832圆柱圆锥圆台的表面积和体积-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳讲义（人教A版2019）(原卷版)

圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、圆柱、圆锥、圆台的表面积1、侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．二、圆柱、圆锥、圆台的体积1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：（1）圆柱的体积公式：V（2）圆锥的体积公式：V（3）圆台的体积公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h2、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系三、球的表面积和体积1、球的体积公式：V=2、球的表面积公式：S=4π四、球的截面的性质（1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．（2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝eq\r(R2－r2).题型一圆柱的表面积【例1】已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为()A．6πB．8πC．9πD．10π【变式11】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为．【变式12】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A．B．C．D．【变式13】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π题型二圆锥的表面积【例2】若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【变式21】把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．10B．C．D．【变式22】已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_________.【变式23】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；【变式24】一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（）A．B．C．D．题型三圆台的表面积【例3】圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积为________.【变式31】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____________.【变式32】圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．【变式33】已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是____________.【变式34】圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．题型四圆柱的体积【例4】如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π【变式41】(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是()A．eq\f(288,π)cm3B．eq\f(192,π)cm3C．288πcm3D．192πcm3【变式42】周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_____.【变式43】如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．题型五圆锥的体积【例5】已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（）A．B．C．D．【变式51】将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【变式52】已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．3B．C．9D．【变式53】若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是()A．1B．1∶2C.eq\r(3)∶2D．3∶4题型六圆台的体积方法概要：台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．【例6】已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是_______.【变式61】圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【变式62】古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈【变式63】设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为____________.题型七球的表面积和体积【例7】（1）已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；（2）已知球的表面积为64π，求它的体积；（3）已知球的体积为eq\f(500π,3)，求它的表面积．【变式71】若一个球的直径为2，则此球的表面积为（）A．B．C．D．【变式72】两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为____________.【变式73】三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．1倍B．2倍C．eq\f(9,5)倍D．eq\f(7,4)倍题型八球的截面问题【例8】一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A．eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【变式81】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A．eq\f(500π,3)cm3B．eq\f(866π,3)