认识不等式（学生版+解析）-2022-2023学年浙教版八年级数学上册同步讲义

第15课认识不等式

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学习目标

1.根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.

2.了解不等号的意义.

3.会根据给定条件列不等式.

4.会用数轴表示“无<°”、“X%”、"b〈x<a”这类简单不等式.

撇刘识精讲

知识点01不等式的概念

不等式：用不等号连接而成表示不等关系的数学式子叫做不等式.

不等号有：“力”“w”等

知识点02在数轴上表示不等式

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点

含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

能力拓展

考点01不等式的概念

【典例1】已知：①x+y=l；②、〉》；③x+2y；@x2-y^l；⑤尤<0,其中属于不等式的有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【即学即练1】式子：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④/+无；⑤x=-4；⑥尤+2'x+l.

其中是不等式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

考点02列不等式

【典例2】用不等式表示.

（1）相与3的和是负数；

（2）x减去8的差大于4；

（3）。的2倍大于或等于6；

（4）尤与y的和不大于-2.

【即学即练2】用适当的不等式表示下列数量关系：

（1）x与-6的和大于2；

（2）x的2倍与5的差是负数；

（3）x的』与-5的和是非负数；

4

（4）y的3倍与9的差不大于-1.

考点03在数轴上表示不等式

【典例3］将下列不等式分别表示在数轴上：

（1）x<3；（2）-2W尤<1.

【即学即练3】在数轴上表示下列不等式的解集.

（1）x>2.5（2）尤<-2.5（3）尤》3.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列式子：①5<7；②2x>3；③户0；④x>5；⑤2a+l；⑦。=1.其中是不等式的有（

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.若根是非负数，则用不等式表示正确的是（）

A.m<QB.m>0C.mWOD.m^O

3.某种牛奶包装盒上表明“净重205g,蛋白质含量23%”.则这种牛奶蛋白质的质量是（）

A.3%以上B.6.15gC.6.15g及以上D.不足6.15g

4.不等式xW-3的解集在数轴上表示正确的是（）

A.—3°B.-30c,一30D.

5.不等式无>-1的解集是（）

-1--------,----•-►-•-------1-

A.B.C.-2-101D.-2-101

6.如图，数轴上表示的解集为(

—JIIII1>

-302

A.x>-3B.xW2C.-3VxW2D.-3«2

7.“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为

8.“x的3倍与2的差不大于-1”所对应的不等式是

9.用不等式表示“〃与匕的2倍的和小于3"：

10.用不等式表布:

(1)%的5倍减去3小于2；

(2)3与4的和的一半不小于3；

(3)m的工与”的工的和是非负数；

32

(4)a的20%加上a的和小于3a.

11.在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)尤<4；(2)xW-2；(3)无>-1；

(4)x2-4；(5)x<-50；(6)-1£XW3.

2

题组B能力提升练

12.给出下列各式：①-3<0；②a+b；③x=5；④孙+9；⑤x+2>y-7；⑥aW3.其中不等式的个数

是()

A.5B.2C.3D.4

13.据温州都市报报道，2010年2月14日温州市最高气温是8℃,最低气温是4℃,则当天温州气温f(℃)

的变化范围是()

A.r>8B.r<4C.4<?<8D.40W8

14.某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10加，则每立方米收费1.5元；若每户

每月用水超过10/，则超过的部分每立方米收费2元.小亮家某月的水费不少于25元，那么他家这个

月的用水量（尤能3）至少是多少？请列出关于了的不等式.

15.用适当的符号表示下列关系：

（1）a与6两数和的平方不小于3；

（2）三角形两边的长a,b的和大于第三边的长c；

（3）2x与-3的和是负数；

（4）x与5的和的28%不大于-6；

（5）m除以4的商加上3至多为5.

16.请写出下列各数轴上所表示的关于x的不等式的解集.

（1）

:」32L-⑵一i6修42寸f

⑶-4-3~-2-1~0~1~2~⑼012345

题组C培优拔尖练

17.如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（）

-10123

A.尤<-1或xN3B.xW-l或x>3C.-lWx<3D.-1<XW3

18.小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人

进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公

斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是

A.210cxW260B.210<xW300C.210VxW250D.250cxW260

19.某长方体形状的容器长5cm,宽3cm,高10cm.容器内原有水的高度是3cm,现准备向它继续注水,

用V（单位：。小）表示新注水的体积，写出V的取值范围.

（1）列不等式为;

（2）试将V的取值范围在数轴上表示出来.

第15课认识不等式

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学习目标

1.根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.

2.了解不等号的意义.

3.会根据给定条件列不等式.

4.会用数轴表示“x<a"、“xNa”、"b<x<a>>这类简单不等式.

魏献精讲

知识点01不等式的概念

不等式：用不等号连接而成表示不等关系的数学式子叫做不等式.

不等号有：“>”“V”“W”“W”等

知识点02在数轴上表示不等式

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是

空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

能力拓展

考点oi不等式的概念

【典例1】已知：①x+y=l；®x>y,③x+2y；©x2-⑤x<0,其中属于不等式的有

()个.

A.2B.3C.4D.5

【思路点拨】主要依据不等式的定义：用">“、"?"、“V"、"W"、“W”等

不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断.

【解析】解：①x+y=l是等式；

②符合不等式的定义；

③x+2y是多项式；

④符合不等式的定义；

⑤x<0符合不等式的定义；

故选:B.

【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解

答此类题关键是要识别常见不等号：

【即学即练1】式子：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④/+尤；⑤尤W-4；⑥x+22x+l.

其中是不等式的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【思路点拨】根据不等式的概念：用“〉”或号表示大小关系的式子，叫做不等

式，用“W”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可.

【解析】解：①3<5；②4x+5>0；⑤尤#-4；⑥尤+22尤+1是不等式，

.♦.共4个不等式.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式的定义,一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解

答此类题关键是要识别常见不等号：

考点02列不等式

【典例2】用不等式表示.

(1)相与3的和是负数；

(2)x减去8的差大于4；

(3)a的2倍大于或等于6；

(4)x与y的和不大于-2.

【思路点拨】直接利用负数的定义以及结合不等关系得出不等式即可.

【解析】解：(1)m+3<0；

(2)x-8>4；

(3)2a26；

(4)x+yW-2.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确掌握相关定义是解题

关键.

【即学即练2】用适当的不等式表示下列数量关系：

(1)x与-6的和大于2；

(2)x的2倍与5的差是负数；

(3)x的工与-5的和是非负数；

4

(4)y的3倍与9的差不大于-1.

【思路点拨】(1)根据x与-6的和得出x-6,再根据x与-6的和大于2得出x-6>

2；

(2)先表示出x的2倍为2x,再表示出与5的差为2x-5,再根据关键词“是负数”，

列出不等式即可；

(3)先表示出x的工是与-5的和为L-5,是非负数得出工一530；

4444

(4)先表示出y的3倍是3y,再表示出与9的差3y-9,然后根据不大于-1即为小于

等于，列出不等式即可.

【解析】解:(1)根据题意得：%-6>2；

(2)由题意得：2x-5<0；

(3)根据题意得：1-520；

4

(4)根据题意得：3y-9W7.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关

系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

考点03在数轴上表示不等式

【典例3】将下列不等式分别表示在数轴上：

(1)x<3；(2)-2«1.

【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可.根据数轴的性质，

实心圆点包括该点用“2”，“W”表示，空心圆圈不包括该点用“<”，表示,

大于向右小于向左.

【解析】解：(1)如图所示：

........................................

•4-3-2-10123

(2)如图所示：

I-------1-----*--------1161I>

-4-3-2-10123

【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解析，需要注意当包括原数时，在数轴上表示

时应用实心圆点来表示，当不包括原数时，应用空心圆圈来表示.

【即学即练3】在数轴上表示下列不等式的解集.

(1)x>2.5(2)x<-2.5(3)x23.

【思路点拨】将各自的解集表示在数轴上即可.

-5-4-3-2-1012345

(2)-25；

(3)-5-d-3-2-1017*45**

【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出

来(>,♦向右画；<,W向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一

段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几

个就要几个.在表示解集时“》”，“W”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空

心圆点表示.

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列式子：①5<7；②2尤>3；③yWO；@x>5；⑤2a+l；⑥工工》i；⑦a=l.其中是

3/

不等式的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【思路点拨】主要依据不等式的定义：用“>”、“?”、“<”、"w”、“W”等

不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断.

【解析】解：不等式有：①②③④⑥；⑤3x-l是代数式，⑦x=3是等式.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用

的不等号有“<”、">"、"W”、“2"、“力".另外，不等式中可含未知数，

也可不含未知数.

2.若相是非负数，则用不等式表示正确的是()

A.m<QB.m>0C.mW。D.m^O

【思路点拨】根据非负数的定义即可解决.

【解析】解：非负数即正数或0,即〉或等于0的数，则故选D

【点睛】本题主要考查了非负数的定义.

3.某种牛奶包装盒上表明“净重205g,蛋白质含量23%”.则这种牛奶蛋白质的质量是

()

A.3%以上B.6.15gC.6.15g及以上D.不足6.15g

【思路点拨】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可.

【解析】W：V205X3%=6.15（g）,蛋白质含量＞3%,

这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握与表示大于或等于是解题的关键.

4.不等式xW-3的解集在数轴上表示正确的是（）

A.，3（'）»B.T3G,c.-36*D.

【思路点拨】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为

空心点”表示即可得.

【解析】解：将不等式尤W-3的解集在数轴上表示如下：

故选：D.

【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注

意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，

点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向,

定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

5.不等式x＞-1的解集是（）

A.B.

，---■----

C.—2—101D.

-1------------1------

-2-101

【思路点拨】在数轴上表示不等式的解集，大于向右，小于向左，含等号是实点，不含

等号是空心圆圈.

【解析】解：A表示的解集是：尤＞-1；故A是正确的；

3表示的解集是：故3是错误的；

C表示的解集是：-1；故C是错误的的；

。表示的解集是：xW-1；故。是错误的的；

故选：A.

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握它们的特征是解题的关键.

6.如图，数轴上表示的解集为（）

A.x>-3B.xW2C.-3<xW2D.-3«2

【思路点拨】找出两个不等式解集的公共部分即可.

【解析】解：由数轴得：［x>-3,

lx<2

-3<xW2.

故选：C.

【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，通过数轴找到解集的公共部分是求解本

题的关键.

7.“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为x+2y>0.

【思路点拨】根据“x与y的2倍的和是正数”，即可得出关于尤，y的不等式，此题得

解.

【解析】解:依题意得：x+2y>0.

故答案为：x+2y>0.

【点睛】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的

关键.

8.“尤的3倍与2的差不大于-1”所对应的不等式是3x-2W-1.

【思路点拨】根据不等式的定义即可解答.

【解析】解:“x的3倍与2的差不大于-1”所对应的不等式是：3x-2W-1,

故答案为：3尤-2W-1.

【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键.

9.用不等式表示“0与6的2倍的和小于3”："+2b<3.

【思路点拨】根据“。与。的2倍的和小于3”，即可列出不等式，此题得解.

【解析】解：依题意得。+26<3.

故答案为：a+2b<3.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确

列出不等式是解题的关键.

10.用不等式表示：

(1)尤的5倍减去3小于2；

(2)3与a的和的一半不小于3；

(3)m的工与n的工的和是非负数；

32

(4)a的20%加上a的和小于3a.

【思路点拨】(1)根据“x的5倍减去3<2”得出关于x的一元一次不等式；

(2)根据“3与。的和的一半N3”得出关于a的一元一次不等式；

(3)根据“的和N0”得出关于相，”的不等式；

(4)根据“。的20%加上。的和<3/'得出关于a的一元一次不等式.

【解析】解：(1)根据题意，得5x-3<2.

(2)根据题意，得•！Q+3)23.

2

(3)根据题意，得工

32

(4)根据题意，得20%a+a<3a.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确

列出不等式是解题的关键.

11.在数轴上表示下列不等式的解集：

(1)x<4；(2)xW-2；(3)x>-1；

(4)尤》-4；(5)尤<-50；(6)-ll<x^3.

2

【思路点拨】根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案.

【解析】解：(1)如图所示：

I1IIIIIIIA।

-5-4-3-2-1~0~1~2~345~x

(2)如图所示：

j___।_______।1______।______।_____।______।____।______।.

-5-4-3-24012345x

(3)如图所示：

(4)如图所示:

(5)如图所示:

-90-80-70-60-50-40-30-2040010

(6)如图所示：

【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是

解答此题的关键.

题组B能力提升练

12.给出下列各式：①-3<0；②a+b；③x=5；④W-肛+/；⑤x+2>y-7；⑥aW3.其

中不等式的个数是()

A.5B.2C.3D.4

【思路点拨】运用不等式的定义进行判断.

【解析】解：①是不等式；②是代数式，没有不等关系，所以不是不等式；③是等式；

④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式；⑤是不等式；⑥是不等式，

不等式有①⑤⑥，共3个.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解

答此类题关键是要识别常见不等号：>,<,W,丰.

13.据温州都市报报道，2010年2月14日温州市最高气温是8℃,最低气温是4℃,则当

天温州气温f(°C)的变化范围是()

A.f>8B.f<4C.4<?<8D.4W/W8

【思路点拨】根据不等式的定义，当天的气温在最低气温与最高气温之间，用不等式写

出即可.

【解析】解：根据题意得：2010年2月14日温州市最高气温是8℃,最低气温是4℃,

则当天气温f(℃)的变化范围为：4W/W8.

故选：D.

【点睛】本题考查了不等式的定义，熟知不等式的意义是解题的关键.

14.某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10m3,则每立方米收费

1.5元；若每户每月用水超过10/,则超过的部分每立方米收费2元.小亮家某月的水

费不少于25元，那么他家这个月的用水量(X：/)至少是多少？请列出关于x的不等式.

【思路点拨】不少于25元，意思是大于或等于25元，根据收费标准，知小亮家的用水

一定超过了10m3.

故本题的不等关系为：10〃户的水费与超过部分的水费.

【解析】解：设小亮家每个月的用水量是加？，根据题意，得

1.5X10+2(%-10)225.

【点睛】本题应着重理解：当水费超过15元时，用水一定超过了10毋.

15.用适当的符号表示下列关系：

(1)。与6两数和的平方不小于3；

(2)三角形两边的长°,6的和大于第三边的长c；

(3)2%与-3的和是负数；

(4)x与5的和的28%不大于-6；

(5)根除以4的商加上3至多为5.

【思路点拨】(1)根据题意，可以用(。+6)223表示题目中的语句；

(2)根据题意，可以用a+b>c表示题目中的语句；

(3)根据题意，可以用2x+(-3)<0表示题目中的语句；

(4)根据题意，可以用28%(尤+5)W-6表示题目中的语句；

(5)根据题意，可以用m+4+3W5表示题目中的语句.

【解析】解：(1)。与b两数和的平方不小于3可以表示为：(a+b)223；

(2)三角形两边的长m6的和大于第三边的长c可以表示为：a+b>c；

(3)2x与-3的和是负数可以表示为：2x+(-3)<0；

(4)x与5的和的28%不大于-6可以表示为：28%(x+5)W-6；

(5)山除以4的商加上3至多为5可以表示为：〃z+4+3W5.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写

出相应的不等式.

16.请写出下列各数轴上所表示的关于x的不等式的解集.

与a4d»⑵1dt于124

⑶》(4)3「3，S一

【思路点拨】写不等式解集，先看点，再看方向，最后看空(实)心.

【解析】解：⑴X<-1,

(2)x2l,

(3)xWl,

(4)x>3.

【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，区分空心、实心是写出解集的关键.

题组C培优拔尖练

17.如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是()

-A------1------1------1------

-101