小专题之抽象函数的单调性

小专题之抽象函数的单调性1.理解函数单调性的定义；(重点)2.会正确赋值构造证明单调性的目标式；(重点、难点)3.能够灵活任取变量，合理利用条件.(难点)

抽象函数是指没有具体解析式的函数，我们要对没有解析式的函数判断单调性.那有些同学就要说了：都没有解析式，我怎么判断单调性？此时，你不妨回顾一下单调性的定义，你会发现，单调性的定义里也没有具体的解析式.所以，抽象函数单调性的证明需要我们紧扣住单调性的定义，严格按照定义进行证明.

如果

，当

时，都有，那么就说函数

在区间D上单调递增．

如果

，当

时，都有，那么就说函数

在区间D上单调递减．

一般地，设函数

的定义域为

I，区间:

下面我们一起回顾一下单调性的定义：

虽然抽象函数没有具体的解析式，但是我们仍然可以按照题目给出的运算法则对题型进行大致分类.分类结果如下：①正比例型④指数型③对数型⑤幂函数型这里我们主要讲这五种类型，当然，抽象函数的单调性问题远不止这五类，我们希望你能通过这一节的学习掌握解决此类问题的一般思路，并在以后的学习中注重积累，在这份讲义上增加新的题型，形成自己的知识体系.②一次型正比例型例1.已知函数

对任意的

均有

，且当时，有.(1)求

；(2)求证：

在R上单调递增；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化简得

，即

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递增.(3)因为

，所以

，由(2)知

在R上单调递增，所以

就等价于

，所以有

，解得

，所以解集为.判断抽象函数单调性的注意事项(1)没有解析式证明单调性只能考虑定义，关键是构造

并判断正负，所以需要构造出差式，且自变量是

，.(2)任取

，

，这里两个变量的大小可以再差式构造完成后再进行假设，但是写要写在第一步.1.已知函数

对任意的

均有

，且当时，有.(1)求

；(2)求证：

在R上单调递减；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化简得

，即

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递减.(3)因为

，所以

，由(2)知

在R上单调递减，所以

就等价于

，所以有

，解得

，所以解集为.所以

，例2.已知函数

对任意的

均有

，且当

时，有.(1)求

；(2)求证：

在R上单调递增；(3)若

，解不等式.一次型解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化简得

，即

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递增.(3)因为

，所以

，由(2)知

在R上单调递增，所以

就等价于

，所以有

，解得

，所以解集为.2.已知函数

对任意的

均有

，且当

时，有.(1)求

；(2)求证：

在R上单调递增；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化简得

，即

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递增.(3)因为

，所以

，由(2)知

在R上单调递减，所以

就等价于

，所以有

，解得

，所以解集为.所以

，对数型例3.已知函数

对任意的

均有

，且当

时，.(1)证明：

；(2)证明：函数

在

上为增函数；(3)若

，解不等式.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，化简得

，即

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递增.(3)因为

，即

，所以

，由(2)知

在

上单调递增，所以

就等价于

，所以有

，解得

，所以解集为.3.已知函数

对任意的

均有

，

，且当

时，.(1)求

的值；(2)判断函数

在

上的单调性；(3)若

，求x的取值范围.解：(1)令

，得解得.(2)任取

，令

，

，得

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递增.所以

，(3)因为

，所以

，由(2)知

在R上单调递增，所以

就等价于

，所以有

，解得

，所以解集为.例4.已知函数

对任意的

均有

，且当

时，有.(1)求

；(2)求证：当

时，

；(3)求证：

在R上单调递增.指数型解：(1)令

，得解得

或

，若

，令

，

，则

，矛盾所以.(2)任取

，则

，令

，得

，化简得

，即

，因为

，所以

，所以.(3)任取

，令

，

，得

，化简得

，因为

，所以

，所以

，故有

，所以

在R上单调递增.4.已知函数

对任意的

均有

，且当

时，有.(1)求

；(2)求证：当

时，

；(3)求证：

在R上单调递减.例5.已知函数

对任意

均有

，且当时，.(1)证明：

；(2)证明：函数

在

上单调递增.幂函数型解：(1)令

，得解得

或

，若

，令

，

，则

，则有

，矛盾.所以.(2)任取

，令