2025年高考数学一轮复习专项突破：常用逻辑用语（学生版）

考点02常用逻辑用语(3种核心题型+基础保分练+综

合提升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

i.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必

要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题

进行否定.

111【知识点】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则夕是q的_______条件，q是P的________条件

p是q的____________条件p*q且q由p

p是q的____________条件p4q且q0P

p是q的_______条件p0q

p是q的_____________条件p令q且q由p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”

表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在〃中的元素X,p(x)成立

简记

否定Bx^M,—^p(x)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

若。以集合/的形式出现，q以集合8的形式出现，即z={x|Mx)}，q：

8={x|q(x)},则

(1)若ZqB,则P是4的充分条件；

(2)若BqZ,则P是4的必要条件；

(3)若幺*8,则P是4的充分不必要条件;

(4)若8:N,则P是4的必要不充分条件;

(5)若幺=8,则P是4的充要条件；

(6)若2*8且8:Z,则P是4的既不充分也不必要条件.

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题〃与°的否定的真假性相反.

■【核心题型】

题型一充分、必要条件的判定

充分条件、必要条件的两种判定方法

⑴定义法：根据p=>4，q会进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

【例题1】(2024•陕西•模拟预测)给出下列三个命题：

①命题。：mxeR,使得/+尤-1<0,则r>:VxeR,使得无2+x-lWO；

②"x>5或x<-l"是"/_4工-5>0"的充要条件;

③若pvg为真命题，则PA4为真命题.

其中正确命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【变式11(2024・陕西咸阳•模拟预测)直线x+y+6=0与圆C：(x+l『+(y-l)2=5有公共点

的一个充分不必要条件是()

A.Z>e[-Vio,Vio]B.Z)e(-Vio,Vio)

C.be[一4,4]D.be(-4,4)

【变式2】(2024•全国•模拟预测)是成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式3】(2024•安徽淮北•一模)记S”是等差数列｛%｝的前”项和，贝/｛%｝是递增数歹产是

是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型二充分、必要条件的应用

求参数问题的解题策略

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.

【例题2】（23-24高三上•浙江宁波•期末）命题卜2,1],/一尤-0，，为假命题的一个

充分不必要条件是（）

A.aW—B.Q«0C.D.

4

【变式1】2024高三•全国•专题练习）已知不等式加一la<加+1成立的充分条件是:<x<g,

则实数m的取值范围是.

【考查意图】已知充要关系求参数的取值范围.

【变式2]（2024高三•全国•专题练习）若"x=a"是"sinx+cosx>l"的一个充分条件，则&

的一个可能取值是.（写出一个符合要求的答案即可）

【变式3】（2023海南海口•模拟预测）已知集合尸=卜卜2-2X<0},Q={N&下<1},则

尸UQ=P的充要条件是（）

A.0<a<lB.0<a<lC.0<a<lD.0<a<l

题型三全称量词与存在量词

含量词命题的解题策略

（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到

一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题

求参数的范围.

命题点1含量词命题的否定

【例题3】（2024,四川成都•二模）命题“可协—剑的否定是（）

x

A.3x0eN*,2°->0B,弱eN*,2'。-x；>0

C.VxeN*,2A-x2<0D.VxeN*,2'-x2<0

【变式1］（2024•四川宜宾•二模）命题〃Vx>l,lnx>0〃的否定是（）

A.Vx>l,lnx<0B.Vx>1,liu<0

C.>1,Inx<0D.3x<l,lnx<0

【变式2］（2024•山西•模拟预测）命题e'+2sinx>2x”的否定是（）

A.,ex+2sinx>2x"B."Vx©（。4）,ex+2sinx<2x"

C.j,ex+2sinx<2x"D.z,3xe^0,—J,e1+2sinx<2x"

【变式3】（2023•湖南岳阳•模拟预测）命题“现eR,使得（％-VO"的否定是（）

A.%eR,使得（须一1）240B.现eR,使得

C.V%eR,（x-l）2>0恒成立D.VxeR,（x-l）~20恒成立

命题点2含量词命题真假的判断

【例题4】（2023,四川泸州,一■模）已知命题P：VxwR,x24—->1,命题qH/eR,

x

lnx°=-2,则下列命题是真命题的为（）

A.（-ip）AqB.P^qC.p人（-ig）D.（「。）人（->q）

【变式1］（2024•陕西咸阳・模拟预测）下列命题中，真命题是（）

A.是"M>1"的必要条件

B.Vx>O,ex>2X

C.Vx>0,2x>x2

D.a+b=O的充要条件是f=-l

b

【变式2］（2023•四川绵阳•一模）下列5个命题：①“玉°eR,君+1<0”的否定；②

5也。=血/是夕=/?的必要条件；③“若a,6都是偶数，贝Ua+6是偶数"的逆命题；④"若

X2-3X+2=0,则x=l"的否命题；⑤Vxe{x|x是无理数},V是无理数.其中假命题的个

数为（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不对

【变式3］（2023・河北•模拟预测）命题P：Vx>l,«+2x-3>0,命题q：3xeR,

2，-4x+3=0,贝l|（）

A.P真乡真B.P假9假C.P假9真D.P真9假

命题点3含量词命题的应用

【例题5]（2024・四川凉山,二模）已知命题"VXER,sin?（兀+x）+2cosx+加W。”是假命题,

则m的取值范围为（）

A.[-2,+oo）B.（-2,+oo）C.（-oo,-l）D.（一8,-2]

4

【变式1]（2024•陕西宝鸡•一模）命题〃任意、£（1,3）,Q〃+—〃为假命题，则实数。的取

值范围是.

2

【变式2】（2024•四川成都•模拟预测）设命题2:Vx>0,x+—〉。，若F是假命题，则实数

x

。的取值范围是.

【变式3]（2024•福建漳州•模拟预测）若三。£[0,+8）,cosa<加为真命题，则实数加的取

值范围为（）

A.m>1B.m>1C.m>-\D.m>-\

H【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（23-24高三上•山东荷泽•阶段练习）“函数"tan（x-夕）的图象关于1,04寸称"是

JT

a（p=——+E,左eZ”的（）

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（23-24高三上•全国•阶段练习）"04-石或4»君"是"圆。|：/+了2=1与圆

。2：（尤+4+3-20）2=36存在公切线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024・广东•一模）"£=4+而（后€2）”是">3-0+5"“=田+]”的（）

4sinacos«

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22厂

4.（2023河南•二模）设椭圆土+匕=1（加>0,〃>0）的离心率为《,则屋=宜■"是"加=4〃"

mn2

的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（23-24高三上•浙江宁波•期末）若数列｛。“｝为等比数列，贝I]"%21"是“4+%22”的

（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

二、多选题

6.（2024•山西吕梁•一模）下列说法正确的是（）

A.命题#<1"的否定是"KI,X1>\"

B."a>10”是△〈士〃的充分不必要条件

c.若函数指X）的定义域为[0,2],则函数〃2x）的定义域为[0,1]

D.记8卜2，〃无2））（工产%）为函数/（x）=6图象上的任意两点，贝！I

f「+七[>小）+/（七）

7.（2024,广东梅州•一模）已知直线加，〃和平面,且〃ua,则下列条件中，P是q

的充分不必要条件的是（）

A.p:m//a,q\m//nB.p:m.La,q\mLn

C.p,.a///3,q:n//f3D.p:n10,q:aV/3

三、填空题

8.（2024•四川成都,一模）命题“Vx>0,tanx>x”的否定为.

9.（23-24高三上•河北张家口•阶段练习）已知函数彳（a>0且"1）,若

*e（0,3）,/卜2+3）+〃_^“）-220是假命题，则实数a的取值范围是.

四、解答题

10.（2024•上海,一模）（1）在用，五点法”作出函数）=1-sinx,xe[0,27i]的大致图象的过程中,

第一步需要将五个关键点列表，请完成下表:

X0

-sinx0

1-siiix1

（2）设实数。＞0且。片1,求证:ax]=优1皿；（可以使用公式:e=ex)

（3）证明：等式无3+办2+6工+。=（^-尤1）（^-%2乂尤-X3）对任意实数x恒成立的充要条件是

x1+x2+x3=—a

-xxx2+x2x3+x3xx=b

x1x2x3=—c

【综合提升练】

一、单选题

1.（2024•黑龙江•二模）命题〃VxwR,的否定是（）

A./Z3XGR,ex-x-l>0,,B.”HxwR,ex-x-l<0

C."VxeR,ex-x-l<0D."3XGR,ex-x-l<0"

2.（2024•内蒙古赤峰■一模）命题"VxeR,3neN",的否定形式是（）

A.VXGR,\/neN*,n<x2B.eR,3neN*,n<x2

C.R,XfneN",n<x2D.eR,wN*,n<x2

3.2024•全国•模拟预测）已知直线4：ax+3y-6=0，直线/2：2x+(a-l)y-4=0,则。=-2

是乜〃上的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•安徽・模拟预测）若。＞0,b＞0,则+是"。+641"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

5.（2024•全国•模拟预测）若直线/和圆C的方程分别为了=无+%,（尤-1）2+（y-2）2=5-仅，

则"3<加<5"是"直线/和圆C没有公共点”的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

6.（2024•黑龙江•二模）已知"，A为两个不重合平面，I,加为两条不同直线，则///夕的

充分条件是（）

A.mLa,mHB.Iu/3,/3Ha

C.mua,l//mD.aVp,aC\/3=m,l//m

7.2024•全国•模拟预测)在AABC中,命题尸:sin?/=cos2S+cos2c,命题2：p+^c|=|sc|

则尸是。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2024・吉林•模拟预测）已知函数〃x）=xlnx-G2一;贝『"（幻有两个极值"的一个充

分不必要条件是（）

A.—1<6/<1B.—<a<0C.—<a<0D.0<。<一

422

二、多选题

9.（2024・河南开封•二模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名

的高斯取整函数为〃x）=[x],3表示不超过X的最大整数，例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.下

列命题中正确的有()

A.3XGR,/(x)=x-l

B.VXGR,HGZ,/(x+几)=/(%)+〃

c.Vx,y>0,/(lgx)+/(lgj^)=/(lg(x^))

D.ReN*,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lgn)=92

10.(2024•全国•模拟预测)下列说法中，正确的是()

A."。>6"是>尸”的既不充分也不必要条件

B.命题“Vxe(0,+co),x+sinx>l”的否定是"Vxe(0,+oo),x+sinxVl”

C.已知随机变量X服从正态分布N（〃口2）,若尸（X1l）+尸（XN5）=l,则〃=2

D.V=-x国既是奇函数又是减函数

11.（2024,云南楚雄,模拟预测）下列命题为真命题的是（

A.VxeR,x+—>2B.VXGR,1

x77TT-

C.3xGR,ln（|x|+1）=0D.3xGR,+X+1W0

三、填空题

12.（2024•辽宁沈阳•一模）situ=1的一个充分不必要条件是.

13.（2024•全国•模拟预测）"函数尸taiw的图象关于（％,0）中心对称"是"sin2x0=0"的一条

件.

14.Q3-24高三上•四川成都朝中）已知a>0,b>0,则在下列关系①/？②64e~

③cosgz占④小-砥二斯+动中，能作为"O+6W2"的必要不充分条件的是（填正

确的序号）.

四、解答题

15.（2024・广东•模拟预测）设X,y为任意集合，映射了：Xfy.定义：对任意石,无26x,

若工产马，则/（无1）//（无2），此时的/为单射.

⑴试在RfR上给出一个非单射的映射；

（2）证明：/■是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z与映射g,6：ZfX,若对任意

zeZ,有f（g（z））=/（加>））,则g=〃；

⑶证明：/■是单射的充分必要条件是：存在映射。:y-x,使对任意xeX,有

。（/⑼=x.

16.（2024•广东•模拟预测）已知集合A中含有三个元素x/,z,同时满足①工<><z；②

x+y>z；③x+y+z为偶数,那么称集合A具有性质P.已知集合S,={1,2,3,…,2科

（«eN,,«>4）,对于集合S“的非空子集3,若S“中存在三个互不相同的元素见ac,使得

"Hc,c+a均属于8,则称集合B是集合S”的"期待子集

⑴试判断集合/={1,2,3,5,7,9}是否具有性质P,并说明理由；

⑵若集合8={3,4,a}具有性质p,证明：集合8是集合国的“期待子集"；

⑶证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S,的"期待子集

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.（2024•山西•一模）设命题）：玉£氏罐〉丘，贝!]]以为（）

A.X/xGR,（7X>fcrB.<kx

C.\/xGR,6ZX<kxD.3x^R,ax=kx

2.（2024・天津・一模）已知a/eR,则"b>同"是"/</”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

3.（2024•宁夏吴忠,模拟预测）已知直线加，“和平面a,且优_La,则"""是"〃，加”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件