人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件

2．1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系【课程标准】1.从函数观点看一元二次方程.2.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．知识点一b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系b2－4ac(Δ)根的情况b2－4ac＞0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________的实数根，即x1＝__________，x2＝___________________________________b2－4ac＝0b2－4ac＜0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____________两个不相等

两个相等的实数根无实数根知识点二一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝________________，x1x2＝________________．

答案：C

2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为(

)A.(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9答案：C解析：因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为(

)A．7或－1 B．1或－5C．－1或－5 D．不能确定答案：A

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题型1方程根个数的判断及应用[经典例题]例1已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的取值范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．

跟踪训练1

一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是(

)A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3答案：D

方法归纳在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．

方法归纳利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.跟踪训练3

(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m＝(

)A．－2或3 B．3C．－2 D．－3或2答案：C

解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，解得m＝6或m＝－2.∴m＝－2.(2)[2024·北京石景山月考]已知关于x的方程mx2－(m－1)x－1＝0.①求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；答案：①证明：当m＝0时，方程化为x－1＝0，即x＝1，方程有一个实根；当m≠0时，Δ＝[－(m－1)]2－4m×(－1)＝(m＋1)2≥0，方程有两个实根．综上，对于任意实数m，方程总有实数根．

答案：B

2．已知关于x的方程x2－kx＋k2＋n＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且(2x1＋x2)2－8(2x1＋x2)＋15＝0.(1)求证：n<0；

(2)试用k的代数式表示x1；答案：∵(2x1＋x2)2－8(2x1＋x2)＋15＝0，x1＋x2＝k，∴(x1＋x1＋x2)2－8(x1＋x1＋x2)＋15＝0，∴(x1＋k)2－8(x1＋k)＋15＝0，∴[(x1＋k)－3][(x1＋k)－5]＝0，∴x1＋k＝3或x1＋k＝5，∴x1＝3－k或x1＝5－k.(3)当n＝－3时，求k的值．

答案：D解析：公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程．2．(5分)已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是(

)A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况无法确定答案：B解析：∵Δ＝42－4×3×(－5)＝76>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B.3．(5分)已知关于x的方程x2－mx＋1＝0有两个相等的实数根，下列选项中m可以取的值是(

)A．4 B．2 C．0 D．－1答案：B解析：因为关于x的方程x2－mx＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝m2－4＝0，即m＝±2，所以选项中m可以取的值是2.故选B.4．(5分)若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是(

)A．k≥1 B．k>1 C．k<1D．k≤1答案：D解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－1)＝－8k＋8≥0，解得k≤1.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)已知代数式7x(x＋5)＋10与代数式9x－9的值互为相反数，则x＝________．

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9．(15分)[2024·上海松江高一校考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1)求实数k的取值范围；

[尖子生题库]10．