绝密资料高中数学等比数列（解析版）

第35讲：等比数列

一、课程标准

1.通过实例，理解等比数列的概念.

2.探索并掌握等比数列的通项公式与前〃项和的公式.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.体会等比数列与指数函数的关系.

二、基础知识回顾

知识梳理

1.等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母_q_表示.

2.等比数列的通项公式

一般地,对于等比数列｛an｝的第n项an，有公式an=aiq『i，这就是等比数列｛aj的通项公式，其中ai为

nm

首项，q为公比.第二通项公式为：an=amq.

3.等比数列的前n项和公式

等比数列｛为｝的前n项和公式：S.=i—q(行1)或Sn—\—q(行1).

注意：(1)当(7=1时，该数列是各项不为零的常数列,S,产必；

(2)有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q=l，的来讨论.

4.等比数列的性质

⑴若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2=ab.

(2)等比数列｛aj中,若m+n=k+l(m，n，k，1CN*)，则有am-an=ak-ai'特别地，当m+n=2p时,am-an

=加.

(3)设S,“是等比数列｛%｝的前〃项和，则S,”，S2,“一S”，53,“一52,”满足关系式(52”,—5,“)2=5,“。3,”-52,").

(4)等比数列的单调性，若首项«,>0，公比q>\或首项0<0，公比0<”1，则数列为递增数列；若首项

«1>0，公比0<产1或首项功<0，公比夕>1，则数列为递减数列；若公比q=l，则数列为常数列；公比

0，则数列为摆动数列.

(5)若｛4,｝和的｝均为等比数列,则｛匕｝(!#))、｛同｝、—｝、｛曲、｛/、"d｝(*0)仍为等比数列.

三、自主热身、归纳总结

1、已知｛an｝是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，如，@8成等比数列，则()

A.aid>0，dS4>0B.aid<0»dS4<0

C.aid>0，dS4<0D.aid<0，dS4>0

【答案】B

5

【解析】由a3，a4，a8成等比数列可得：(ai+3d)2=(aj+2d)-(ai+7d),即3a)+5d=01.*.ai=-3d*/.aid

(ai+a4)x42

VO.又dS4=2d=2(2ai+3d)d=一兔2<()故选B.

2、若等比数列｛a/满足ana“+i=16n，则公比为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

an+ian+2］6n।

2n

【解析】山anan+i=16",得an+ian+2=16”"，两式相除得a^n+i=16"=16>/.q=16(Vanan+i=16,可

知公比q为正数，，q=4.故选区

3、［2017.新课标H高考］我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上

一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A.1盏B.3盏C.5盏D9盏

【答案】B

aj(1-27)

【解析】设塔顶共有灯a,盏，根据题意各层等数构成以at为首项，2为公比的等比数列，.3=1—2=

(2’-Dai=381，解得山=3.故选8

4、已知数列｛。〃｝满足4g2O〃+I=l+Iog2a旦。1+。2+〃3+...+。10=1，则Iog2(«l01+^102+.•.+^110)

【答案】100

【解析】因为Iog2〃〃+1=1+log2%,可得log20〃+i=log2(2an),所以〃“+1=2an,所以数列｛“〃)是以ai为首项，2

为公比的等比数列，又。1+。2+.・・+。10=1,所以aioi+aioi+...+a\io=(«i+ai+...+aio)x2loo=2lo0,所以

IOg2(。101+〃102+…+010)=10g22,00=100.

5、已知数列｛斯｝是等比数列，S“为其前〃项和，若〃1+。2+〃3=4,〃4+。5+。6=8,则S12=.

【答案】60

【解析】由等比数列的性质可知，数列S3,S6—S3,S9—S6,$2—S9是等比数列，即数列4,8,59~56,512-

S9是等比数列，因此$2=4+8+16+32=60.

四、例题选讲

考点一等比数列的基本运算

s

例1、（1）（2019苏锡常镇调研（二））己知等比数列｛%｝的前〃项和为s“，若％=2生，则瞪=.

（2）（2019苏北四市、苏中三市三调）已知｛q｝是等比数列，前〃项和为S”.若%-％=4,4=16,则S3的

值为▲.

（3）、（2019南京、盐城一模）已知等比数列｛a„｝为单调递增数列，设其前n项和为Sn,若a?=2,S3-7,则

a5的值为.

7

【答案】.（1）（2）14（3）16

3

【解析】（1）设等比数列｛4｝的公比为4,因为％=2%，所以//=2。2,故/=2.由于qwl,故

耳2=l—q_]_d2]―（g4）3]—23=7

二一4（1"一I"'-（/A一匚尹方

（2）：（基本量法）设数列｛4｝的首项是《，公比为4,则山％-%=4,4=16,得

a,q2-44=4,,fq=2

<解得〈_,S3=4+%+/=4+4夕+。闯~=2+4+8=14.

a｝q=\6〔4=2

22

（3）解法1（基本量为ai,q）设an=a「qE,则a2=a「q=2,即所以S3=a「（q2+q+1）=7,即j（q2+

2151

q+l）=2q+2+Q=7,q+d=],解得q=2或q=，（数列单调递减，舍），则a5=a「q4=16.

21

解法2（基本量为a2,q）设公比为q,则S3=Q+2+2q=7,解得q=2或q=，（数列单调递减，舍），则as

=a2,q'=16.

解后反思在等差数列与等比数列中常常使用基本量法，但是要注意基本量的相对性.我们所说的基本量，往

往是ai,d（或ai,q）,其实也可以把a?,d（或a2,q）等作为基本量.

55Sn

变式1、已知等比数列｛斯｝的前附项和为S”且。1+“3=5，«2+«4=4>则如=

【答案】：2--1

【解析】设等比数列｛%｝的公比为q,

｛5（5

Jai+aj=2,Jai+atq2=2,①

7|55

【。2+如=4,l“q+aiq3=4,②

1+q，

由①除以②可得不了=2,

解得q=5,代入①得0=2,

1915

变式2、［2018•苏州模拟］已知等比数列Sn｝的前n项和为Sn，且

~~8a4—a2=—T,则a3的值为

【答案】4

a((1—q6)19

【解析】⑴观察得公比q不为1，将条件代入前n项和为S.及通项公式，得ai(i—q3)=一9-Al+q3

J93159

=­T，Aq=-2,•'♦aiqCq2-1)=—V'ai=l，故a3=aiq2=J.

方法总结：⑴等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量“I,n,q,a„,

S,„一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解;

⑵等比数列的前"项和公式涉及对公比4的分类讨论，当＜7=1时，｛如｝的前〃项和S“=,孙：当/时，

ail-。1ai—anq

｛%｝的前n项和Sn=\—q—\—q。

考点二等比数列的性质

例2、(1)已知等比数列｛“"｝的各项为正数，且4546+。4〃7=18,则10g3ai+10g3"2+…+log3“IO=()

A.12B.10

C.8D.2+log35

(2)设等比数列｛a“｝中，前月项和为£,己知$3=8,S6=l,则幻+制+麴等于()

I1

A.8B.-8

5755

c.yD.y

(3)已知等比数列｛〃“｝共有2〃项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比g=.

【答案】(1)B(2)A(3)2

【解析】⑴由a5a6+a4a7=18,得。5a6=9,

所以logM1+log3Q2+...+Iog300=log3(〃1〃2…00)

=10g3(45〃6)5=5k)g39=10.

(2)因为s+a8+〃9=S9—§6,且S3,S6-S3,59—&,也成等比数列，即8,-1,§9-56成等比数列，

所以8(%—56)=1,即S9一星=0,

]_

所以07+〃8+〃9=8・

JS奇+S耨=-240,

(3)由题意，得的=80,

产田=-80,1一160

解得储=一160,所以4=其=-80=2.

42〃16

变式1、⑴(2019•洛阳市第一次联考)在等比数列伍〃｝中，43,05是方程f+6x+2=o的两根，则77"的值为()

2+―

A.-2B.一也

C.y[2D.一^

(2)等比数列｛〃〃｝的各项均为正数，且0。5=4,则k>g2ai+log2q2+log2a3+log2a4+log2〃5=.

【答案】(1)B(2)5

【解析】(1)设等比数列｛〃“｝的公比为夕，因为"3,415是方程/+6工+2=0的两根，所以〃3,。15=同=2,43

—6同

+〃15=—6,所以〃3<0,«15<0,则。9=一也，所以砌=.=〃9=一立.

(2)由题意知4同5=*=4,因为数列｛m｝的各项均为正数，所以“3=2.所以〃]〃2〃3々4〃5=(。闷5〉(〃2〃4)&3=

(曷A&3=/=25.所以10g2〃]+10g2〃2+log2〃3+log2〃4+log2^5=log2m142a3〃4。5)=lOgz?5=5.

变式2、⑴[2018•如东中学]在等比数列｛aj中，各项均为正值，且a6a1o+a3a5=41，a4a8=5呗I」加+28=；

Sio31

(2)[2016•常熟中学]等比数列国｝的首项山=—1，前n项和为工，若名=五，则公比q=—.

【答案】(1)相(2)-2

【解析】⑴由Maio+a3a5=41及36a1o=a至、a3a5=al，得虏+aG=41」.・a4a8=5».*.(a4+as)2=aS+2a4as+ai=

41+2x5=51.又an>0'.\a4+^=y[5\.

Sio31Si()—S51

(2)由'a1=—1知公比q，l»则可得~工~=一五由等比数列前n项和的性质知Ss，SIQ-S5，S15

11

—Si()成等比数列，且公比为q5，故q5=—交»q=-2.

方法总结：⑴在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若机+〃=p+式加，

%p,则“〃・•〃=%•的”，可以减少运算量，提高解题速度.

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.止匕外，解题时注意设而不

求思想的运用

考点三等比数列的判定与证明

例3、(2019苏州三市、苏北四市二调)已知数列｛aj的各项均不为零.设数列｛aj的前n项和为Sn,数列｛a^

的前n项和为Tn,且3sA—4Sn+Tn=0,nGN,.

(1)求的值；

(2)证明：数列｛斯｝是等比数列；

【解析】(1)因为3S3—4Sn+Tn=0,nSN*.

令”=1,得3/一4ai+由=0,因为a#。，所以0=1.

1

令〃=2,得3(l+s)2—4(1+。2)+(1+星)=0，即2晶+“2=0，因为堂#),所以堂=一2.(3分)

(2)解法1因为3S^-4Sn+T,,=0,①

所以3S，|-4Sn7+Tn+|=0,②

②)—©得，3(Sn+l+Sn)3n+1—4an+l+a；i-l=0,

因为an+i/0,所以3(Sn+i+S”)-4+a“+i=0,③(5分)

所以3(Sn+S“T)-4+an=0(nN2),④

当佗2时，③一④得，3(an+i+an)+an-i—an=0,即an+i=-]an,

an+11

因为a#0,所以an=-2-

j_a?_1_

又因(1)知，a1=l,a?=-2»所以a〕=-2»

1

所以数列｛an｝是以1为首项，一5为公比的等比数列.(8分)

解法2因为3SA-4Sn+Tn=0,①

—

所以3Sn+l4Sn+l+Tn+l=0,②

②一①得，3(Sn+i+Sn)an+i—4ani-i+an+i=0,

因为an+1和,所以3(Sn+1+Sn)-4+an+l=0,

—

所以3(Sn+l+Sn)4+(Sn+l—Sn)=0,(5分)

2_!/2\221

整理为SnT—§=-W^Sn—以又Si—§=a|—?=§,

2\(An-1\(nn-12

所以S「?=予(一万，得Sn=K—亍+§,

(加一1

当定2时，an=Sn—Sn-i=V_27，而ai=l也适合此式，

(hn—1am1

所以an=v-27，所以an="2

所以数列｛an｝是以一2为公比的等比数列.（8分）

2

变式1、（江苏启东中学2019届高三模拟）已知数列｛〃〃｝的首项m>0,〃〃+1=2。〃+1（〃£N）且〃1=].

｛5—1｝是等比数列,

⑴求证:并求出｛〃“｝的通项公式:

⑵求数列｛5｝

的前n项和Tn.

12%十!

1d+iI-[34"-12”,,+1—3a”1—a”j_

【解析】（1）证明：记友,=£-1,则丁=工=二=-3—3斯=31—%=§，

an~1an~1

_1_31

又"=/_I=2-T=5，

所以｛2一1｝是首项为《公比为3的等比数列.

所以£-1=2\3/'_|，即如=1+23'-1

23门

所以数列｛3｝的通项公式为斯=l+2-3,r

(2)由(1)知，£-1

即£=20+1

所以数列｛5｝

的前〃项和

装1-3")vn

-

Tn—j-+n=4<l3"J+«-

1-3

变式2、已知在正项数列｛小｝中，卬=2,点诟，声二）在双曲线产一5=1上.在数列｛d｝中，点（与，Ttl）

在直线y=—云+1上，其中〃是数列｛仇｝的前〃项和.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）求证：数列｛d｝是等比数列.

【解析】：（1）由已知点4在y2一r=1上知，%+i—〃〃=1.

・•・数列｛斯｝是一个以2为首项，1为公差的等差数列.

，跖=〃i+（〃一l）d=2+〃-1=n+1.

\

（2）证明：’・•点（仇，〃）在直线y=一吸+1上，

，，=—5力〃+1.①

Tn-t——2bn-1+1(n>2).②

①②两式相减，得

b”=—2^«+2^»-|(«>2).

311

2'=2瓦••bn=2>bn-\-

12

由①，令”=1,得—=—仍i+l,.,.历=§.

21

，数列｛d｝是以？为首项，名为公比的等比数列.

方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、

填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可.而

研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解.

五、优化提升与真题演练

1、【2020年全国2卷】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板

(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层

的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇

面形石板(不含天心石)()

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

【答案】C

【解析】设第〃环天石心块数为凡，第一层共有〃环,

则｛4｝是以9为首项，9为公差的等差数列，a“=9+(〃—l)x9=9〃,

设S“为伍"的前〃项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为S..S?”一S“，S3“一S2”，因为下层比中层多729块,

所以S3”—S2,=S2“一S.+729,

3n(9+27n)2n(9+18〃)2n(9+18n)n(9+9n)

即4rl------------------------=-----------------------卜729

2222

即9〃2=729，解得〃=9,

所以S3,,=邑7=27"言2乃=3402.

故选：C

2、【2019年高考全国m卷理数】已知各项均为正数的等比数列｛小｝的前4项和为15,且4=3。3+4《，则

。3=()

A.16B.8

C.4D.2

【答案】C

o31/-

q+qq+qg~+。闻、=15

【解析】设正数的等比数列｛斯｝的公比为q,则＜

a闻4=3qg2+44

4=1,

解得,/.a=aq=4,故选C。

[4=23x

3、【2020年江苏卷】设｛3｝是公差为”的等差数列，｛d｝是公比为q的等比数列.已知数列仅“+小｝的前〃项

和S„=n2-n+2"-l(neN+),则d+q的值是

【答案】4

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d，等比数列也,｝的公比为4,根据题意

等差数列｛a.｝的前〃项和公式为P„=〃％+\Q=2n+(a1~2)n，

等比数列也,｝的前〃项和公式为Q="(i)=_e_/+上_,

"1-(/\-q\-q

211

依题意Sn=2+Q„,UPn-n+2"+(at-n-—-q"+

2k2；\-q\-q

q=0

c,故d+q=4.

q=2

4=2

4=i

匕=-1

"q

故答案为：4

4、【2019年高考全国I卷理数】记S,为等比数列｛%｝的前"项和.若q=；，­=4,则$5=_

…品、121

【答案】一

3

【解析】设等比数列的公比为q,由己知4=工,a；=4,所以(g/)2=；^,又4/0，

所以q=3,所以s=q(l_/)/l_3:⑵

5一\-q—1-33

5、【2018•全国高考】已知数列｛册｝满足％=1,na„+1=2(n+l)an，设%=会

(1)求九,b:,b3；

(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛0｝的通项公式.

【答案】⑴"=1,历=2,庆=4.

(2)出“｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由见解析.

(3)a„=77-2nl.

【解析】

(1)由条件可得知+1=加9..

将〃=1代入得，〃2=4〃寸而0=1,所以，〃2=4.

将〃=2代入得,。3=3。2,所以,03=12.

从而。尸1,%二2,/?3=4.

(2)｛仇｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得酗i=当，即儿+尸2儿，又4=1,所以｛d｝是首项为1,公比为2的等比数列.

n+1n

(3)由(2)可得生所以年加2叫

n=2"T,

6、【2018・全国卷III】等比数列｛〃〃｝中，的=1,。5=4“3.

(1)求｛&｝的通项公式；

(2)记S”为｛〃“｝的前〃项和.若S“=63,求加.

【解析】(1)设｛斯｝的公比为心山题设得知=/L

由已知得/=4寸,

解得4=0(舍去)或4=-2或q=2.

故。“=(—2)"r或

(2)若m=(—2)"一1,则S“=J/)

3

由S”=63,得(-2产=-188,

此方程没有正整数解.

1-2"

若斯=2"7,则S,=~py=2"—1.

由S,”=63,得2川=64,解得,”=6.

综上，m=6.

7、【2020年全国1卷】.设｛4｝是公比不为1的等比数列，/为的，生的等差中项•

(1)求｛4“｝的公比；