广东省广州市2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试卷含答案

广东省广州市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．2．某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（

）A．53 B．74 C．78 D．833．已知，则“”是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题，为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．如图，已知在平行六面体中，，且，则（

）A． B． C． D．7．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（

）A．－4 B． C． D．8．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，若向量，，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，则（

）A．的虚部为 B．C． D．为纯虚数10．已知函数当时，取得最大值2，且与直线最近的一个零点为，则下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为B．的单调递增区间为C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D．若为奇函数，则11．如图，已知正方体的棱长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（

）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段D．若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量满足，，且，则．13．小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为14．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤小时．四、解答题（本大题共5小题）15．某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为．(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）(2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率．16．已知函数.(1)若，求的值；(2)若，，且，，求的值.17．已知的内角的对边分别为，向，(1)求；(2)若，求的面积的最大值18．如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．(1)求证:⊥平面;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．19．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】由，解得，由，解得，则，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于CD，，，，C错误，D正确.故选：C2．【答案】C【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：，由，所以数据的第60百分位数为.故选C.3．【答案】A【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解.【详解】,则，且在单调递增.故.反过来，如果，则,可以为负数.推不出.故“”是的充分不必要条件.故选A．4．【答案】B【分析】根据题意，转化为不等式在x∈1,+∞上恒成立，进而转化为不等式在x∈1,+【详解】由命题，为假命题，可得命题，为真命题，即不等式在x∈1,+∞即在x∈1,+∞令，则，可得，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.故选B.5．【答案】B【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出，再由夹角公式求解.【详解】因为，在上的投影向量为，所以，所以，所以，由，可知.故选B.6．【答案】A【详解】由题意可知，因为，所以，所以．故选：A．7．【答案】C【详解】为奇函数，则，又因为，所以，即，所以所以的周期为4，，因为为奇函数，所以.故选：C.8．【答案】C【详解】解：由题意得：，故选：C．9．【答案】CD【分析】先将化简成，再分别比对解出答案即可.【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故选项A错误；对于B，因为，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，为纯虚数，故选项D正确.故选CD.10．【答案】AC【分析】先化简，当时取得最大值2，求出.与直线最近的一个零点为，求出，继而求出.则可求.然后算出最小正周期，单调增区间，对称中心，结合图象变换，逐项验证即可.【详解】根据题意，化简，当时取得最大值2，则.与直线最近的一个零点为，则，则，则.则.当时取得最大值，则，，则，则，则的最小正周期为，A正确；令则则的单调递增区间为故B错误;的图象向右平移个单位长度得到,故C正确；，由于为奇函数，则令，则.故D错误.故选AC.11．【答案】ACD【详解】对于A，为正方形底面内一点时，由，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A正确；对于B，以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，若，则，所以即，此时点不在底面内，与题意矛盾，故B错误；对于C，因为，若，，所以即，所以的轨迹就是线段，故C正确；对于D，因为，，又平面，平面，，所以平面，因为面平面，异面，平面，所以平面，以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，由于正方体的棱长为，故面对角线长为，所以截面周长为，故D正确．故选：ACD.12．【答案】.【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量满足，因为，可得，解得，即，所以.故答案为：.13．【答案】/0.56【分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可.【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会.则小耿与小吴恰有1人会答的概率为.故答案为：.14．【答案】4【详解】根据题意有，，可得，即设污染物消除至最初的还需要过滤x小时，则，即则，即，则，解之得故答案为：415．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用频率之和为1，求出m,再用平均值计算公式算出平均值即可；（2）先按照分层抽样确定和内的学生人数，再结合列举法，用古典概型求解概率即可.【详解】（1）频率之和为1,则，解得.则,则平均分成绩为.（2）根据分层抽样，知道和内的学生比为.则抽取的5人中有2个来自层，设为．3个来自层，设为.再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为:.这2人成绩都在内的有,共3种.故所求概率为.16．【答案】(1)5(2)【详解】（1）由已知，即，因为，即，解得；（2）依题意，由，得，解得，，∴.∵，，∴，又，∴，∴，∴.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用向量的数量积公式，再用正弦定理边角互化，最后用余弦定理计算即可；（2）用第一问的结论，结合基本不等式可解.【详解】（1）即，由正弦定理角化边得，即，则,由于,则.（2），，则，即，由不等式知道，（当且仅当取最值），即.由三角形面积公式知道，（当且仅当取最值）.故的面积的最大值为.18．【答案】(1)证明见解析(2);(3)存在,且点为线段的中点．【详解】（1）因为四边形为正方形,则,,因为,,,且两直线在平面内，∴⊥平面,∵平面,∴,因为,,,且两直线在平面内∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且两直线在平面内∴⊥平面.（2）因为⊥平面,,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,设平面的法向量为,则,,,由,取,可得,,所以,与平面所成角的正弦值为;（3）设点,设平面的法向量为,,,由,取,则,所以,点到平面的距离为,∵,∴．因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为．19．【答案】(1)函数在上是，函数在上不是；(2)1；(3).【分析】（1）根据定义，令k=1，作差，与0比较大小即可；（2）根据定义，转化为恒成立即可；（3）先求出的范围，再根据二次函数的性质可求的取值范围.【详解】（1）由题知，函数，定义域为，所以，所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”，函数，所以，当时，则，函数在上不是“1-利普希兹条件函数”.（2）若函数是“利普希兹条件