微专题12导数解答题之证明不等式问题（原卷版）

微专题12导数解答题之证明不等式问题【秒杀总结】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典型例题】例1．（河南省南阳市20222023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，.(1)若恒成立，求实数m的取值范围；(2)求证：当时，.例2．（2023届高三数学一轮复习）已知函数，且函数与有相同的极值点.（1）求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.例3．（云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若，判断函数的单调性；(2)证明：.例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若是的极值点，求a；(2)当时，证明：．例6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设，，．(1)求的单调区间；(2)证明：当时，．例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.【过关测试】1．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设函数，其中为自然对数的底数．(1)当时，判断函数的单调性；(2)若直线是函数的切线，求实数的值；(3)当时，证明：．2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程的实根个数；(2)证明：．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，都有.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论在区间上的单调性；(2)当时，证明：．5．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知函数．(1)若在上恒成立，求实数a的值；(2)证明：当时，．6．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明恒成立.7．（2023·四川成都·统考一模）已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)当时，证明：．8．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数，．(1)判断函数的单调性；(2)证明：．9．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数（其中是自然对数底数）.(1)求的最小值；(2)若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：）10．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：．11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)判断0是否为的极小值点，并说明理由；(2)证明：.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)当时，证明：.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)若存在零点，求实数a的取值范围；(2)若是的零点，求证：14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)当时，证明：；15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若最小值为0，求的值；(2)，若，证明.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)讨论函数极值点的个数；(2)若，求证：．17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数，若，其中为偶函数，为奇函数.(1)当时，求出函数的表达式并讨论函数的单调性；(2)设是的导数.当，时，记函数的最大值为，函数的最