安徽省六安市 2024−2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题含答案

2024−2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数，其中i是虚数单位，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．54 B．63C．72 D．1353．已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（

）A． B． C． D．4．在等比数列中，已知，，，则n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．已知数列满足，且，则的最小值是（

）A．-15 B．-14 C．-11 D．-66．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（

）A． B． C． D．17．数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（

）A． B．C． D．10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当时，最大B．使得成立的最小自然数C．D．数列中最小项为11．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（

）A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增三、填空题（本大题共3小题）12．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.13．已知数列中，，，则数列前2024项的和为.14．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是.四、解答题（本大题共5小题）15．设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．16．在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，求的长.17．已知数列的前n项和为，.(1)求证：数列为等差数列；(2)在数列中，，若的前n项和为，求证：.18．设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.(1)求证：，并求出数列的通项公式（用表示）；(2)设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求证：的最大值为.19．已知函数.(1)当时，求证：；(2)若，且在R上恒成立，求的最大值；(3)设，证明：.

参考答案1．【答案】D【分析】根据复数的乘法运算可得，进而可求模长.【详解】因为，所以.故选D.2．【答案】B【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出，再求出.【详解】等差数列中，由，得，解得，而，所以.故选：B3．【答案】C【详解】因为，所以，由可得，所以，所以，由知，故选：C4．【答案】B【详解】在等比数列an中，，，，所以，由，及通项公式，可得，解得.故选：B.5．【答案】A【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是.又，∴，即的最小值是.故选：A6．【答案】A【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解.【详解】，，且，而三点共线，，即，，所以.故选A.7．【答案】B【详解】依题意，，，则，当时，，两式相减得，即，因此数列是以512为首项，为公比的等比数列，于是，显然数列单调递减，当时，，当，，所以当或时，数列的前n项积最大，最大值为.故选：B8．【答案】B【分析】根据题意可得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，再由直线与圆相切可得的最大值为.【详解】根据，可得，即可得；即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示：由图可知，当与圆相切时，取到最大，又，可知此时.故选：B9．【答案】AB【详解】设，，，，，，对于A，，故选项A正确；对于B，，，故选项B正确；对于C，，当时，，故选项C错误；对于D，，可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.故选:AB.10．【答案】ABD【详解】根据题意：，即，两式相加，解得，当时，最大，故A正确；由，可得，所以，故，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当或时；当时；由，所以中最小项为，故D正确.故选：ABD11．【答案】ABC【详解】数列an是各项为正数的等比数列，则公比为，由题意，得，时，，有，，数列单调递增，A选项错误；时，，，若数列单调递增，则，即，由，需要，故B选项错误；时，，解得，时，，由，若数列单调递减，则，即，而不能满足恒成立，C选项错误；时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.故选：ABC12．【答案】91【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列，则，，成等比数列，∴，∴，∴.方法二：设公比为，由题意显然且,所以，∴，故答案为：.13．【答案】2024【详解】因为，，所以，，，，，，所以数列是周期为4的周期数列，且，所以.故答案为：2024.14．【答案】/【详解】由，则，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，则，，当时，则在上递增；当时，则在上递减；故为的极大值点，的最大值为.故答案为：.15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以，16．【答案】(1)(2)或【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得.【详解】（1）由得，则由余弦定理得，，.（2）由，解得①，，，则②，联立①②可得，，或.，，则，且，所以，当时，，则长为；当时，，则长为.综上所述，的长为或.17．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，即，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知：，则，又，所以，所以，所以.18．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【详解】（1）由题意知：，，因为，则，所以，则，整理得，则，所以，当时，，适合情形.所以.（2）由，得，则，所以恒成立，又且，为正整数，所以，则，故，当时，，，由不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，而，故，故，故的最大值为.19．【答案】(1)证明见解析