高考数学二轮复习：隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形-学案讲义

培优点7隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形

在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德

三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度

为中高档.

考点一隐圆(阿波罗尼斯圆)

【核心提炼】

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点4(一。,0),B(cz,0)(o>0)的距离之比为正数〃;IW1)

的点的轨迹是以q尸77，°)为圆心，尸二T为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

例1(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A,B为平面上相异的两点，则所有满足:

犒=小>0,且2W1)的点尸的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆.在平面直角

坐标系中，4—2,0),8(4,0),动点P满足糕=今则下列关于动点P的结论正确的是()

I厂力I乙

A.点P的轨迹方程为^+/+8%=0

B.△AP8面积的最大值为6

C.在x轴上必存在异于A,2的两定点M,N,使得牌

\rly\乙

D.若点0(—3,1),则2照+|PQ的最小值为5小

答案ACD

解析对于选项A,设P(x,y),

因为「满足髭=3,

yj(x+2)2+y21

所以，

'N(x-4)2+y22'

化简得x1+y2+Sx=0,故A正确;

对于选项B,由选项A可知，

点P的轨迹方程为炉+丫2+8尤=0,

即(x+4)2+y2=i6,所以点P的轨迹是以(一4,0)为圆心，4为半径的圆，

又|AB|=6,且点A,8在直径所在直线上，

故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时，△AP8的面积取得最大值,

因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即AAPB的高的最大值为4,

所以△AP8面积的最大值为3x6X4=12,故B错误;

对于选项C,假设在x轴上存在异于A,5的两定点M,N,使得加徜=]，设N(H,O),

^/(X-/W)2+p_1

■\j(x—ri)2+y22，

即H(X—〃)2+尸=77?)2+y2,

化简可得f+y2—也宁十加尹=。

又点P的轨迹方程为/+9+8苫=0,

8m—2n

~~3-=8

可得，

4m2—n2

-3—=0,

m=-6m=-2

解得，〃=-12或(舍去),

〃=4

故存在异于AB的两定点M(—6,0),M-12,0),

使得牌=3,故C正确;

对于选项D,因为髓=3,所以2|明=|PB|,

所以2|E4|+|PQ=|P2|十|PQ,

又点尸在圆V+V+SxuO上，如图所示,

所以当尸,Q,8三点共线时，2|B4|+|PQ取得最小值,此时(2|R1|+|PQ)1n^=|8。|

='[4—(―3)]2+(0—1)2=5地,故D正确.

规律方法对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别

动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹.

跟踪演练1(多选)在平面直角坐标系中，4—1,0),3(2,0),动点C满足糕(=/直线I：

1=0,贝(j()

A.动点C的轨迹方程为(x+2)2+y2=4

B.直线/与动点。的轨迹一定相交

C.动点C到直线/距离的最大值为吸+1

D.若直线/与动点C的轨迹交于P,。两点，且|PQ=26，则加=—1

答案ABD

解析对于A选项，设C(x,y).

因为局芍

y（x+l）2+y-1

所以

4（龙-2）2+/T

所以^+^^+以=。，即(尤+2>+y2=4,

动点C的轨迹为以N(-2,0)为圆心，2为半径的圆，故A正确;

对于B选项，因为直线/过定点/(—1,1),而点M(—1,1)在圆N内，所以直线/与圆N相交,

故B正确；

对于C选项，当直线/与M0垂直时，动点C到直线/的距离最大，且最大值为r+|NM=2

+小,故C错误；

对于D选项，记圆心N到直线/的距离为乩

e,\m—l\

=

则d-I

yjm2+1

因为|尸。F=4(户一心)=8.

又r=2,所以d=y[2.

由%半=2,得加=—1,故D正确.

考点二蒙日圆

【核心提炼】

72

在椭圆，+g=l(a>6>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭

圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,。为原点.

性质1PALPB.

b2

性质2kOp-kAB=—^2.

〃b2

性质3koA-kpA=--^,左OB-APB=一7（垂径定理的推广）.

性质4PO平分椭圆的切点弦AB.

性质5延长E4,尸8交蒙日圆。于两点C,D,则CD〃AA

ab

性质6的最大值为万，S/XAOB的最小值为〃2+。2.

性质7SAAPB的最大值为.十〃2,S^APB的最小值为笠+〃2.

例2(2023・合肥模拟)已知A是圆f+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线凡它们

与椭圆t+V=l都只有一个公共点，且分别交圆于点M,N.

(1)若4—2,0),求直线/i，(的方程;

(2)①求证：对于圆上的任意点A,都有/」/2成立；

②求△AMN面积的取值范围.

(1)解设直线的方程为y=Mx+2),

代入椭圆^"+y2=l,消去y,

可得(1+3归if+lZFx+lZF—SuO,

由/=o,可得F—1=0,

设/1,/2的斜率分别为后，左2,

工人1=-1,%2=1,

「・直线/i,6的方程分别为y=一欠一2,y=x+2.

⑵①证明当直线/1,/2的斜率有一条不存在时，不妨设/i的斜率不存在，

・・,/i与椭圆只有一个公共点，，其方程为x=i\B，

当/i的方程为％=小时，此时/i与圆的交点坐标为(小，±1),

・・・/2的方程为y=l(或)=—1),/I_L/2成立，

同理可证，当/1的方程为1=一S时，结论成立；

当直线/1,/2的斜率都存在时，设点几)且加2+几2=4,

设方程为y=k(x—m)+n,代入椭圆方程，

可得(1+33)/+6左(〃一七n)%+3(〃一左根)2—3=0,

由/=0化简整理得(3一机2)3+2加成+1—/=0,

・1m2+n2=4,

(3—m2)^2+2mnk+m2—3=0,

设/l,，2的斜率分别为所,fo,

••k\k?1,••l\_Lh成3Z19

综上，对于圆上的任意点A,都有/1_L，2成立.

②解记原点到直线/i,b的距离分别为di,di,

*：MA±NA9.・・MN是圆的直径，

；.|MA|=2d2,|NA|=2di,曷+展=|0A『=4,

△AMN面积为S=；|MA|X|N4|=24d2,

S?=4山曷=4曷(4一%)=—4(比一2产+16,

V^e[l,3],.'.S^e[12,16],

；.SG[2小，4].

规律方法蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

双曲线/一方=l(a>6>0)的两条互相垂直的切线PA,PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=(z2

一〃(只有当a>6时才有蒙日圆).

抛物线y2=2〃xS>0)的两条互相垂直的切线B4,P3交点尸的轨迹是该抛物线的准线：x=—

，可以看作半径无穷大的圆).

77

跟踪演练2定义椭圆C：5+方=1(。2°)的“蒙日圆”的方程为V+尸正反，已知椭

圆C的长轴长为4,离心率为e=/

(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；

⑵过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA,A为切点，延长MA与“蒙日

圆”E交于点。，。为坐标原点，若直线OM,O。的斜率存在，且分别设为眉，无，证明：

如Z2为定值.

C1

⑴解由题意知2〃=4,e='=1,

:•白=3,

22

椭圆C的标准方程为5+^=1,

“蒙日圆”E的方程为F+y2=4+3=7,即f+y2=7.

(2)证明当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为了=日+根，

y=kx+m,

则由<:+$=],

消去y得(3+43)砂+8加丘+4切2—12=0,

：.A=64疗於一4(3+4^)(4m2-12)=0,

/.m2=:3+4^2,

y=kx+m,

由

x2+y2=7,

消去y得(1+3)砂+2机fcv+m2—7=0,

・・・/=4/4(1+8(加一7)=16+12/>0,

设M(xi,yi),£)(X2,丁2),

-2mk

则即+也=

1+於'

m2—7

X1X2=T+F,

.jj,yij2

••k,\k.2一

X1X2

（fcxi+徵）（依2+fn）

X1X2

+kmjpci+X2）+力2

X\X2

?根2—7—2mk9

m2—7

T+F

n/2-7於

m2-7'

•・・m2=3+4^,

.m2-7^23+43—733

•,^lfe=m2-7=3+4^-7=一不

3

当切线MA的斜率不存在且为零时，％%2=一4成立，

任比为定值.

考点三阿基米德三角形

【核心提炼】

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.

性质1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

性质2若阿基米德三角形的底边即弦48过抛物线内的定点C,则另一顶点。的轨迹为一

条直线.

性质3抛物线以。点为中点的弦平行于。点的轨迹.

性质4若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若

直线/方程为：ax+by+c=O9则定点的坐标为C0,一第.

性质5底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为

性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面

积最小值为p2.

例3（多选X2023・南平模拟）过抛物线f=2*⑦>0）的焦点/作抛物线的弦与抛物线交于A,

5两点，M为A3的中点，分别过A,8两点作抛物线的切线/i，6相交于点P.下面关于

的描述正确的是（）

A.点尸必在抛物线的准线上

B.AP1PB

C.设4（沏,州），BQ及），则的面积S的最小值为专

D.PFLAB

答案ABD

解析先证明出抛物线y2=2〃x（p>0）在其上一点5）,yo）处的切线方程为yoy=px+pxo.

证明如下：

由于点（出,州）在抛物线丁=2内上，则y§=2〃xo,

fy2=2〃x,

联立,

[yoy=px+pxo,

可得2yoy=y2+2pxo,

即产一2yoy+弱=0,/=0,

所以抛■物线_/=2〃刈>0）在其上一点（沏，%）处的切线方程为yoy=px+pxo.

如图所示.设A（»,yi）,Bgm），直线A8的方程为

x—my+），

联立'2

y=2px,

消去x得y2—2mpy-p2=0,

由根与系数的关系可得yiy2=—p2,y\+y2=2mp9

对于A,抛物线y2=2px在点A处的切线方程为y\y=px+px\,

即V尸px+5，

同理可知，抛物线y2=2力在点B处的切线方程为y2y=px+^,

_y\yi__P

x~2p

解得，

yi+j2

尸-2-=mp,

所以点P的横坐标为一冬

即点尸在抛物线的准线上，A正确;

对于B,直线4的斜率为百寸

直线，2的斜率为依与

所以/而=以以=—1,

所以B正确;

对于D,当垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与无轴的交点,

此时PF±AB；

当不与x轴垂直时，直线的斜率为MB=A，

直线尸尸的斜率为kpF=」~=-m,

-P

所以kAB-kpF=-1,则PF1AB.

综上，PFLAB,D正确；

对于C,\AB\=y[r+^-\yi-y2\,

所以，SAPAB^AB\-\PF\

=枷2+1）."+j|

丹•（小+1）（M+给

[m=0,

当且仅当时，等号成立，C错误.

31=±。

规律方法(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质；

(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.

跟踪演练3已知抛物线C：/nZpy。)。)的焦点为F,且厂与圆M：/+。+4)2=1上的点

的距离的最小值为4.

⑴求P；

⑵若点P在圆M上，PA,是C的两条切线，A,B是切点，求面积的最大值.

解(1)易得圆的圆心”(0,-4),抛物线C的焦点为电，\FM\=^+4,

...■F与圆M：f+(y+4)2=l上的点的距离的最小值为?+4—1=4,解得p=2.

⑵抛物线C的方程为f=4y,即y=?,

对该函数求导得＜=全

设点A(»,%)，3(%2,刈)，P(xo,yo),

直线PA的方程为y—yi—^2(x—x\)9

即尸竽一V，即xix—2yi—2y=0,

同理可知，直线的方程为XN—2券—2y=0,

由于点尸为这两条直线的公共点，

gx。一2%—2yo=0,

则

[xzxo-2y2-2yo=0,

・••点A,8的坐标满足方程xg—2y—2yo=O,

「・直线AB的方程为xox—2y—2yo=O,

xox—2y-2yo=O,

联立|f

可得X2—2xox+4yo=O,

由根与系数的关系可得XI+X2=2XO,

%i%2=4yo,

・・.|A3|=1+(X1+X2)2—4X1X2

=、/1+胡勺4看一16yo

=、（焉+4）（君一4yo）,

点P到直线AB的距离为d=^i==^,

q焉+4

•9•S^PAB=^\AB\-d

=勾(*+4)(曾―4yo)•生曾

1,2

=2(%-4%)2，

•."看一4%=1—(yo+4)2—4yo

——yo~12yo_15=—(yo+6)2+21,

由已知可得一5WyoW—3,

i-

**•当yo=-5时，△出6的面积取最大值］X202=2队

专题强化练

1.若椭圆c：弋+?=im>o）的蒙日圆为/+尸=6,则。等于（）

aIza

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析根据蒙日圆的定义，得。+2+。=6,解得a=2.

2.（2023・烟台模拟）过抛物线V=4x的焦点尸作抛物线的弦，与抛物线交于A,B两点、,分别

过A,B两点作抛物线的切线/i，/2相交于点P，△出8的面积S的最小值为（）

4

A.QB.2

C.4D.4/

答案C

解析由题知，弦43过抛物线焦点，则由“阿基米德三角形”性质知，点P在抛物线的准

线上，△RW的面积的最小值为S=p2=4.

3.已知在平面直角坐标系。孙中，4-2,0）,动点M满足得到动点〃的轨

迹是阿氏圆C若对任意实数k,直线/：尤―1）+6与圆C恒有公共点，则b的取值范围

是()

A.［—巾，巾］B.［一加，,］

C.［—巾，巾］D.f-252的

答案C

解析设Mx,y),由4-2,0),3-\MA\=yj2\MO\,

得|MA|2=2|MO|2,即(x—2>+y2=8,所以M的轨迹是以C(2,0)为圆心，2、也为半径的圆，

直线/：y=Z(x—1)+6恒过定点(1,b),

把x=l代入(x—2/+y2=8,解得>=川%

要使对任意实数鼠直线/：y=-x—l)+b与圆C恒有公共点，

则一由WbW巾，即b的取值范围是［—巾，巾］.

4.抛物线上任意两点A,8处的切线交于点P,称为“阿基米德三角形”，当线段A3

经过抛物线的焦点P时，△研8具有以下特征：

①P点必在抛物线的准线上；②

若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△出'且点P的纵坐

标为4,则直线AB的方程为()

A.x—2y—1=0B.2x+y—2=0

C.x+2y—1=0D.2x—y—2=0

答案A

解析设抛物线的焦点为足由题意可知，抛物线V=4x的焦点坐标为尸(1,0),准线方程为

x=~l,因为△B4B为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点，所以点

尸必在抛物线的准线上，所以点P(—1,4),

所以直线尸产的斜率为4,°=-2.

又因为PF1AB,

所以直线A8的斜率为最

所以直线A8的方程为y-0=1(x-l),

即x~2y~l=0.

5.(多选)(2023•廊坊模拟)如图，△以8为阿基米德三角形.抛物线d=2py(p>0)上有两个不

同的点A(xi,%),B(X2,y2),以A,8为切点的抛物线的切线B4,PB相交于点尸.给出如下

结论，其中正确的为()

A.若弦48过焦点，则AAB尸为直角三角形且/4尸8=90。

B.点P的坐标是，.尬,为2）

C.AE4B的边A2所在的直线方程为⑴+&）无一2py—尤阳=0

D.△出台的边AB上的中线与y轴平行（或重合）

答案ACD

解析由题意设AQI,8（X2,知，Xl<X2,

2

由x=2py,得y=|则y'=p

所以区1=蔗,kpB煮,

若弦AB过焦点，设AB所在直线为了=依+$联立f=2py,得工2—20日一°2=0,

2

则X1X2=—p,所以kpA,kpB=FT=­L

所以m_LPB,故A正确；

以点A为切点的切线方程为y—卷=?（x—制），以点2为切点的切线方程为y—芫=g（x—X2）,

乙pP乙pP

联立消去丫得苫=皿产，

将x=巧这代入y-^=j（x-xi）,

Xl12

得产罚

所以P”上，喔故B错误;

设N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为XN=注望，因此直线PN平行于y轴（或与y轴重

合），即平行于抛物线的对称轴（或与对称轴重合），故D正确;

设直线AB的斜率为

kyi2P2Pxi+%2

X2-X\X2~X\2P'

故直线AB的方程为厂方=12P2（x-xi）,

化简得（xi+%2）x—2〃y—加入2=0,故C正确.

6.（多选）已知椭圆C：，+\=1。比>0）的离心率为芈，Fi，出分别为椭圆的左、右焦点，A,

B为椭圆上两个动点.直线/的方程为法+0一/一〃=o.下列说法正确的是（）

A.C的蒙日圆的方程为/+y2=3〃

B.对直线/上任意一点P,m-PB>0

C.记点A到直线/的距离为d,则d—⑷司的最小值为芈。

D.若矩形MNG8的四条边均与C相切，则矩形面积的最大值为6b2

答案AD

解析对于A,过。（。，可作椭圆的两条互相垂直的切线x=〃，y=b,

AQ（a,。）在蒙日圆上，

・・・蒙日圆方程为一+>2="+〃，

由e=?=、/^l=坐得层=2及，

；.C的蒙日圆方程为f+y2=3〃，A正确；

对于B,由/方程知/过P（6,a）,又尸满足蒙日圆方程，

二尸出，.）在圆x2+y2=3b2±,当A,B恰为过尸作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PAPB=

0,B错误；

对于C,在椭圆上，

尸21=2。,

：.d-\AF2\=d—（2a-|AFi|）=d+|AFi|一2。；

当FiA±l时,d+|AB|取得最小值,最小值为Fi到直线I的距离，

22222

-,,nr.,\—bc-a—b\\-b—1b—b\4小

又吊到直线’的距周d=一^而育―=晒=3"

4\[3

（J—|AF2|）min=2a,C错误；

对于D,当矩形MNG8的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNG8的外接圆，

二矩形MNG8的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为x,y,则炉十产二

12b2,

矩形MNGH的面积S=xy/X,丫=6/（当且仅当x=y=乖b时取等号），即矩形MNGH面

积的最大值为6〃，D正确.

7.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米

德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德

2

三角形面积的号已知A(—2,D，8(2,1)为抛物线C：V=4y上两点，则在A点处抛物线C的切

线的斜率为；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为.

答案-1|

解析因为y=*,所以y'=%,

所以左=y'|x=-2=gx(_2)=-l,

所以在A点处抛物线C的切线的斜率为一1,

切线方程为y—\=—(x+2),即y=—%—1,

同理在B点处抛物线C的切线方程为y=x-l,

■=一尤—1,(尤=0,

由f,解得，

[y=x-l,Ly=-1,

所以两切线的交点为尸(0,-1),

所以阿基米德三角形面积S=3X4X2=4,

7Q

所以弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为S=4X1=|

8.(2023・赣州模拟)已知两动点A,8在椭圆C：^+V=l(a>l)上，动点P在直线3叶4厂

10=0上，若NAP8恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为

答案(o,里|

解析根据题意可得，圆f+y2="+i上任意一点向椭圆。所引的两条切线互相垂直,

因此当直线3x+4y—10=0与圆/+9=/+1相离时，/APB恒为锐角，

<|0+0-W|\

故居+1<IV3H45J=4,

解得1<«2<3,

从而离心率e

9.(2023•开封模拟)如图，过点P(m,w)作抛物线C：f=2pyg>0)的两条切线B4,PB,切点

分别是A,B,动点。为抛物线C上在A,B之间的任意一点，抛物线C在点。处的切线分

别交融，尸8于点M,N.

(1)若AP，尸8,证明：直线AB经过点(0,与；

(2)若分别记△「用/',”8。的面积为N，S2，求费的值.

⑴证明设A(%i,yD，5(x2,m)，直线AB的方程为》=辰+。，

\j^=2py,

由j

[y=kx+b,

消去y并整理得x2—2ph:—2加?=0,有x\X2=~2pb,

令抛物线C：x^=2py在点A处切线方程为y—y\=t(x—x\),

\y-yx=t(x-xx),

由J

[^7=2py,

消去y并整理得x2—2ptx+2ptxi—2py\=0,

则有A=4P2/2—4(2p/xi—2py\)=—4(2p/xi—^)=0,解得£=旅

同理，抛物线C：*=2py在点8处切线斜率为荔

因为APLPB,则有彳=三四=—1,

解得b=y

所以直线A3：尸质十号恒过定点(0,

(2)解由⑴知，切线必的方程为厂v=加一为),

整理得y=》—yi,

同理切线PB的方程为y=y-y2,

设点。(Xo,Jo),则切线MN的方程为>=；尤一yo,

_X1_X2

而点尸(加,〃)，即有n=~m-y\n=­m—y2

因此直线AB的方程为",

有|4同=〈1+02|内—对，

点Q(xo,刃)到直线AB的距离是d2=

tlI±，，匕

则S2=^\xi—X2\-xo-yo-n,

\py=xox—pyo,

由_

[py=xix—pyi,

解得点M的横坐标硼=也要,

同理点N的横坐标对=与这，

m

—xo—n—yo