Vxe(O,+8)J(x)>g'(x)等价于证明Vxe(O,+⑹,e*>2x,

令〃(x)=e*-2x(x>0),〃(x)=e*-2,

当0<x<ln2时,/z,(x)<0,在(0,ln2)上单调递减,

当x>ln2时，"(x)>0,〃(力在(ln2,+oo)上单调递增，所以Mx"//(ln2)=2-21n2>0,

所以Vxe(0,+8),e*>2x,即Vxe(0,+co),/(%)>(x)；

(2)设一条公切线与/3=湛名("=》2切点分别为(而,°巧,12，后)，

x,x,

则/'(x)=ae\g'(x)=2x,可得切线方程为y-ae=ae(x-xj,y-x^=2x2(x-x2),

fQe』=2x

因为它们是同一条直线，所以X2

[-x^e1+ae'=-x^

可得。=勺/，令P(x)=。^，

若/■(X)与g(x)有两条公切线，则7=竺=与y=。的图象有两个交点，

e

则//(0=下巴当x<2时，p'(x)>0,p(x)在(-8,2)上单调递增，

当x>2时，p'(x)<0,p(x)在(2,+s)上单调递减，所以p(x)4P(2)=，，

且当x>l时，p(x)>0,当x<l时，p(x)<0,可得p(x)的大致图象如下图，

【例3】(2024届天津市和平区高三三模)已知函数/(x)=lnx,g(x)=nx2+mx(n,meR),

，(x)=/(x)+g(x).

(1)若"=o,函数a(无)存在斜率为3的切线，求实数机的取值范围;

(2)若〃=；,试讨论函数〃卜)的单调性；

⑶若分0,设函数/(x)的图象。与函数g(x)的图象。2交于两点43，过线段48的中点〃作x轴的垂

线分别交G、于点E,问是否存在点a,使q在。处的切线与在E处的切线平行？若存在，求

出点打的横坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为"=0，所以力(x)=lnx+"ix,//(x)=-+m,

因为函数〃(x)存在斜率为3的切线，所以“(》)=1+加=3在(0,+8)有解，

所以g=3-加＞0,得加＜3,所以实数机的取值范围为(-吗3).

(2)因为〃=g,所以〃(x)=Inx+gx?+/MX(X＞0),h'[x)=—+x+m=X+mx+^

令〃'(x)=0,gpx2+/nx+l=0,A=m2-4,

(i)当A=m2-4vo时，即一24加工2^(%)＞o,M、)在(°，+")上单调递增・

(ii)当A=m2—4＞0时，即加＜一2,或加〉2,

一加+J加2-4

x2+mx+1=0有两根再，%，玉=———三——，x

22

①当加〉2时，项＜、2＜。，%£(0,+8)时，〃(%)在(0,+8)上单调递增.

②当冽＜一2时，0＜西＜X2，]£(0,再)时，xe(x1?x2)时，//"(%)<0,X£(%2，+8)时,

/z'(x)>0,

〃(x)在(0,再)，(/，+。)上单调递增，在(再,/)上单调递减.

综上，当加“2时，函数〃(x)在(0,+8)上单调递增;

f1

-m-ylm-4F+?2—4,+S上单调递增，在

当沈＜-2时，函数力(X)在0,

2

/

-m—ylm1-4-m+ylm1-4

上单调递减.

22J

(3)

设点A,B的坐标为（国,必）,（9，%），JL0<%]<x2,

y1=In%]="x；+mxl,y2=lax,=nx1+mx2,

则点。与点£的横坐标均为五产，/，（x）=-,g'（x）=2〃x+"?,

乙X

所以C1在点。处的切线斜率为K=-^―，。2在点E处的切线斜率为k2=2n-3/+m=n^+x2）+m,

Xi十幺

假设Q在点。处的切线与C2在点E处的切线平行，则有k\=h，

即-----=«（x1+x2）+m,则有下式成立：

再十%

2（"——=n（x；_X；）+加（12一%）=[nx2+mx2）_（"X；+加再）

i-l

=%-乂=-111^1=In"，即In七=2亿一%)=5____,

西‘一司再+%21+邃

再

设匹=/>i,有1皿=止9,设4）=1皿-止D«>i）,

再1+/1+t

14

贝1]/。）=-一7~万=4~q>°，所以在（1，+8）上单调递增，

t（Z+1）/（/+1）-

故厂（。>r（1）=0,即加>鼻/,与1皿=差?矛盾，所以假设不成立，

所以不存在点〃使。在点。处的切线与。2在点石处的切线平行.

【例4】（2024届上海市七宝中学高三三模）若曲线C的切线/与曲线C共有"个公共点（其中“eN,

n>l）,则称/为曲线C的“切线”.

⑴若曲线了=/（x）在点（1,-2）处的切线为心-切线，另一个公共点的坐标为（3,4）,求/'⑴的值；

⑵求曲线y=V-3/所有7；-切线的方程；

（3）设〃x）=x+sinx,是否存在小（0,方，使得曲线y=〃切在点«，/⑴）处的切线为『切线？若存在,

探究满足条件的/的个数，若不存在，说明理由.

【解析】(1)依题意，该切线的斜率为?义=3,因此/(1)=3.

(2)由》=/一3%2,求导得£=3%2_6X，

贝!J曲线>3—在(鹏,其一3焉)处的切线方程为：》一(只一3片)=(3*一6x0)(x—%),

32

令h(x)=%—3工2—(3x；-6XQ)X+3XQ-6x；-xj+3XQ,=(x—x0)(x+2x0-3),

此切线为4-切线，等价于方程以x)=0有且仅有一个根，即X°=3-2%,即％。=1,

所以曲线>的(一切线仅有一条，为>=_3x+l.

(3)由(x+sinxy=l+cosx,得曲线歹二/(%)在点«,[«))处的切线方程为：

y-£-sin£=(l+cos£)(x-。,gpj；=(1+cost)x+sinZ-Zcost,

令g(x)=(x+sinx)-[(1+cost)x+sint-tcost]=sinx-xcos，-sin，+，cos，，

兀

求导得g'(x)=COSx-cost,由fe(0,5),得coste(0,1),

对后eZ,当xw(2hr7,2E+/)时，g'(x)=cosx-cosf>0/=g(x)为严格增函数；

当xe(2hr+1,2hr+2n-t)时，g'(x)=cosx-cos?<0,y=g(x)为严格减函数，

函数>=g(x)所有的极大值为g(2hi+0=-2fercosf,

当左=0时，极大值等于0,即g«)=0,

当上为正整数时，极大值全部小于0,即尸g(x)在9+功无零点，

当上为负整数时，极大值全部大于0，

函数〉=g(x)所有的极小值为g(2hc-?)=(2Z-2fat)cosZ-2sint,

当人=0时，极小值g(~t)=2fcosf-2sinf=2cost(t-tan/)<0,

且随着k的增大，极小值(2/-2版)cosf-2sinf越来越小，

TT

因此V=/(X)在点(t,f(t))(O<t<5)处的切线为4一切线，

等价于>=g(x)有三个零点，等价于(2/+2兀)cosf-2sinf=0,即tant-蚱兀有解，

令/z(f)=tanf-f,则〃«)=—4——1=tan2/>0,

COSt

因此y=h(t)为(0,1o上的严格增函数，因为〃(0)=0<71,/?(-|)~12.6>71,

JT

于是存在唯一实数t€(0,万)，满足tanf-蚱兀，

jr

所以存在唯一实数/e(%),使得曲线y=在点亿出)处的切线为T3-切线.

【例5】（2024届福建省泉州第五中学高三下学期适应性监测）已知抛物线C-.x2=2py（p>0）的焦点为F,

。为坐标原点，抛物线C上不同两点£8同时满足下列三个条件中的两个：®\FA\+\FB\^AB\.②

|OA|=|OS|=|AB|=8百；③直线AB的方程为歹=6。.

（1）请分析说明/，8满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；

⑵若直线4?经过点”（0,俏）（">0）,且与（1）的抛物线C交于4,2两点，N（0,n）,若

AMNA=ZMNB,求一的值；

n

⑶点B,E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点aB,£作抛物线C的三条切线，且三条切线

两两相交于M,N,P,求证：△加、P的外接圆过焦点发

【解析】⑴若同时满足①②：由旧|+照|=|叫，可得过焦点尸口身，

当时，|Z8|=2p而|0/|=|08|=9〃刃/5|=20,所以①②不同时成立

若同时满足①③由①\FA\+\FB\^AB\,可得AB过焦点

因为直线N8的方程为y=6p,不可能过焦点,所以①③不同时成立

只能同时满足条件②③，因为②|OA|=|OB|=|AB|=873；

7T

且直线的方程为y=6p,所以6P=|O4|sing=12,解得p=2.

所以抛物线C的标准方程为x2=4y.

（2）如图:

设直线48的方程为y=h+"z（左#0）,/（国,%）,3（/，%），

y=kx+m

联立方程组x2=4y，整理得d-i=0,

则占+%=4hxjx?=-4优.因为NMNA=NMNB,直线/N,8N的斜率之和为0,

即的、+JN=g+口=\（必-〃）+机-〃）=0,

再x2xrx2

所以马（%一〃）+玉（%—/（何+m-n）+xx[kx2+m-n）=2kxxx2+（m-H）（^+x2）=0,

即2kxix2+（加一〃）（再+%）=2左•（-4m）+（m-n）（4k）=0,

所以一4人（加+〃）=0,gp—=-1.

n

(3)设过点/,B,E的三条切线分别为，倾斜角分别为%，。2，%，

令

,-X111,112

zpt=x

由）=5得：tanax^i^tana2=—x2,tana3=—x2i：y=-xxx-—xx

所以4：y-~x\x~~xi；12：J7-X2X-X2?,3：y~^X3X~~^X3•

联立44直线方程可得后卫,

联立454直线方程可得N(223

11

一再X?

tan/MPN-tan（a,-a?]=—2——4—=2•——上一

1+H/匹+4

演工3]x2x3]

4_xx—4

x3k~4=X2X3-4

又'''^MF=，〜NF

%1+工32（西+%3）工2+工32（々+X3）’

22

xxx3-4x2x3-4

2（$+%）2（%+%）=2（网一切卜；+4）=之,x,-x

tanZMFN=k^-k^2

1+^MF,《NFI1（』三一4）（不巧-4）（4+2乂W+4）4+X1X2

4（/+1）（工2+W）

所以tan/〃PN=tan/AffNn/MPN=NMFN.

所以：",尸,P,N四点共圆，即△〃△力的外接圆过焦点尺

跟踪检测

1.(2024届北京市陈经纶中学高三下学期三模)已知〃x)=24-alnx-办-1.

⑴若〃=-1,求曲线V=/(x)在点P(L2)处的切线方程；

(2)若函数y=/(x)存在两个不同的极值点外,三,求证：/(^)+/(^2)>0.

2.(2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模)已知函数"X)=lnx+ax2-x+a+1.

⑴证明曲线V=/(x)在x=l处的切线过原点；

(2)讨论/(x)的单调性;

3.(2024届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试)已知函数/(x)=x-alnx,aeR.

(1)当。=2时，曲线了=/(“与曲线/3=-d+加恰有一条公切线了=-x+t,求实数机与/的值；

(2)若函数〃(%)=》-。山龙-^有两个极值点再,％2(无1<%)且/7(%)-刀(西)2-：,求。的取值范围.

4.(2024届建省泉州市高中毕业班5月适应性练习)已知函数/(xbGJzxZ-Zx+MaNO).

⑴当。=1时，若直线>=-3》+6与曲线y=/(x)相切，求。；

(2)若直线y=-2x-2与曲线7=/(力恰有两个公共点，求。.

5.(2024山东省青岛市高三第三次适应性检测)己知O为坐标原点，曲线/(x)=alnx在点P(1,O)处

的切线与曲线g(x)=e，+6在点0(0,1+6)处的切线平行，且两切线间的距离为行，其中b>0.

⑴求实数a,b的值；

⑵若点"，N分别在曲线y=f(x),j=g(