数值分析期末总结市公开课一等奖省赛课获奖课件

《数值分析》期末总结第1页考试题型一、填空题其目标是考评同学们对数值分析中基本概念、基本定理了解；主要考评内容为基本概念、基本定理、定理或算法应用条件等内容比如:误差配置标准中内容；收敛条件等二、计算题需要掌握算法内容、应用条件、误差分析等内容。计算过程能够使用计算器，不过要求同学要具备计算熟练性2024/11/132第2页第一章数值计算中误差1误差(1)绝对误差(限)、相对误差(限)(2)有效数字2算术运算中误差加法(减法)、乘法3误差起源与分类(舍入误差和截断误差)4误差分配标准与处理方法2024/11/133第3页1.1绝对误差与相对误差绝对误差设A是准确值，a是近似值，则定义二者之差=a-A为近似数a绝对误差绝对误差限||=|a-A|<(上界)，称为绝对误差限相对误差绝对误差与准确值之比A=/A为相对误差相对误差限|A|=|/A|<η(上界)，称为相对误差限绝对误差和相对误差相关系:=aA2024/11/134第4页1.2有效数字舍入方法将无限位字长准确数处理成有限位字长近似数处理方法称为舍入方法截断法四舍五入法四舍五入法|Δ|≤0.5x10-n,在a最末一位上有半个单位误差实际应用中按四舍五入标准取近似值是使用最广取近似值方法。用四舍五入取得近似值,可用有效数字来刻画2024/11/135第5页1.2有效数字假如近似数a绝对误差是某一位半个单位,且该位直到a第一位非零数字一共有n位,则称近似数a有n位有效数字,a为含有n位有效数字有效数。x*=

…

…

最左边不为零数误差不超出该位数半个单位n个有效数字比如：表示：近似值0.003400准确到小数点后第5位，有3位有效数字。绝对误差限、相对误差限和有效数字关系2024/11/136第6页2.算术运算中误差要求明确数据误差在算术运算中传输规律并对结果误差进行预计预计方法设x为x*近似值,y为y*近似值,则Δx=x-x*,Δy=y-y*。实际中常取误差主部,采取微分方式表示,即dx≈Δx,dy≈Δy,对于算术运算中结果误差可按微分公式近似估算2024/11/137第7页2.算术运算中误差加减绝对误差限等于各数绝对误差限之和C=xy dC|dxdy||dx|+|dy|x+y,乘积运算相对误差为各乘数相对误差之和,其相对误差限等于各乘数相对误差限之和2024/11/138第8页模型误差观察误差截断误差求解数学模型所用数值计算方法假如是一个近似方法,那么得到是数学模型近似解,由此产生误差称为截断误差。舍入误差因为计算机字长有限,参加运算数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差。这种误差称舍入误差或者计算误差。3误差起源与分类2024/11/139第9页4误差分配标准与处理方法误差配置原则计算模型近似解相对于参数模型准确解总误差=截断误差+舍入误差,即=R+R误差处理方法1.给定运算误差,确定参加运算数值字长2.近似式项数已定而字长待定3.总误差给定,要求确定项数和数值字长.4.数值字长已定,待定近似式项数

=R+

R2024/11/1310第10页第二章方程(组)迭代解法1.根初值确定方法2.迭代解法(1)迭代法计算步骤(2)迭代解法几何意义(3)迭代法收敛性（φ’(x)|q<1）3.迭代公式改进（减小q值）:(1)埃特肯法(2)牛顿迭代法(3)牛顿下山法(4)弦截法2024/11/1311第11页1.根初值确定方法迭代法求解非线性方程或非线性方程组较为有效方法，它是递归应用某一计算公式来决定未知量，并使之逐步迫近真解一个方法求方程根问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点横坐标。定理2.1设f(x)为区间[a,b]上单值连续函数，假如f(a)·f(b)<0，则[a,b]中最少有一个实根。假如f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根确定根所在区间方法:(1)画图法:f(x)=0分解为1(x)=2(x)形式，1(x)与2(x)两曲线交点横坐标所在子区间为含根区间(2)扫描法(3)对分法2024/11/1312第12页2.迭代解法迭代法计算步骤归纳以下:(1)选取初值x0，(画图法、扫描法、对分法)(2)确定方程f(x)=0等价形式x=φ(x),判断收敛性|φ’(x)|q<1(3)按公式xn+1=φ(xn)计算xn+1值(4)迭代终止判断.假如|xn+1-xn|<则停顿计算，不然继续迭代收敛条件定理2.2:|φ’(x)|q<1是迭代序列收敛充分条件在实际应用时，可用|φ’(x0)|q<1收敛速度|φ’(x)|误差预计及迭代过程终止条件2024/11/1313第13页3.迭代公式改进(1)埃特肯法2024/11/1314第14页(2)牛顿迭代法(3)判断假如|xn+1-xn|<,则迭代终止,不然n增加1,转(2)牛顿迭代法计算步骤:(1)选取初值x0(2)对于n=0,1,2,3…计算f(xn)和f’(xn)，以及2024/11/1315第15页(3)牛顿下山法引进参数λ,并用尝试法修改λ值大小(即改变原切线斜率),使到达|f(x0)|>|f(x1)|>…单调下降目标。称|f(xn+1)|<|f(xn)|为下山条件,这种算法为下山法.2024/11/1316第16页(3)牛顿下山法牛顿下山法取λ=1在xn基础上用切线法计算xn+1是否满足精度要求是是停顿迭代检验下山条件是否满足否修改λ值,算出新近似值xn+1否λ为下山因子在[

1,1]内选值.可依次取1,1/2,1/4,1/2r>

12024/11/1317第17页(4)弦截法双点弦截法yx0xn-1xn

xn+12024/11/1318第18页第二章方程求根迭代解法收敛充分条件定理2.5设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，且满足:1)f(a)f(b)<02)f’(x)≠0,3)f’’(x)不变号4)初值x0满足f(x0)f’’(x0)>0则牛顿迭代法收敛。定理2.6设f(x)在[a,b]上二阶导数存在,且满足(1)f(a)f(b)<0(2)f’(x)≠0(3)f’’(x)不变号(4)不动点x0满足f(x0)f’’(x0)>0,x1与x0函数值相异 则单点弦截法收敛定理2.7当f(x)在区间[a,b]上有直至二阶连续导数，且满足f(a)f(b)<0且f’(x)≠0时,双点弦截法对任意x0,x1∈[a,b]都收敛。2024/11/1319第19页习题二2.求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近根，设建立以下对应迭代公式，分析收敛性，并求近似根解:(x)|‘(x)|=|-2x31|=-21.531|x0=1.5=0.59<1(收敛)|‘(x)|=|312x|==0.4557<1(收敛)|‘(x)|=|21=1.4142>1(不确定收敛)2024/11/1320第20页习题二3.用埃特肯法求方程x3-x2-1=0在1.5附近根,

=10-4x0=1.5=1.48125=1.47271x1==1.46557=1.46557=1.46557x=1.46562024/11/1321第21页习题二x0=1.5=1.44444=1.479585x1==1.46597=1.46532=1.465732024/11/1322第22页习题二x2==1.46557=1.465572024/11/1323第23页习题二5.分别用迭代法、牛顿法、双点弦截法（x0=2,x1=1.9）求方程x3-3x-1=0在x=2附近根解:（1）迭代法因为x3=

3x+1|‘(x)|=|313|==0.27<1x0=2=1.91293=1.88883=1.88203x4=1.88014x5=1.87960x6=1.87945x7=1.87940x8=1.87939x9=1.879392024/11/1324第24页习题二（2）牛顿法f(x0)=23-3*2-1=1f’’(x0)=(f’(x0))’=(3(x2-1))’=6x=6*2=12ff’’|x0=2>0

取初值x0=2=1.88889x2=1.87945x3=1.87938x4=1.87938第一步:形成迭代函数第二步:确定初值第三步:迭代计算2024/11/1325第25页习题二（3）双点弦截法x0=2,x1=1.9x0=2f(x0)=23-3*2-1=1x1=1.9f(x1)=1.93-3*1.9-1=0.159=2*0.159-1.9*10.159-1=1.8811f(x2)=0.0130x3=1.9*0.0130-1.8811*0.1590.0130-0.159=1.8794f(x3)=0.0001x4=1.8811*0.0001-1.8794*0.01300.0001-0.0130=1.87942024/11/1326第26页第三章解线性方程组直接法§1消元法1.1消元法描述1.2高斯消元法1.3克劳特消元法1.4平方根法1.5追赶法1.6消元法应用条件§2选主元高斯消元法2.1列主元素法2.2全主元素法2024/11/1327第27页1消元法u11x1+u12x2+…+u1nxn=z1

u22x2+…+u2nxn=z2…….(2)unnxn=zn消元x1=…x2=………xn=…回代思绪:经过组合方程方法实现逐步消元,到达将原方程组化为三角形方程组目标,然后用回代法解此三角形方程组即可取得原方程组解.2024/11/1328第28页消元法综述2024/11/1329第29页消元法计算公式2024/11/1330第30页惯用消元法lii选值不一样会影响到计算量及舍入误差大小高斯消元法:取lii=1克劳特消元法l11=a11(0)=a11,l22=a22(1),l33=a33(2),…,lnn=ann(n-1)uii=1平方根法取lii=uii,有lij=uji2024/11/1331第31页3.消元法应用条件2024/11/1332第32页3.消元法应用条件定理3.1:若A各阶主子式均不为0,即|A1|=|a11|0,定理3.2若A为实对称正定矩阵,则lii0,uii0(i=1,2,…,n)定理3.3若A为严格对角占优矩阵,则lii0,uii0(i=1,2,…,n)2024/11/1333第33页主元素法原因lij=分子/ujj，uij=分子/lii，zi=分子/lii，xi=分子/uii公式likukj，分母为零提出主元素法是为控制舍入误差交换标准:使在对角线位置上取得绝对值尽可能大系数作为uij，称这么uij为主元素，并称使用主元素消元法为主元素法依据主元素选取范围分为:列主元素法、全主元素法2024/11/1334第34页习题三1.用高斯消元法解解:lii=1u11=3u12=2u13=5z1=6l21=-13l31=13=-0.33333=0.33333u22=4-(-0.33333)*21=4.66667l32=-1-(-0.33333)*24.66667=-0.35714u23=3-(-0.33333)*51=4.66665u33=3-0.33333*5-(-0.35714)*4.66665=3.00000z2=5-(-0.33333)*6=6.99998z3=1-0.33333*6-(-0.35714)*6.99998=1.499993x1+2x2+5x3=64.66667x2+4.66665x3=6.999983.00000x3=1.49999x3=0.50000x2=1.00000x1=0.500002024/11/1335第35页习题三2.用克劳特消元法解2024/11/1336第36页习题三x1－0.33333x2+1.33333x3=2.33333

x2–0.40000x3=0.80000

x3=0.50000x1=2.33333+0.33333*1-1.33333*0.5＝2x2=0.8+0.4*0.5＝1x3=0.52024/11/1337第37页习题三4.用列主元素法解l21=-13=-0.33333l31=23=0.66667(2)-l21(1):[2-(-1)*(-0.33333)]x2+(-2)-4*(-0.33333)x3=2-3*(-0.33333)1.66667x2-0.66668x3=2.99999(4)(3)-l31(1):-2.33333x2-4.66668x3=-7.00001(5)(4)>(5):-2.33333x2-4.66668x3=-7.00001(6)1.66667x2-0.66668x3=2.99999(7)l32=1.66667-2.33333=-0.71429(7)-l32(6):-4.00004x3=-2.00005(8)2024/11/1338第38页习题三-4.00004x3=-2.00005(8)-2.33333x2-4.66668x3=-7.00001(5)3x1-x2+4x3=3(1)x3=0.50001x2=1.99998x1=0.999982024/11/1339第39页第四章解线性方程组迭代法1.范数定义2.雅克比迭代法3.高斯-赛德尔迭代法4.相关收敛判别5.松弛迭代法2024/11/1340第40页1向量范数,矩阵范数,谱半径1-范数2-范数-范数行范数列范数2-范数向量范数是用来度量向量长度,它能够看成是二、三维解析几何中向量长度概念推广2024/11/1341第41页简单迭代法雅克比迭代法(k+1)(k+1)(k+1)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)迭代矩阵2024/11/1342第42页§2简单迭代法高斯-赛德尔迭代法(k+1)(k+1)(k+1)(k)(k)(k)(k+1)(k)(k)(k+1)(k+1)(k+1)2024/11/1343第43页4.相关收敛判别——迭代矩阵定理4.6对任何初始向量X(0)和常数项N,由迭代公式 X(k+1)=MX(k)+N(k=0,1,2,…) 产生向量序列{X(k)}收敛必要充分条件是说明:迭代收敛性只与迭代矩阵谱半径相关迭代是否收敛与系数矩阵A及演变方式相关与常数项和初始向量选择无关。2024/11/1344第44页4.相关收敛判别——迭代矩阵简单迭代法、赛德尔迭代法收敛三个充分条件||M||

=max{

i}<1||M||1=max{vi}<12024/11/1345第45页4.相关收敛判别——系数矩阵定理4.9若系数矩阵A不可约且含有对角占优,则雅可比迭代法必定收敛定理4.10若系数矩阵A不可约且含有对角占优,则高斯-赛德尔迭代法必定收敛定理4.11若A对称正定,则高斯-赛德尔迭代法收敛有些线性方程组使用Jacobi迭代法收敛,有些线性方程组使用Gauss-Seidel法收敛；即使使用两种方法都收敛,收敛速度未必相同2024/11/1346第46页4.相关收敛判别定义若矩阵A对角线元素满足 且最少有一个i值,使上式中有严格不等号成立,则称A含有对角占优。2024/11/1347第47页习题四1.用简单迭代法、赛德尔迭代法解线性方程组解:(1)x1=1.2-0.1x2-0.15x3x2=1.5-0.125(x1+x3)x3=2-0.13333x1+0.2x2x1(k+1)

=1.2-0.1x2(k)

-0.15x3(k)

x2(k+1)

=1.5-0.125(x1(k)

+x3

(k)

)x3(k+1)

=2-0.13333x1(k)

+0.2x2(k)

2024/11/1348第48页习题四

x1=0.768,x2=1.139,x3=2.1252024/11/1349第49页习题四解:(2)2024/11/1350第50页习题四6.设线性方程组AX=B系数矩阵以下,证实雅可比迭代法收敛,高斯赛德尔迭代法发散解:(1)用雅可比迭代法迭代矩阵是2024/11/1351第51页习题四其特征方程是0=1=2=0,(G)=0,用雅可比迭代法收敛2024/11/1352第52页习题四(2)<方法一>求高斯赛德尔迭代法迭代矩阵G=-(D+L)-1U(G)=2,用高斯赛德尔迭代法不收敛2024/11/1353第53页习题四(2)<方法二>求高斯赛德尔迭代法迭代矩阵特征向量0=0,1=2=2,(G)=2,用高斯赛德尔迭代法不收敛2024/11/1354第54页5.松弛法松弛含义ri=bi-(ai1x1+ai2x2+…+ainxn)(i=1,2,…,n)按|ri|最大实施松弛方法按方程次序实施松弛方法——逐次松弛法带有松弛因子逐次松弛法2024/11/1355第55页4.1.3带有松弛因子逐次松弛法例4.5用逐次松弛法解线性方程组解:按照以下形式，建立迭代格式2024/11/1356第56页4.1.3带有松弛因子逐次松弛法当=1时,2024/11/1357第57页4.1.3带有松弛因子逐次松弛法当=1.25时,2024/11/1358第58页第五章插值法不等距条件下牛顿基本差商公式1.差商2.牛顿基本差商公式3.截断误差预计等距节点下牛顿基本差商公式1.差分定义2.差分和差商关系3.牛顿前向插值公式4.牛顿后向插值公式5.中心差分公式2024/11/1359第59页第五章插值法不等距节点下拉格朗日插值公式1.不等距节点下拉格朗日插值公式2.拉格朗日公式舍入误差插值公式唯一性及其应用反插值 1.使用反函数插值法 2.利用插值多项式反插值法埃尔米特插值多项式2024/11/1360第60页第五章插值法1.差商(1)差约定义(2)差商主要特征——对称性(3)差商表普通,可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上n阶差商为2024/11/1361第61页§1.1差商差商表xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2]x0f(x0)f[x0,x1]x1f(x1)f[x0,x1,x2]f[x1,x2]f[x0,x1,x2,x3]x2f(x2)f[x1,x2,x3]f[x2,x3]x3f(x3)………f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x02024/11/1362第62页2牛顿基本差商公式Pn(x):牛顿基本差商公式Rn(x)余式xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2]x0f(x0)f[x0,x1]x1f(x1)f[x0,x1,x2]f[x1,x2]f[x0,x1,x2,x3]x2f(x2)f[x1,x2,x3]f[x2,x3]x3f(x3)2024/11/1363第63页§1.3牛顿基本差商公式误差预计(2)牛顿基本差商公式误差预计([x0,x1,…,xn])(1)差商与导数关系2024/11/1364第64页§1.3.2余式预计例5.3求解:作函数f(x)=取x0=4,x1=9,x2=6.25,建立差商表xf(x)f[xi,xi+1,]f[xi,xi+1,xi+2]42936.252.5P2(7)=2+(7-4)*0.2+(7-4)*(7-9)*(-0.00808)=2.648482024/11/1365第65页§1.3.2余式预计f3(x)=Rn(x)在区间[4,9]上,余式近似0.5*10-2,P2(7)=2.64848可舍入为2.652024/11/1366第66页4.差分(1)差分定义称

kyi-1=k-1yi-k-1yi-1为函数f(x)

在[xi-1,xi+k-1]上k阶差分。(2)差分表(3)等距节点情况下用差分表示差商

nyin!hn

nPn(x)=常量2024/11/1367第67页§2.1差分xy

y

2y

3y

4yx0y0x1y1x2y2x3y3x4y4

y0=y1–y0

y1=y2–y1

y2=y3–y2

y3=y4–y3

2y0=y1-y0

2y1=y2-y1

2y2=y3-y2

3y0=2y1-2y0

3y1=2y2-2y1

4y02024/11/1368第68页§2.2牛顿前插公式xy

y

2y

3y

4yx0y0

y0x1y1

2y0

y1

3y0x2y2

2y1

4y0

y2

3y1x3y3

2y2

y3x4y42024/11/1369第69页在节点等距情况下,以xnxn-1…x0次序建立牛顿基本差商公式§2.3牛顿后插公式xy

y

2y

3y

4yx0y0

y0x1y1

2y0

y1

3y0x2y2

2y1

4y0

y2

3y1x3y3

2y2

y3x4y42024/11/1370第70页习题五5已知函数表,求y(0.05)y(0.42)y(0.75)近似值xy

y

2y

3y

4y0.01.000000.21.221400.41.491820.61.822120.82.225540.221400.270420.330300.403420.049020.059880.073120.010860.013240.00238(1)牛顿前插公式求y(0.05)x=0.05,h=0.2=0.25

ny0n!Pn(x)=y0+t

y01!+

t(t-1)

2y02!+…+t(t-1)…(t-n-1)y(0.05)

1.00000+0.25*0.22140+0.25*(0.25-1)*0.04902/2+0.25*(0.25-1)(0.25-2)3!*0.010862024/11/1371第71页习题五=1.05126+0.25*(0.25-1)(0.25-2)(0.25-3)4!*0.00238(2)斯梯林插值公式求y(0.42)x=0.42,h=0.2xy

y

2y

3y

4y0.01.000000.21.221400.41.491820.61.822120.82.225540.221400.270420.330300.403420.049020.059880.073120.010860.013240.00238=0.1y(0.42)

1.49182+0.11*0.27042+0.330302+0.122*0.05988+0.1*(0.12-1)3!*0.01086+0.013242+0.12*(0.12-1)4!*0.00238=1.521962024/11/1372第72页习题五(3)牛顿后插公式求y(0.75)xy

y

2y

3y

4y0.01.000000.21.221400.41.491820.61.822120.82.225540.221400.270420.330300.403420.049020.059880.073120.010860.013240.00238x=0.75,h=0.2=0.75-0.80.2=-0.25y(0.75)

2.22554+(-0.25)*0.40342+(-0.25)*(-0.25+1)*0.07312/2+(-0.25)*(-0.25+1)*(-0.25+2)3!*0.01324=2.11702+(-0.25)*(-0.25+1)*(-0.25+2)*(-0.25+3)4!*0.002382024/11/1373第73页§3拉格朗日插值公式f(x)=(x0–x1)(x0–x2)…(x0–xn)(x–x1)(x–x2)…(x–xn)f(x0)+…+(xi–x0)…(xi–xi-1)(xi–xi+1)…(xi–xn)(x–x0)…(x–xi-1)(x–xi+1)…(x–xn)f(xi)+…+(xn–x0)(xn–x1)…(xn–xn-1)(x–x0)(x–x1)…(x–xn-1)f(xn)+Rn(x)=Ln(x)+Rn(x)拉格朗日插值公式ai(x)2024/11/1374第74页§3.2舍入误差预计[

yiai(x)+

aiyi+

ai

yi]2024/11/1375第75页例5.8预计用插值法计算lg47时误差限取x0=45,x1=48,=1.671898401解:应用n=1拉格朗日插值公式x4548lgx1.65321261.68124132024/11/1376第76页([45,48])2024/11/1377第77页=(0.3333333+1.6532126)*0.5*10-7+(0.6666667+1.6812413)*0.5*10-7

0.2*10-3对于y=1.671898401可取y=1.672=1.6718984012024/11/1378第78页§5插值公式唯一性及其应用插值公式唯一性若插值节点相同,则插值公式是唯一插值计算中误差(1)插值公式截断误差预计(2)插值计算中舍入误差(拉格朗日插值公式)2024/11/1379第79页§6反插值1.使用反函数插值法xx0x1…xnyy0y1…ynyy0y1…ynxx0x1…xn2.利用正函数插值公式反插值法从正插值函数中推出迭代公式2024/11/1380第80页§6.1使用反函数插值法例5.10给出sinx函数表,对y=0.98000000利用y=sinx反函数进行反插值x1.741.761.781.801.82sinx0.985719180.982154320.978196610.97847630.96910913=1.771138202024/11/1381第81页§7埃尔米特插值多项式牛顿型埃米特插值公式降阶型埃米特插值公式拉格朗日型埃米特插值2024/11/1382第82页7.1牛顿型埃米特插值公式依据差商和导数关系:n+1个x0

2024/11/1383第83页7.1牛顿型埃米特插值公式将每一节点个数增加到导数+1个后，问题可归结为在m+1个互异节点组上插值问题:2024/11/1384第84页7.1牛顿型埃米特插值公式xyy’y’’0341567xy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商03

03

15-6.515

15-23.56-0.54n+1个x0

2024/11/1385第85页第六章数值微分和数值积分§1数值积分1牛顿－科特斯求积公式2复化求积公式3龙贝格法4高斯求积§2数值微分基本方法1差商型数值微分2插值型数值微分2024/11/1386第86页§2.1牛顿——柯特斯求积公式f(x)

Pn(x)Ci(n):牛顿—柯特斯系数牛顿－柯特斯求积公式柯特斯系数含有对称性2024/11/1387第87页§2.1牛顿——柯特斯求积公式当n=1时,C0(1)=C1(1),称为梯形公式:含有1次代数准确度当n=2时,N-C公式称为辛普生公式(Simpson):3次代数准确度2024/11/1388第88页§2.1牛顿——柯特斯求积公式例6.3用n=6牛顿—柯特斯公式计算以下定积分值解:h=(b-a)/n=(1-0)/6=1/6xi=0+i/6=0.69332024/11/1389第89页§2.2复化求积公式1.复化梯形公式hh=(b-a)/Mab(m=M/n)个等分区间2024/11/1390第90页§2.2复化求积公式2.复化辛卜生公式M个小段abn小段M=2mm个等分区间2024/11/1391第91页§1.3复化求积公式例6.2对定积分分别用复化梯形公式或复化辛卜生公式计算时,需要M=?解:

f’’(x)<1/3,f(4)(x)<1/5复化梯形公式=167复化辛卜生公式M=2m=62024/11/1392第92页§1.3复化求积公式例6.3利用复化辛卜生公式计算积分解:取M=2m=10,则h=(b-a)/M=(1-0)/10=0.1=0.03333*20.7945=0.69315预计截断误差2024/11/1393第93页3龙贝格法当区间[a,b]分为2k等分,步长h=(b-a)/2k,复化梯形递推公式为复化梯形递推公式组成序列T1T2T4…辛卜生序列S1S2S4…柯特斯序列C1C2C4…龙贝格序列R1R2R4…龙贝格求积法2024/11/1394第94页3龙贝格法T1T2