同济大学高数(上)03-10期末试卷答案相对详细版

2003级高等数学（A）（上）期末试卷答案

一、单项选择题(每小题4分，共16分)1.C2.B3.D4.C

二、(每小题3分，共18分)1./；2.一一——2sinx/叱幻；3.a>2；

x+1

2x

4.(—2,0)U(2,-Foo),(—00,—2)U(0,2)；5.(2,2e")；6.C(+(C2+C3x)e~

三、(每小题6分，共36分)

xarctanx1八11Al一

I•—/—I—/+C；2.----------tanx—tanx+C；

V177V1T74cos4x124

i34

3.----c；4.—产；5.—2；6.解为y?=x2(ln|x\+C)。

22V3

四、所求特解丁=2/-2/'+(/+2%把\五、V=-.六、rn=­p.

233

七、由/(x)=/(o)+/w+-r(^u2=r(o)x+!/〃(〃)/⑺在o与％之间)知

22

rf(x)dx=rmo)x+^fx?j)x2]dx=^ar^dx；又因/〃$c,所以/"在

J-aJ-a22J-0

[一a,a]上存在最大值M和最小值)，于是加一WMx：(xe[—a,。]),所以

fmx2dx<ffn(7])x2dx<fMx2dx^>—a3m<[fn(?])x2dx<-a^M，由推广的积

J-aJ-aJ-a3J-a3

分中值定理知，*wj,a]使得，J'S)/公/⑹，即=

Note：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数F(x)=「/⑺力，原问题等价于证:

Ja

3

3^G[-a,«],使/(。)=]尸(§).

04-05-2高等数学（工科）期末试卷答案

3

一.填空题1.0,一;3.4e-1;4.1;5.3

2品

二.单项选择题1.A;2.B;3.D;4.C.

三.

彳后T..ln(cosx)+x211cosx-11

1.原式:hmq----7----=-+-lim

1。3x23310~6

2.2x+2yyf-y^'-yexy(y+xyf)=0

将点(0,2)代入得y〈0)=1y=1x+2(或4x-3y+6=0)

3.原式=y|Jsinx|cosA|dr=^JJsinxcosxcLv=-y

4.原式=一，arctanxi-_H-_____—k=-

x2I,LX2(1+X2)J81+/严2

2

Y

5.原方程的通解为y=Gcosx+Gsinx+x--cosx,利用初值条件可求得

x

G=1,C=-1,原问题的解为y=cosx-sinx+x——cosx

22

四.

V(Z)=4J：(inx)2dx+)「(1-(inx)2)dx=^(2r(lnr)2-4rIn/+3/-2)

_L(JL、

令Vr(r)=^-(2(lnr)2-l)=0,得/=e&,且V"e&>0

\/

1

因此f=e&是v(f)在「e］上的唯一的极小值点，再由问题的实际意义知必存在最小体积，

I

故4=e71是最小值点.

五.设2=匕原不等式等价于inf>生二D,t>l,即等价于

ar+1

/0=(r+l)lnr-2(r-l)>O,t>\

/O)=0,n)=lnr+；-l,*)=0

/ff(r)=l-A>0,t>l，且等号当且仅当/=1时成立

因此/'(/)单增，/'(。>/'(1)=0,从而/(，)单增，/(。>/(1)=0,原不等式

得证.

六.由题设知/(0)=-1,

所给方程可变形(x+l)/'(x)+(/+1)/(6-£7(r)dr=0

两端对K求导并整理得(x+l)/ff(x)+(x+2)/'(x)=0

这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得了'(%)二生:

1+x

由于尸(0)二-1,得。=T,/V)="-<0,f(x)单减，而/(o)=l,所以当XN0

1+x

时，对r(x)=--<0在［o,x］上进行积分

1+x

t/

/(x)=/(O)-fo-^d/>l-£'edre

七.记F(x)=£/(/>，则尸但在［-1,1］上可导,且F(-l)=F(l)=0

若F(x)在(一1,1)内无零点,不妨设F(x)>0,xe(-l,l)

0=j'/(x)tanxdx=j'tanxdF(x)=F(x)tan乂\-J：F(x)sec2xdx=-J：F(x)sec2xdx<0

此矛盾说明尸(r)在(-1,1)内至少存在一个零点%,

对尸(x)在［—1,%］,卜,1］上分别使用Rolle定理知存在&e(-l,x0),生€(//)，使得

产,低)=/(&)=0,即/fe)=/(<2)=0

高等数学05-06-2(A、B)期末试卷参考答案

填空题

1(3).—；2(1).—X—1；3(4).---------；4(6).sinXH-----：5.ed—：6(8).0；

32x(l+lny)\-n3

7(2),「川+"dx：8(9).-1,-2；9(7).非充分非必要。

x

计算下列各题

1.令炉-2=〃,/(x)=5J；sin4d〃，/z(x)=xsin|x|

2.★&［▲小\3+“-d4e%

Je+4Je+4+4228」l+4e

1e-t］

=-arctan-,iln(l+4e-)+C

3(4).:xVsin2x-sin4xdx=y|cosx|sinxdr=乃Jjcosxsinxdx=g

-+—4--+一!—<f—!—dx=Inyjln-X,右边关于％=1,2,…,〃相加得:

352/1-12x-l

1+-+—+•••+-!—>［，，+1-!-dr=In>/2n+i,所以

352n-\J12X-1

Inyj2H+1<1H—F_+•••H---------<1+InJ2/1-1

352n-\

Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证

2006级高等数学(A)(上)期末试卷答案

371

—.1.-；2.y=3x—7；3.(-1,0)：4.e'：5.一；6-;7.KC:8.V=XH—;

32Ie

9.y"-4y'+3y=0。

二.1.-(arccosVx)+C2.47r3.-In24.—

2

三.S=ln(l+啦)一日四.x

1.y2=Ccsc2x+—sinx2-.y=sinx+x—cosx

32

71

五./max=/(-1)=-e2+-e-2

max1/44

六.证：/(3)=0,六%)=八3)(1-3)+弓2(1-3)2,”(2,4),由于广(x)在［2,4］

上连续，/"(X)在［2,4］上存在最大值M和最小值〃z,故

y(X-3)2<^^(X-3)2<y(X-3)2,从而

/WJ,f(x)dx=/'(3)J2(x-3)dx+：JJ"S)(*_3)2dx<曰,

即〃注3j；/(x)drKM,由介值定理知至少存在一点火［2,4］,使得/〃(幻=3j；/(x)dr

Note：还有别的解法。参见03年的第七题。

2007级高等数学(A)(上)期末试卷答案

—1.111,V

一.1.e~；2.xx—sm-------7cos—Inxdr；3.-1；4.x+y=e2；

Jxx~x)

6.(l,e-2),y=0；7.华；8.472；

9.Arcosx+Rtsinx

二.10.J11.xarctan(l+&)—五+ln(x+2五+2)+C；12。一ge

三（1）/（x）不是/（幻在（一8,+8）内的一个原函数，因为尸（0）=（0-0）=0

-ex2+C,x>0

2

尸（X）在（-8,+00）内不连续.（2）j/(x)dx=-

—X2H---FC,X<0

,22

四.lim华=1五.y=Cesinr-2(l+sinx)

六.由已知条件知/"(x)+/(x)=2e*，解出/(x)=sinx-cosx+e，,

'g(x)

从而可求出J。?

、1+x

Note：求积分时'可采取保持一人不动（比如震不动），然后让另一个等价变形（朝着

保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。

W22

七.(1)S(a)=5](a)+52(a)=J(ar-x)dx4-J\x-cix)6x=-———+—

。“323

s（3=l是最小值,⑵匕=弟

„g一人2ri,/、1(cosX2COS(五+1)2、1f(X+1)2COSu,

A.提ZK：令〃=/，则/(%)=---------------——-------L-J=dw

2(xx+1)4及收

11、1r(x+i)21.

—+----+—2-j=d〃

Xx+1J4J，必x

08-09-2高数（AB）期末A参考答案

填空题

1,函数F(x)=「(奏—2)由*>0)的单调增加区间为(0,：)；

xarctan(a¥)dx

2.己知lim'-----------------=1,则。=3；

/->o~

3.曲线y=V—6f+3x+5的拐点是(2,-5)；

v'14

4.曲线y=3(2+幻2的斜渐近线的方程是§；

5.二阶常系数线性非齐次微分方程y〃+y'-6y=5e?x的特解形式是歹=2贮；

6.设6是常数，若对Vx>0,有［Jnrdf=xln(与)，则0=：；

7.sinxax=—7r；

Jo4

8.设/(x)是连续函数，且/(%)=5由工+「/(%)出，则［/(外口二^--

9.设/(x)=J：cos产df,则，/(x)dr=-gsinl

按要求计算下列各题

fvsinI3.rrsinZ3.

----d1----dr3。

Jo”Jo2sinx2

10.Iim-----t----=2hm-----t---=—hm——r—=—

soMl-cosx)I。x31。x3

224222

11.jo(xV4-x+(x-1)sin(x-1)jdr=xV4-xdx=4jJsin2/dz(x=sinZ)

=71

12.Jj(ff(x)dx=xf(x)_j/(x)dx=x((l+sinx)Inx)'-(1+sinx)lnx+G

=sinx+(xcosx-l-sinx)lnx+C

x+sinx

13.由p(0)=/(0)得c=2,由〃'(0)=/'(0)得人=+1+x2

x=0

/、

nL”小、,“〃、、3-24-cosx2x(x-sinx)今3

=0,由p〃(0)=/"(0)得2〃=--,-----7——=3,

1+x八；)2

三(15).齐次微分方程y.+y=0的通解为)，=C；cosx+C2sinx,非齐次微分方程

/+y=sinx+2ex的一个特解为y*1于是原微分方程的通解为

Y]X

A

y=C1cosx+Gsinx——cosx+e"代入初始条件得y=——sinx——cosx+e

四(16).-£/(r)df=V/(O)/(x),x>0,J；/«)dr=R〃(O)/(x)，等式两端对

22---dz11

■x求导，记/(x)=y,y'+—y=—,----y2»y2=z,-----Z=----

%W(°)心4xV7(0)

/⑼

/«=

(i+c77(o)x)2

五(17).(1)设2(8,然)，以二寸，切线方程)，一年二2々。一看)，切线过6(±()],

\nJ

2”4〃k

解得玉=一,"==£=%=21——

nnnJn

(2)lim-^5,=2liml--l^-=2['(l-x)x2ck=-

njn2J。6

六(18).—1vIn(1+设f(x)=ln(l+x)—%+耳工2

i2

当x>0时，f(x)=-----l+x=——>0,/(V2)=ln(l+V2)-x/2+1>/(0)=0

1+x1+x

七(19).法i：ya)dx|=Qa)d(f=(x-w(端-於-i)ra)dr

粒赠，(刈=赠/(刈

法2:J：/⑴心=J；f(x)口+{"(x)dx

对j：/(x)dr,/(x)=/(0)+re)x,再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。

对J：/a)dA,f(x)=f(2)+fXij)(x-2)t再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放

缩。

法3:(函数的观点，将J：/(x)dx是某个函数在一些定点处的取值，比如令

F(x)=j,将F(x)分别在/=1和工0=2处一阶Taylor展开(带Lagrange余

项，即尸(乃=尸(陶)+尸'(％)3-%)十£^。一/)2，4介于工和/间)，然后在所得

两式中都取x=l,再做相应的运算。

Note：构造函数的方法也不是唯一的。

09-10・2高数(AB)期末A卷参考答案

1.R\Z，(l,+oo)；2.-13._y=—x—；4.2；5.0：

2

6.2arcsin>/x+C；7.e-1；8.孙"+2y’一切=0；9.—.

--------------------------------------------------------------------7T

--按要求计算下列各题

jx_j|smxdcotx=-cotxlnsinx+j(esc2x-ljdx

10.Insinn

=-cotxlnsinx-cotx-x+Co

f+8dxx-y山乃

Jo977=—arctan-I

L0+7)五-23310y

cos(sinx)-cosx..-4.sinx-x.sinx+x

12.hm--------------=hm—sin-------sin-------

J。x~(l-cosx)iox22

..x-sinxsinx+x_1-cosx1

=lim----------------=2lim----；—二—。

z。x3x103厂3

13.广必心必-2仃dlanx

J。2+cos2xJ。1+2COS2Xl+2cos2x」。3+tan2x

14.J：/(x)dx=J：f(x)d(x-1)=(x-l)/(x)|o-£(x-l)arcsin(x-I)2dr

=--(x-1)2arcsin(x2

2-1)1|{0J+J[(>'7J1-"(x-l)4=-4--2

三(15).方程的通解为y=G+Ge2'—；。2+%)+3比2\

根据初值条件得G=G=g，于是特解为y=g—：(%2+x)+g(l+x)e2"

四(16).

解方程切*'(幻=fM+3/,得通解/(x)=cx+3x2,

由题设得£卜1+3丁)心=2,于是c=2,/(X)=2X+3X2O

V=2万]；(212+3x3)dr<

j.29rr2—1

五(17).设/(幻=二-m(1+/)一〃，令/，*)=x、=工2—=o,得唯一驻

21+x2r+\

点x=0,当一l<x<0时，/f(x)>0,当0<x<l时，f\x)<0，因此

£m=/(0)=—。>0，£nin=/(±D=；—ln2—a<0，即常数〃的取值范围是:

--ln2<a<0o

2

六(18).,v7<1，不等式两边对x积分，得

J1+2F(%)

y/l+2F(x)-1Kx,即f(x)</1+2[=y]\+2F(x)<\+x

七(19).(1)记F(x)=£7(0dr+J：=£v(/(r)-/(-r))dr,尸在［0,/］上可导,

产(0)=0,由Lagrange中值定理得知，3^e(0,l),使得

F(x)=xF\ex),止匕即/⑺出+J。'/⑺W=x［f(0x)-f(-0x)］。

(2)----------；---------=“--------------1---------------,

X2\Ox-Ox)

jf(/)dr4-Jf(t)dtf(x)-f(-x)

2r(0)lim0=lim-----------------=lim八)八)

XT。'xWx~XT0’2X

二0lim[△必二.+/（一4）一/⑼]二,（0）,由于尸（0）工0,所以limO=，。

2x”（冗—x）x-＞（r2

10/1级高等数学（A）（上）期末试卷答案

一。填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

e""；2.y=x+l；3.y=2x；4.6；5.—2M,(/?—1)!；6.—1；7.—44；

8._2；9.xy=l.

3

二.（本题共4小题，每小题7分，满分28分）

3,(sinx-sin(sinx))sinxsinx-sin(sinx)…./-sinz1

10.解lim--------------r------=21im=21im-----=-

XTO1-cosx(sinx)3一。f3

।2।

r+811r+8J_____2a

解------dr=-fd(x)=-\n^-T\r=-\n2.

2J|222l+x2M2

JiX(1+X)2xl+x7

解「sin(lnx)dx=J；e'sinfd/=ge'(sin，-cosf)|；=g(e(sinl~cos1)+1).

12.

1dx=lfccxdtanx=lsecx4fccxdx

13.解ch=-J,SS

Jsinzxcosx2Jsinxcos-x2J22J

1x+C(或=」secx+gln|cscx-cotx|+C).

—secx+-Intan