福建省南安市2024−2025学年高二上学期第1次阶段考试（10月）数学试题含答案

福建省南安市2024−2025学年高二上学期第1次阶段考试（10月）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量a=2,−1,3，b=−4,2,x，且A．103B．113C．4D．62．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（

）A． B．C． D．4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（

）A． B．C．或 D．5．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（

）．A． B．0 C．5 D．6．已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中不正确的是（

）A．l的一个方向向量为B．l在x轴上的截距等于C．l与直线垂直D．点到直线l上的点的最短距离是17．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（

）A． B． C． D．8．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（

）

A． B． C． D．4二、多选题（本大题共3小题）9．下列四个选项中，说法错误的是（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线与直线互相平行，则C．过两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.10．已知空间向量，则（

）A．B．在上的投影向量为C．若向量，则点在平面内D．向量是与平行的一个单位向量11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（

）

A．三棱锥的体积是定值B．存在点P，使得与所成的角为C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．若，则P的轨迹的长度为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为．14．长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是；当点到直线的距离为时，的值为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，(1)求与的夹角；(2)若与垂直，求实数t的值．16．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

(1)求直线的方程；(2)求直线的方程及点的坐标.17．如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，.

(1)用，，表示，；(2)求异面直线与所成角的余弦值.18．如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)若点，，求的最大值；(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】A【分析】代入空间向量垂直的数量积坐标表示的公式，即可求解.【详解】a⊥b⇔a⋅故选A.2．【答案】C【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C.3．【答案】B【详解】由已知可得，，解得.代入化简可得，.根据两条平行线之间的距离公式可得，.故选：B.4．【答案】A【详解】由，，，所以，即，所以.故选：A5．【答案】C【详解】因为不能构成空间的一个基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故选：C6．【答案】B【详解】对于A，因为直线l的倾斜角等于，所以直线l的斜率，所以直线l的一个方向向量为，又，所以是直线l的一个方向向量，故A正确；对于B，由选项A可知直线l的斜率，又l过点，所以直线l的方程为，即，令，得，所以l在x轴上的截距等于，故B错误；对于C，直线的斜率为，因为，所以l与直线垂直，故C正确；对于D，点到直线l：的距离为，所以点到直线l上的点的最短距离是1，故D正确.故选：B7．【答案】C【详解】一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，设,则,,故光线从A到B所经过的最短路程是.故选：C.8．【答案】C【详解】取中点，连接，则，而平面，于是平面，，，又，则，解得，，而，则，，所以三棱锥的体积为.故选：C

9．【答案】AD【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D.【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误；对于B：因为直线与直线互相平行，则，解得或，当时直线与直线重合，故舍去，当时直线与直线平行，符合题意，综上可得，故B正确；对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确；对于D：当截距都为时直线方程为，当截距都不为时，设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.故选AD.10．【答案】ABD【详解】由已知可得，A正确；由于，所以在上的投影向量即为，B正确；若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而,所以，上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;由，故，且，所以正确．故选：ABD．11．【答案】ACD【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，是定值，A正确；以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则对于B，，使得与所成的角满足：，因为，故，故，而，B错误；对于C，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，因为，故故，而，，故即的取值范围为，C正确；对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为，D正确；故选：ACD.12．【答案】【详解】由解得，所以的交点坐标为，过定点，若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行，当经过点时，，解得；当与平行时，，解得；当与平行时，，解得.故的值为.故答案为：（只需写出其中一个即可）.13．【答案】/【详解】因为、，所以,记平面的一个法向量为，则，解得，故平面的一个法向量为.因为，所以,所以点到平面的距离为.故答案为：.14．【答案】/0.25【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系，则，令，则有，，，由为钝角，得，解得，，因此；显然，点到直线的距离，整理得，解得，所以.故答案为：；15．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，，，令与的夹角为，则，则与的夹角为.（2），，又与垂直，，即，解得.16．【答案】(1)(2)直线的方程为：，【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程．（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，，因此，可得点的坐标为．17．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为是平行六面体，所以，（2）因为，底面是矩形，所以，又因为，，所以，，因此，，若异面直线与所成角为，则，因此异面直线与所成角的余弦值为．18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，平面，所以；底面为菱形，所以；又因为，平面，所以平面.（2）如图：设，取的中点，连接，则，所以平面.故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.因为为直线与平面所成的角，所以.又，所以，，，，，

则，.设平面的法向量为n=x,y,z则，取，则，则，又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，，则，，即平面与平面所成角的正弦值为.19．【答案】(1)，(2)(3)存在，和【详解】（1），，；（2）设，由题意得：，即，而