《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 13-4 差分方程在经济管理中的应用

第十三章差分方程第四节差分方程在经济管理中的应用一、存贷款相关的模型二、动态供需均衡模型（蛛网模型）三、国民收入相关的模型四、小结

在经济与管理的许多实际问题中，所涉及的变量数据常常以等间隔时间周期进行统计，这就导致其中有关的变量是离散化取值的，它们之间的关系往往是以差分方程的形式体现．

本节通过举例来说明差分方程在经济管理中的简单应用．一、存贷款相关的模型例1（存款模型）设将资金存于某金融机构，初始资金量为

Z0=100万，按期结息，每一期的利率为r=4%，求第10期期末的资金总量Z10.解由题意，第n期期末和第n+1期期末时的资金总量的关系为上式可化为这是一个一阶常系数齐次线性差分方程，特征方程为所以是特征根，从而上面差分方程的通解为一、存贷款相关的模型例1（存款模型）设将资金存于某金融机构，初始资金量为

Z0=100万，按期结息，每一期的利率为r=4%，求第10期期末的资金总量Z10.解由初始资金量为

Z0，可得C=Z0，则第n期期末时的资金总量为这里Z0=100万，r=4%，求第10年末的资金总量为例2

（贷款模型）

设某人向银行贷款A0元，用于购买某件商品，贷款年限为n年，约定按月等额还款，假定年利率为r，求该借款人每月需向银行还款多少元？特别地，当A0=600000元、r=6%和n=10时，借款人每月需向银行还款多少元？解设借款人每月还款a元.记从借款之日起，第t个月还款后尚欠银行At元，总计还款期限为12n个月，则有以下差分方程即又由于贷款年限为n年（12n个月），则有A12n=0，所以可求得每月的还款金额为这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，利用待定系数法可求得其通解为再由初始贷款金额A0元，可得因此有举例说明：当A0=600000元、r=6%和n=10时，计算得每月还款额为二、动态供需均衡模型（蛛网模型）例1在普通市场中，一种商品的价格和消费者对该种商品的需求量是相互影响的，多呈负相关的走势．用Dt表示第t期该商品的供给量，

St表示第t期该商品的供给量，

Pt表示第t期该商品的价格.第t期的需求量依赖于同期价格，假设它们之间的关系（需求函数）为其中a,b为常数.第t期的供给量依赖于前期价格，即供给量滞后于价格一个周期，假设它们之间的关系为其中a1,b1为常数，且b1≠b.

求供需均衡（Dt=St）的条件下，商品的价格随时间的变化规律.解：由题意，供需均衡（Dt=St）时，得上式亦可化为这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，它对应的齐次线性差分方程的通解为所以商品的价格随时间的变化规律为利用待定系数法，可求得它的一个特解说明：1.如果供需平衡，并且商品价的价格保持不变，即则可求得静态均衡价格此时，需求函数和供给函数可改写为如果将这两个函数的图形画在同一个坐标平面上，记其交点为

称为该种商品的静态均衡点．2.如果已知初始价格

则可得所以此时商品的价格随时间的变化规律为（1）当

时，有，这表明没有外部干扰因素，商品的价格将固定在常数值上，也就是前面所说的静态均衡．（2）当

时，商品价格随着时间t的变化而变化.容易看出，当且仅当时，有也就是说，当商品的价格

随着时间t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格.下图给出了不同情形下商品的价格（纵轴）与供需（横轴）的关系图示．可以看到上图的形状类似于蜘蛛网，因此称上面的模型为蛛网模型．三、国民收入相关的模型（哈罗德(HarrodR.H.)经济增长模型）本小节讨论国民收入与消费和投资之间关系的问题．例3记Yn为第n期内的国民收入，Sn

为该期内的储蓄，In为投资.假定储蓄和国民收入的关系为其中0<s<1为边际储蓄倾向.当期投资和前两期的国民收入差相关，其关系为这里k>0为预期资本加速系数．试求在均衡条件Sn

=In下，国民收入Yn与n的关系.解：可化为这是一个一阶常系数齐次线性差分方程，其通解为在均衡条件下，整理得（萨缪尔森(Samuelson)乘数-加数模型）例4

记Yn为第n期内的国民收入，Sn

为该期内的储蓄，In为再生产投资，政府在各期内用于公共设施的支出为常数G，则有假设第n期的消费水平与前一期的国民收入水平相关，即有这里

表示边际消费倾向.设第n期的再生产投资是和消费水平的变化相关，即有其中为加速数．试建立Yn满足的微分方程时，建立国民收入Yn与n的具体关系.解：即亦可化为由题意可得这就是Yn满足的二阶常系数齐次线性差分方程.时，上面的方程变为当特征方程为再求非齐次方程的一个特解由于1不是特征方程的根，且非齐次方程的右端函数为0次多项式，所以可假设特解为代入方程得解：解得，于是