第三章圆锥曲线的方程重点题型复习（原卷版）

第三章：圆锥曲线的方程重点题型复习题型一圆锥曲线的定义求轨迹【例1】设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段【变式11】若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【变式12】已知，，若点满足，则P点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．一条射线【变式13】（多选）已知平面内两个定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为.下列说法中正确的有（）A．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值B．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值C．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值D．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值【变式14】已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线题型二涉及圆相切问题的圆锥曲线【例2】一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．【变式21】已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切，设动圆的半径为，则圆心的轨迹方程是（）A．B．C．D．【变式22】动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【变式23】如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．【变式24】已知圆，直线，求与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程．题型三圆锥曲线中的距离和差最值【例3】已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式31】已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式32】已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（）A．B．8C．D．9【变式33】过双曲线的右支上一点分别向圆和作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．10B．13C．16D．19【变式34】已知直线，，P是抛物线上的动点，则P到、的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．题型四圆锥曲线中的焦点三角形【例4】已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（）A．28B．36C．44D．48【变式41】双曲线的左右焦点分别为，为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为（）A．B．C．D．【变式42】设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（）A．B．C．D．【变式43】设P是椭圆上的点，为其两焦点，则满足的点P的个数是（）A．B．C．D．【变式44】设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为()A．B．C．D．1题型五对圆锥曲线标准方程的理解【例5】已知a为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式51】已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式52】若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（）A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5【变式53】关于，的方程（其中）表示的曲线可能是（）A．圆心为非坐标原点的圆B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的双曲线D．长轴长为的椭圆题型六由性质求圆锥曲线标准方程【例6】椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程．【变式61】已知双曲线的离心率为，焦距为，则的方程为_____【变式62】根据下列条件求双曲线的标准方程．（1）双曲线经过点，，焦点在x轴上；（2）经过点，且与双曲线有相同的焦点．【变式63】已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（）A．y2＝4xB．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝4x或y2＝8x题型七求离心率取值或取值范围【例7】设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，，则椭圆的离心率_________.【变式71】已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【变式72】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（）A．B．C．D．【变式73】已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．题型八直线与圆锥曲线位置关系【例8】直线与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【变式81】已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【变式82】点为椭圆上的一动点，则点到直线的距离的最小值为______.【变式83】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【变式84】若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线共有（）条数．A．0B．1C．2D．3题型九圆锥曲线的弦长及应用【例9】设直线l：x－y＋1＝0与椭圆交于A、B两点，求弦AB的长．【变式91】已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．【变式92】过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【变式93】已知抛物线C：的焦点为F，若直线l过点F，且与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线的垂线，垂足为点M，点N在y轴上，线段AF、MN互相垂直平分，则（）A．B．C．16D．32题型十圆锥曲线的中点弦问题【例10】椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．【变式101】过椭圆右焦点F的直线交C于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，且OP的斜率为，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．【变式102】过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（）A．B．2C．D．【变式103】椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_____________．【变式104】若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.题型十一圆锥曲线的“三定”问题【例11】知椭圆：，，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．【变式111】已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．【变式112】已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆的方程；（2）若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．【变式113】已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.（1）求C的方程；（2）设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.题型十二圆锥曲线最值范围问题【例12】已知为坐标原点，椭圆过点，记线段的中点为．（1）若直线的斜率为3，求直线的斜率;（2）若四边形为平行四边形，求的取值范围．【变式121】平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．（1）求C的方程；（2）若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．【变式122】已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．（1）若，求b的值；（2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围．【变式123】已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，1）到渐近线的距离为.（