河南省商丘市夏邑县2024−2025学年高二上学期月测（一）（10月）数学试题（B）含答案

河南省商丘市夏邑县2024−2025学年高二上学期月测（一）（10月）数学试题（B）一、单选题（本大题共8小题）1．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②在正方体中，必有；③若空间向量满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若，则的夹角是钝角B．若，则C．若，则D．空间中任何两个向量都是共面向量3．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（

）A．B．C．D．4．设是标准正交基，已知向量在基下的坐标为，其中，，，则向量在基下的坐标是（

）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（

）A．点关于点的对称点为B．点关于轴的对称点为C．点关于轴的对称点为D．点关于平面的对称点为6．已知，，则=（

）A． B． C． D．7．在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（

）A． B． C．3 D．8．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则，共线B．若，则，共线C．若，，则，，共面D．若，，则，，共面10．下列结论正确的是（

）A．若向量，，，则共面B．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则C．若向量，，则在上的投影向量为D．已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则11．若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影结果不正确的是（

）．A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知，若平面的一个法向量为，则．13．若空间中有三点，则点到平面的距离为.14．四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则.四、解答题（本大题共5小题）15．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．16．已知空间中三点，，.设，.(1)求和；(2)若与互相垂直，求实数的值.17．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的关系式；（2）若，求a，b的值．18．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．(1)求证：；(2)求平面与的夹角．19．在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点．(1)求点到直线的距离；(2)求异面直线所成角的余弦值．

参考答案1．【答案】B【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题；对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题.故选：B2．【答案】D【详解】对于，若夹角为，则成立，错误；对于，若，则不一定垂直，错误；对于C，若，当时，不一定平行，C错误对于D，空间任何两个向量必然共面，D正确.故选：D.3．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，.故选D.4．【答案】A【详解】因为向量在基下的坐标为，所以，又，，，所以．所以向量在基下的坐标是．故选：A.5．【答案】C【详解】点关于点的对称点为，A错；点关于轴的对称点为，B错；点关于轴的对称点为，C正确；点关于平面的对称点为，D错.故选：C6．【答案】C【详解】由，，可得.故选：C7．【答案】C【详解】因点关于y轴的对称点为，，则，故.故选：C.8．【答案】C【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为所以，整理得，而，，，，所以对比选项可知只有在平面内.故选：C.9．【答案】ABC【详解】对A，因为，所以，共线，故A正确；对B，因为，所以，共线，故B正确；对C，因为，所以，，共面，故C正确；对D，设，则，该方程组无解，故，，不共面，故D错误，故选：ABC.10．【答案】AD【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确；对B，，所以或，B错误；对C，因为，，所以，所以在上的投影向量为，C错误；对D，因为，即共线，所以，D正确；故选:AD.11．【答案】BCD【详解】因为被“同余”，所以，即，则在方向上的投影为，故A不符合题意，BCD符合题意.故选：BCD12．【答案】.【详解】因为，可得，因为平面的一个法向量为，则，解得，所以.故答案为：.13．【答案】/【详解】由可得,设平面的一个法向量为,则，即，令，则，又,则点到平面的距离为,故答案为:.14．【答案】【详解】

因为又不共面，∴，则.故答案为：.15．【答案】【详解】设，即有，因为是空间的一个单位正交基底，所以有，所以.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，，，，.∴，于是，，.（2）∵，，又与互相垂直，∴.即.∴，.17．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由得，所以，即，整理得；（2）由得，所以，解得，.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，且平面，所以平面．又平面，所以，又因为四边形是正方形，则平面，所以平面．因为平面，所以．（2）如图，以点为原点，以向量的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，．设平面的一个法向量为，则，令，则，故平面的法向量可取为．由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取，