2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题81 二元一次方程组及其解法【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年七年级数学下册举一反三系列专题8.1二元一次方程

组及其解法【九大题型】

【人教版】

【题型।二元一次方程（组）的概念】............................................................1

【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】...................................................2

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】.......................................................2

【题型4二元一次方程组的一般解法】............................................................3

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】.....................................................3

【题型6构建二元一次方程组】.................................................................4

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】.............................................5

【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】.................................................5

【题型9二元一次方程组的错解复原问题】.......................................................6

”片声*三

【知识点1二元一次方程（组）的概念】

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1二元一次方程（组）的概念】

【例1】（2022•山东•胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是1）

①汽”②叱③产…）-2「④

ly+2z=7―x—y=5?2%+3y

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【变式1-1]（2022•黑龙江•哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于工、），的方程（…2）"卢」|=2是

二元一次方程，则〃?的值为.

【变式1-2]（2022•四川•仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：

①2%-5=1；②5+。=3；@x2-y2=4：④5（%+y）=7（%-y）；⑤2/=3；⑥x+；=l,其中

32yy

是二元一次方程的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【知识点2二元一次方程（组）的解】

3、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

【题型2已知二元一次方程（蛆）的解求参数】

【例2】（2022•黑龙江•齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和.V的二元一次方程，2x+3y=20的正

整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

【变式2/】（2022•新疆塔城•七年级期末）已知:方是二元一次方程2丸-十y=14的解，则k的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【变式2-2］（2022•全国•七年级单元测试）已知方程］+by=-l的两组解是C二二;和后二：，求（a+b）（a4

-2a2b2+b2）的值.

【变式2-3］（2022•浙江杭州•七年级期中）在关于x,y的二元一次方程组的下列说法中，

错误的是（）

A.当a=2时，方程的两根互为相反数B.当且仅当a=-5时解得％为y的2倍

C.x,y满足关系式x—5y=6D.不存在自然数a使得，y均为正整数

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】

【例3】（2022•四川省琪县巡场中学校七年级期中）关于x,y的方程组二:的解是整数，则整数a的

个数为（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式3-1］（2022•浙江杭州•七年级期中）若二元一次方程组｛二：二黄=J无解，则血为（）

A.9B.6C.-6D.-9

【变式3-2］（2022•全国♦八年级单元测试）下列说法中正确的是（）

A.方程3x-4y=l可能无解

B.方程3x-4y=l有无数组解，即xy可以取任何数值

X—1(Y——1

C.方程3x-4y=l只有两组解，两组解是y=；：=_；

D.x=3,y=2是方程3x-4y=l的一组解

【变式3-3](2022•河南商丘•七年级阶段练习)二元一次方程2x+y=13的非负整数解有()

A.5个B.6个C.7个D.无数个

【题型4二元一次方程组的一般解法】

【例4】(2022•云南•普洱巾宁洱县勤先镇初级中学七年级期中)解方程组：

⑴[y=2%①

|3y+2%=8②

(2x+3y=12®

1)U-2y=-l@

【变式4-1](2022・甘肃・金昌市金川区宁远中学七年级期中)用适当的方法解下列方程组：

⑵卜二短工

(3)用代入法解J二；o

⑷用加减法解偿二沈二：

【变式4-2](2022・湖南•郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习)解方程组

+3y=7

-3y=1;

mn

--------=2

(4)52

l2(m+n+5)—(-m+n)=23

【变式4-3](2022•河南商丘•七年级期末)解下列方程组：

(1)|3x-y=S

卬回-1=3工+10

x+7y=2

(2)-x-+--y-----.x..-.y..._----I

26

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】

【例5】(2022•全国•八年级课时练习)己知关于X、)，的二元一次方程组朦:[二;的解为仁，那么

关于…的二元一次方程组露胃:黑二工的解为一•

2a+b,例如103=2x1+3=5.

（1）求4区）（-3）的值；

（2）若％⑤（-y）=-2,（2y）0%=-1,求为+y的值.

【变式6-3]（2022•山东聊城•七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则〃尸

〃、〃的运算a+ba-b（a+2/？）3

运算的结果59in

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】

【例7】（2022•广东揭阳•八年级期末）若关于的二元一次方程组｛:二j二能）:的解满足x+y=7,

则A的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式7-1]（2022•全国•七年级课时练习）关于x,y的方程组[丫=一的解也是二元一次方

程x+3y+7m=20的解，则m的值是（）

A.2B.1C.0D.-

2

【变式7・2】（2022•湖南株洲•七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组底），的解满足二元

一次方程/,'=4,求〃?的值.

【变式7-3]（2022・四川•天府四中七年级期中）已知方程组:27的解是二元一次方程;c—y=l的

十5y一/

一个解，则a=.

【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】

【例8X2022•浙江咛波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组J：：/二26与『汇3短才

有相同的解，则Q+b=.

【变式8-1]（2019・四川成都・中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于“、y的方

程组宿二的正确解与乙求关于小y的方程组晨二；二20的正确的解相同.则*18+（-挥产18

的值为.

【变式8-2]（2022•福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组｛£｝为；；的解也是方程组

优二5一二的解求的值•

【变式8-3］（2022♦山东潍坊•七年级期中）若关于，丫的二元一次方程组｛晨与

吃％=m2q有相同的解，则这个解是_________.

（（c+3）x+（d+4）y=n+5--------------

【题型9二元一次方程组的错解复原问题】

【例9】（2022•四川•射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组广：二3七=7,小明正

确解得［:二，1，小文抄错了c，解得『二二’己知小文抄错了c外没有发生其他借取，则a~b~c-.

【变式9.1】（2019•全国•八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组1干+?二尸皆甲因看错①中的

bx-3y=9.［2）

a得解为t：5'乙因看错了②中的b解得「=1'求。，力的值.

U-/，｛y=5,

【变式9-2】（2019•江苏徐州•七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组=$以，甲解得匕：产，

乙解得｛；二:•甲仅因为看错了万程⑴中y的系数。，乙仅因为看错了方程（2）中工的系数b,求方程组止确的解.

【变式9-3］（2019•全国•八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方

程组Z1?中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是匕Z\

（□X十zy——L-L,

则原来的方程组为.

专题8.1二元一次方程组及其解法【九大题型】

【人教版】

【题型।二元一次方程（组）的概念】............................................................1

【题型2已知二元一次方程（组）的解求参数】...................................................2

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】.......................................................2

【题型4二元一次方程组的一般解法】............................................................3

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】.....................................................3

【题型6构建二元一次方程组】.................................................................4

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】.............................................5

【题型8根据两个二元一次方程组解的情况求值】.................................................5

【题型9二元一次方程组的错解复原问题】.......................................................6

手，?三

【知识点1二元一次方程（组）的概念】

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1二元一次方程（组）的概念】

【例1】（2022•山东・胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是〔）

1,_.

-2y=3⑸；+y=4_4)-2x=1

+2z=7②y，=_i③ix-y=5④

2%+3y=1

<x

A.①②③B.②③C.③④D.①②

【答案】C

【分析】根据二元次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且

共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定.

【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意：

f-+y=4

②X2各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意;

。一片-1

③=1是二元一次方程组，故符合题意；

f_y_1

④23-i是二元一次方程经，故符合题意；

2x+3y=；

故是二元一次方程组是③④，

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键.

【变式M]（2022黑龙江・哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于小），的方程。〃-2）A卢」1=2是

二元一次方程，则机的值为.

【答案】0

【分析】根据二元•次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得出租的等量关系,

解出答案即可.

【详解】解：由题意得，

m-2H0,|m—1|=1,

0znH2,m=2或0,

Em=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的关键.

【变式1-2]（2022•四川•仁寿县文宫镇占佛九年制学校七年级期中）下列方程：

①2%-马=1；（2）^4--=3；（3）x2-y2=4：（4）5（x+y）=7（x-y）；（5）2x2=3；@x4-7=1,其中

32yy

是二元一次方程的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据二元一次方程的定义作答.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整

式方程叫做一元一次方程.

【详解】解：①"一；=1属于二元一次方程，故符合题意；

②:+；=3中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；

③/-y2=4中的未知数的次数为2,不属于二元一次方程，故不符合题意：

④5（x+y）=7（%-y）属于二元一次方程，故符合题意：

⑤2-=3中的未知数的次数为2,不属于二元一次方程，故不符合题意；

⑥x+；=1中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意：

故其中二元一次方程有2个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，

未知数的项的次数是1的整式方程.

【变式1・3】（2022春•开福区月考）已知方程组产一夕〃一呼"一2二2二1是二元一次方程组，求加的值.

（（m+l）x=-2

【答案】⑴9+3迎；（2）zn=5

【分析】根据二元一次方程组的定义得|m-2|-2=1且m-3H0,m+1H0即可求解；

【详解】解：团方程组一夕1-2”小一2二2=1是二元一次方程组，

（（m+l）x=-2

—2|-2=1,且m—3H0,m+1工0,

0m=5.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键.

【知识点2二元一次方程（组）的解】

3、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

【题型2已知二元一次方程（蛆）的解求参数】

【例2】（2022•黑龙江•齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3），=20的正

整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】将y看作已知数，求出人即可确定出方程的正整数解.

【详解】解：2x+3y=20

1

x=-（20-3y）

乙

当y=2时，x=7；当y=4时，x=4；当y=6时，x=l

则方程的正整数解有3对.

故选:C

【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将），看作已知数，表示出工

【变式2-1］（2022•新疆塔城•七年级期末）已知:北是二元一次方程2%+y=14的解，则k的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】把忧案代入二元一次方程2%+y=14求解即可得到答案；

【详解】把代入二元一次方程2%+y=14得到：

2x2k+3k=14,

即：7k=14,k=2,

故选:A.

【点睛】本题主要考查了二元••次方程解的定义，掌握二元•次方程的解使该方程等号两边成立是解题的

关键.

【变式2-2］（2022•全国•七年级单元测试）已知方程》+by=-l的两组解是C二二;和后二：，求（a+b）（a4

-2a2b2+b2）的值.

【答案】-23

【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出a、b的值，代入含有a、b的代

数式求解即可

【详解】解：将和｛：：：代入»+by=-l,

得9（-2）+八（-=

^x4+bx3=-l'

解得｛/1•

0（a+b）（a4-2a2b2+b2）=（4-3）x［44-2x42x（-3）2+（-3）2］=-23.

【点睛】二元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识根据已知条件转换成二元一次方程组是解

题的关键.

【变式2-3］（2022•浙江杭州•七年级期中）在关于，y的二元一次方程组，（夕建13的下列说法中，

错误的是O

A.当a=2时，方程的两根互为相反数B.当且仅当a=-5时解得“为y的2倍

C.x,y满足关系式％-5y=6D.不存在自然数a使得％,y均为正整数

【答案】D

【分析】A.当a=2时，方程组变形得到结果，即可判断;

B.将x=2y代入方程，解出a即可判断:

C.用含a是代数式表示x和y,再将x、y代入x-5y进行计算即可判断;

D.用含a是代数式表示x和y,当a=16时，x=ll,y=l,即可判断.

【详解】解：A、当a=2时，方程组为

x-f-2y=-l@

t3x-y=4@，

①+②x2得：7x=7,

解得：x=l,

把x=l代入①得：y=-l,

贝I」xIy=l-l=O,

即方程的两根互为相反数,

0A选项不符合题意;

B.当x=2y时,原方程组可变为：｛2二为？

解得：Q=-5,

(3当且仅当Q=・5,时解得x为y的2倍;

团B选项不符合题意.

产-2y=a-3①

3x—y=2a@'

①+②x2得：7x=5a-3,

解乐x=手，y=-

la-942

0x-5y=^-5X——=一y=6,正确,

7

0C选项不符合题意;

D、由C可知：x=岁，丫=学

要使x为自然数，可得5a-3=7,14,21,...；同理a-9=7,14,21,

当a=16时，x=ll,y=l,

所以存在自然数a,使得x,y均为正整数,

团D选项符合题意;

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解.、二元一次方程的解.、解二元-一次方程组，解决本题的关键是掌

握二元一次方程的相关知识.

【题型3二元一次方程（组）的解的情况】

【例3】（2022•四川省欧县巡场中学校七年级期中）关于％,y的方程组|雪］?二二的解是整数，则整数a的

个数为（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】先解方程组求出小y的值，根据y和Q都是整数求出1+2。=一1或1+2。=5或1+2。=1或1+

2a=-5,求出a的值，再代入》求出入,再逐个判断即可;

2x-ay=6(1)

【详解】

4x+y=7@

①x2-②得：(—2a—l)y=5

解得：y=

把'=系代入②得：轨一羔=7

解得「二篝

v方程组的解为整数

均为整数

：•l+2a=-1或1+2Q=5或1+2a=1或1+2a=-5

解得:。=-1,2,0,—3,

当a=—l时，x=1,不是整数，舍去;

当a=2时，x=2,是整数，符合;

当a=0时，x=3,是整数，符合;

当a=-3时，x=l，不是整数，舍去;

故选：C.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解四方程组并且列出整数解的情况是求解本题

的关键.

【变式3-1］（2022•浙江杭州•七年级期中）若二元一次方程组{：二院19无解，则皿为（）

A.9B.6C.-6D.-9

【答案】B

【分析】根据二元一次方程组无解的问题可直接进行求解.

【详解】解：由仲-3y=才可得:

2x-y=l（2）

①-②x3得：（m—6）x=6>

团二元一次方程组无解，

回TH—6=0,解得：7H=6;

故选B.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元i次方程组的解法是解题的关键.

【变式3-2］（2022•全国•八年级单元测试）下列说法中正确的是（）

A.方程3x-4y=l可能无解

B.方程3x-4y=l有无数组解，即xy可以取任何数值

X=1（Y—

{y2（y-

D.x=3,y=2是方程3x.4y=l的一组解

【答案】D

【分析】根据二元一次方程是不定方程，有无数组解：能使方程成立的x,y的数值即是方程的解.反之，

则不是方程的解.

【详解】解：A、方程3x-4y=l有无数组解，错误；

B、方程3x-4y=l有无数组解，即x,y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错发；

C、方程3x-4y=l有无数组解，即x,y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；

D、x=3,y=2代入方程3x-4y=l,左边=1=右边，即x=3,y=2是方程3x-4y=l的一组解，正确.

故选：D.

【点睛】根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程；若不满足，则不是方程的

解.关键是会把x,y的值代入原方程验证二元一次方程的解.

【变式3-3］（2022•河南商丘•七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（）

A.5个B.6个C.7个D.无数个

【答案】C

【分析】将x=0,1,2,分别代入2计产13,求出二元一次方程2x+产13的非负整数解有多少组即可.

［详解］当A-0时,y=13；

当工=1时，产11；

当x=2时，>'=9：

当工=3时，>=7；

当x=4时，了5；

当x=5时，尸3；

当1=6时，尸1；

当x=7时,>'=-1<0；

团二元一次方程2x+y=13的非负整数解有1言弋二1,上;代"书M,｛二羽；二

共7组.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与），必须为非负整数.

【题型4二元一次方程组的一般解法】

【例4】（2022・云南•普洱市宁洱县勤先镇初级中学七年级期中）解方程组：

（i）ly=2x®

13y+2x=8@

J2x+3y=12ffi

（&-2y=-1②

【答案】布：;

<=2

【分析】（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得6%+2x=8,解得％的值，进而求得y的值即可

（2）利用加减消元法，将方程②x2,得2x-4y=-2③，然后与方程①相减即可求得），的值进而将），的

值代入方程②求得x的值即可.

（1）

（y=2x®

腑.（3y+2x=8@

将①代入②，得6%+2%=8,

解得x=1，

将x=1代入①，得y=2,

团原方程组的解为甘；

（2）

[2%+3y=12①

眸卜_2y…②

②x2,得2%-4y=-2③

①一③，得7y=14,

解得y=2,

将y=2代入②，得％-4=一1,

解得％=3,

团原方程组的解为[JZ2•

【点睛】本题考查了二元一•次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键.

【变式4-1]（2022•甘肃•金昌市金川区宁远中学匕年级期中）用适当的方法解下列方程组：

唱芯慧8

（3）用代入法解

⑷用加减法解偿二沈二；

【答案】⑴7

⑵I

⑶仁

【分析】（1）根据加减消元法求解即可；

（2）根据加减消元法求解即可；

（3）根据代入消元法的步骤求解即可；

（4）根据加减消元法的步骤求解即可；

（1）

①

"+y=20，

解：U+y=38@

由②-①，得：%=18,

将％=18代入①，得：18+y=20,

解得：y=2,

故原方程组的解为：

(2)

解.[工一，=3①

肿.(3x_8y=14②

由3x(J)-②，得：5y=—5,

解得：y=-1»

将y=-l代入①，得：x-(-1)=3»

解得：x=2,

故原方程如的解为：

(3)

[3%+4y=9①

*卜_3y=_10②

由②得：x=3y-10@.

将③代入①，得：3(3y-10)+4y=9,

解得：y=3,

将y=3代入③，得：x=3x3-10=—1,

故原方程组的解为：｛；

(4)

(7x-2y=-40@

眸[Sx_3y=-50©

由3x①-2x②，得：5x=-20,

解得：x=-4,

将《二-4代入①，得：7x(-4)-2y=-40,

解得：y=6,

故原方程组的解为：

【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题关键.

【变式4-2](2022・湖南•郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习)解方程组

=2x

(12%=8;

+3y=7

-3y=15

3y=-2

+y=3；

mn-

-------=2

(4)52

2(m+n+5)-(一m+n)=23

【答案】哨二;

=4

=1

=1

=1

⑷仁2

【分析】（1）利用代入法解方程组；

（2）利用加减法解方程组；

（3）利用代入法解方程组；

（4）先将方程组化简，再利用加减法解方程组.

（1）

fy=2x0

解.13y+2x=8②

将①代入②，得6x+2x=8,

解得x=l，

将1=1代入①，得卢2,

团方程组的解为［二:；

（2）

x+3y=7①

x-3y=1@T

①+②得，2V=8,

解得x=4,

将1=4代入①,得4+3卢7,

解得尸1,

回方程组的解为t二:;

(3)

x-3y=-2①

.2x+y=3②’

由①得，x=3y-2③，

将③代入②得，2(3y-2)+尸3,

解得y=l,

将y=l代入③，得x=3-2=l,

团方程组的解为tz:；

(4)

将原方程组化简为12加-5n=2°®,

3m+n=13(2)

①+②x5,得17加=85,

解得〃?=5,

将加=5代入②，得15+/?=13,

解得n=-2,

回方程组的解为｛Mg.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减注，并能根据

每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.

【变式4-3](2022•河南商丘•七年级期末)解下列方程组：

3x-y=5

，-1=3%+10

x+7y=2

(2)x+y_x-y

【答案】⑴；“

【分析】(1)先整理方程组，再用加减消元法进行求解:

(2)先整理方程，再用加减消元法进行求解.

(1)

3x-y=5①

解：整理得:

-3x4-5y=11(2)

①+②得：4v=16,

把产4代入①得：3.v-4=5

回原方程组的解为：1I：.

x+7y=2①

解：整理得:

x+2y=-3②

①•②得：5产5

产1

把广1代入①得：A+7-2

x=-5

回原方程组的解为"1s.

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的思想是解题的关

键.

【题型5整体换元求解二元一次方程组的解】

【例5】（2022•全国•八年级课时练习）已知关于X、），的二元一次方程组二;的解为那么

a(771+九)+b(m—n)=7

关干〃?、〃的二元一次方程组

b(ni+n)+a(m-n)=9

m=-

【答案】1

【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到〃，+〃与“L〃的值，然后解关于根、〃的方程组即可求解.

【洋解】解：联于X、丁的二元一次方程组｛晨:［二;的解为3鹫，

a(jn+72)4-b(m-n)=7,cm+n=2

团关于〃?、〃的二元一次方程组b(m+n)+a(m-n)=9tm-n=3

m=7

团解这个关于〃?、〃的方程组得:

n=——1

\m=-

故答案为|

（n=-5

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力

要求比较高.

【变式5-1]（2022•河北石家庄•七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x,y满足x+2y=5,且

产以5rlp求加的值."的解题思路时,甲同学说；"可以先解关于4,y的方程组产

再求m的值.”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、因同学的解

题思路如下.

乙同学：先将方程组产5T3中的两个方程相加，再求加的值；

（LX十5y=o

丙同学：先解方程组,再求m的值.

十jy一0

你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理

由.

【答案】我最欣赏乙同学的解法，m=4,理由见解析

【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出m的值，分析简便的原因.

【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，

3x+7y=5m-3①

2x+3y=8@

①+②得：5x+10y=5m+5,

整理得：x+2y=m+1,

代入％+2y=5得：m+1=5,

解得：m=4,

这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解

题的关键.消元的方法有：代人消元法与加减消元法.

【变式5-2]（2022・重庆・巴川初级中学校七年级期中）已知关于x,），的方程组卜-2y=8-9：的解满

（2x-y=4-5k

足%-y=10,则〃的值为.

【答案】-3

【分析】把二元一次方程组中的两个方程相加即可求得x一），的值，然后利用x-y=10即可得出答案.

x-2y=8-k(\)

【详解】

2x—y=4-Sk②

由①+②得3%-3y=12-6k,

x-y=4-2k,

0x-y=10,

04-2/c=10,

解得k=-3.

【点睛】本题主要考查一元二次方程组解法中的加减消元思想，熟练掌握一元二次方程组的解法是解题的

关键.

【变式5-3］（2022•全国•七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组.

'x-y-l=0①

材料：解方程组

4(x-y)-y=5@.

由①，得x-y=l.③

把③代入②，得4x1—y=5,解得y=-l.

把¥=—1代入③，得x=0.

团原方程组的解为真:

这种方法称为“整体代入法〃.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组:

（2x-3y-2=0©

㈣』2y=9②.

【答案】仁：

【详解】试题分析：由第一个方程求出〃-3），的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确

定出方程组的解.

试题解析：解:由①，得：2x-3y=2.（3）

把③代入②，得：卓+2y=9,解得：y=4.

把y=4代入③，得2x—3x4=2,解得：x=7.

团原方程组的解为后二\.

点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

【题型6构建二元一次方程组】

【例6】（2019•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）如果（x+y-5）2与|3y-2x+10|互为相反数，那么x、y的值为

()

A.x=3,y=2B.x=2,y=3C.x=0,y=5D.x=5,y=0

【答案】D

【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关于x、y的二元一

次方程组，解方程组即可.

【详解】(3(x+v-5)2与|3v-2x+10|互为相反数，

0(x4-y-5)2+|3y-2x+lO|=O,

(x+y-5=0

0(3y-2x+10=0*

解献;蓝，

故选D.

【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知识，熟练掌握和灵活运用相关

知识是解题的关键.

【变式6-1](2022•吉林松原•七年级期中)已知y=kx+b,当x=2时，，y=-3；当％=—1时，y=3.

(1)求匕b的值;

(2)当不取何值时，y的值为一4?

【答案】(1)k=-2,b=l；(2)x=1.

【分析】(1)根据待定系数法计算即可；

(2)根据已知条件列出等式计算即可;

【详解】(1)由题意可得，f2/c??,=7?>

I-/c+D=3

可得：y=二2；

Ib=1

(2)由(1)得y=-2x+1,

(3y的值为-4,

0—4=—2x+1,

既=|;

【点睛】本题主要考杳了二元一次方程组与一次函数的综合，准确计算是解题的关健.

【变式6-2](2022•浙江・兰溪市实脸中学七年级阶段练习)对于实数a、b,定义关于"㊈〃的一种运算：a⑥b=

2a+b,例如103=2x1+3=5.

（1）求48（-3）的值;

（2）若比（8）（-、）=-2,（2y）0x=-1,求x+y的值.

【答案】（1）5；（2）x+y=-1

【分析】（1）利用题目中的新定义进行计算即可；

（2）根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可.

【详解】解：（1）根据题中的新定义得：

原式=2X4+（-3）=8-3=5；

故答案为：5.

（2）根据题中的新定义化简得：

两式相加得：3%+3y=-3,

则%+y=-1.

故答案为：一1.

【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题FI的意思来进行计算即

可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.

【变式6-3]（2022・山东聊城•七年级期中）已知〃、人都是有理数，观察表中的运算，则〃?=.

。、〃的运算a~\~ba-b(a+2A)3

运算的结果59m

【答案】27

【分析】先根据表格得出方程组{:}:二g，求出方程组的解，再代入m=（a+2b＞求出〃?即可.

【详解】解：根据题意得:(a+b=5

—A=9'

解得仁

0m=(a+2b)3=[7+2x(-2)肚=27；

故答案为：27.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组和代数式求值，理解题意并列出二元一次方程组求出。、〃的值是解

此题的关键.

【题型7二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】

【例7】（2022•广东揭阳•八年级期末）若关于的二元一次方程组二蒙」:的解满足x+y=7,

则A的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用加减法，先用含k的代数式表示出x+y,根据x+y=7,得到关于k的一元一次方程，求解即可.

%+2y=5k+1(I)

【详解】解:

,x-y=2k—5(2)

(1)x2+(2),得3x+3y=12k-3,

0x+y=4k-l,

04k-l=7,解得k=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x+y.

【变式7・1】（2022•全国•七年级课时练习）关于x,y的方程组［丫=一的解也是二元一次方

3x+2y=21—5m

程x+3y+7m=20的解，则m的值是（）

2

A.2B.1C.0D.

2

【答案】A

【分析】先解方程组用含机的代数式表示出％,y后，代入二元一次方程x+3y+7阳=20,可得到关于小的

一元一次方程，求解即可.

(_85-23m

2x-3y=11-4m得「?

【详解】解方程组

18V-4m

.3x+2y=21-5m\y=—^

把y代入二元一次方程x