2024年九年级数学下册 第30章 二次函数30.2二次函数的图像与性质 4二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质教案（新版）冀教版

2024年九年级数学下册第30章二次函数30.2二次函数的图像与性质4二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质教案（新版）冀教版课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教学内容2024年九年级数学下册第30章“二次函数”的30.2节，主要探讨二次函数y=a(x-h)^2+k的图像与性质。本节课将围绕以下内容展开：

1.二次函数y=a(x-h)^2+k的标准形式及其图像特点。

2.a、h、k对二次函数图像的影响：

（1）a的符号与图像的开口方向及大小关系；

（2）h的数值与图像的左右平移关系；

（3）k的数值与图像的上下平移关系。

3.二次函数图像的顶点坐标、对称轴及与坐标轴的交点。

4.二次函数的增减性、极值问题及其在实际问题中的应用。二、核心素养目标1.理解与掌握：使学生理解二次函数y=a(x-h)^2+k的图像与性质，掌握图像的平移、伸缩及对称性，提升空间想象力。

2.分析与推理：培养学生通过分析a、h、k的取值，推理二次函数图像变化的能力，增强逻辑思维能力。

3.应用与创新：使学生能将二次函数性质应用于实际问题，培养解决实际问题的能力，激发创新意识。

4.数学表达与交流：提高学生运用数学语言描述二次函数图像性质的能力，加强团队协作与交流表达技巧。

5.问题解决：培养学生运用二次函数知识解决综合问题的能力，形成批判性思维和解决问题的策略。三、学情分析本节课面向的是九年级学生，经过前期的数学学习，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。以下从学生层次、知识、能力、素质及行为习惯等方面进行分析：

1.学生层次：九年级学生正处于青春期，个性鲜明，学习兴趣和动机存在差异。部分学生对数学有较高的兴趣和热情，求知欲强；另一部分学生对数学学习存在一定程度的恐惧和排斥，学习积极性不高。

2.知识方面：学生在之前的学习中已经接触过一次函数、不等式等内容，具备一定的函数基础。但对于二次函数，尤其是图像与性质的部分，可能还缺乏深入的理解和掌握。

3.能力方面：大部分学生具备一定的逻辑推理和分析能力，能够通过观察、分析、总结二次函数的图像性质。但部分学生在解决实际问题时，可能难以将所学知识灵活运用。

4.素质方面：学生在团队合作、沟通交流方面表现不一。部分学生善于表达、乐于分享，能够积极参与课堂讨论；另一部分学生较为内向，不善于主动发言，课堂参与度较低。

5.行为习惯：九年级学生面临中考压力，学习任务繁重，可能导致部分学生形成被动学习的习惯。此外，学生在时间管理、学习方法等方面也存在一定问题，这些都会对课程学习产生影响。

具体影响如下：

1.学生对二次函数图像与性质的理解和掌握程度，直接影响他们在解决实际问题时能否灵活运用相关知识。

2.学生的逻辑推理和分析能力，影响他们在探讨二次函数图像变化时的思考和判断。

3.学生的课堂参与度和沟通能力，影响课堂氛围和团队合作的效果。

4.学生的学习习惯和时间管理能力，影响他们对本节课内容的消化吸收和巩固提高。

针对以上学情分析，教师在本节课的教学过程中应关注以下几点：

1.注重激发学生的学习兴趣，引导他们积极参与课堂活动，提高课堂氛围。

2.针对不同层次的学生，设计难易适度的教学活动，使每个学生都能在课堂上获得成就感。

3.加强对学生的引导和启发，培养他们的逻辑推理和分析能力。

4.创设多样化的教学情境，让学生在实际问题中感受二次函数图像与性质的应用。

5.关注学生的学习方法和时间管理，提高他们的学习效率。

6.注重培养学生的团队合作精神和沟通能力，提高课堂效果。四、教学方法与手段1.教学方法：

（1）讲授法：结合二次函数图像与性质的内容，以生动的语言和形象的比喻，为学生讲解二次函数的基本概念、图像特点及性质。通过讲解，使学生系统掌握二次函数的相关知识。

（2）讨论法：针对二次函数图像与性质的重点、难点，组织学生进行小组讨论，鼓励他们发表自己的观点，培养学生的逻辑思维和表达能力。同时，通过讨论，促进学生之间的交流与合作。

（3）实验法：利用教学软件或实物模型，让学生亲自动手操作，观察二次函数图像的变化，从而加深对二次函数图像性质的理解。

2.教学手段：

（1）多媒体设备：运用多媒体设备，如投影仪、计算机等，展示二次函数图像的动态变化过程，使抽象的数学概念变得直观、形象，提高学生的学习兴趣。

（2）教学软件：利用数学教学软件（如几何画板、MathType等），绘制二次函数图像，便于学生观察和分析。同时，软件的实时计算功能有助于学生快速求解相关问题。

（3）网络资源：引导学生利用网络资源，查找与二次函数相关的实际问题，培养学生的信息素养和问题解决能力。

结合教学内容和学生特点，本节课的教学方法与手段旨在实现以下目标：

1.激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。

2.培养学生的逻辑思维、表达能力和团队合作精神。

3.增强学生对二次函数图像与性质的理解和掌握。

4.提高学生的实际问题解决能力，使数学学习与实际应用相结合。

5.提升教学效果和效率，为学生的后续学习奠定基础。五、教学流程1.导入新课（用时5分钟）

通过回顾一次函数的图像和性质，引出二次函数的概念。提出问题：“一次函数的图像是一条直线，那么二次函数的图像是怎样的呢？”激发学生的好奇心和求知欲，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲授（用时15分钟）

（1）讲解二次函数y=a(x-h)^2+k的标准形式，阐述a、h、k对图像的影响。结合实际例子，分析a、h、k取不同值时，图像的变化情况。

（2）以具体函数为例，如y=(x-1)^2+2，引导学生观察图像特点，总结二次函数图像的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。

（3）讲解二次函数的增减性及极值问题，强调其在实际问题中的应用。

3.实践活动（用时10分钟）

（1）利用教学软件，如几何画板，让学生亲自动手绘制二次函数图像，观察a、h、k对图像的影响，验证性质。

（2）分组讨论，让学生互相交流观察到的图像特点，总结规律。

（3）选取实际问题，如抛物线运动，让学生运用二次函数知识解决问题，体会数学在实际中的应用。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

（1）举例回答：给出具体二次函数，如y=2(x+3)^2-4，让学生分析其图像特点，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。

（2）讨论二次函数增减性及极值问题，如y=-2(x-1)^2+3的最大值和最小值。

（3）探讨实际问题中的应用，如给定一个二次函数，分析其在实际问题中的意义和价值。

5.总结回顾（用时5分钟）

通过本节课的学习，让学生明确二次函数y=a(x-h)^2+k的图像与性质，掌握图像的平移、伸缩及对称性。回顾本节课的重点、难点，强调二次函数在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

总用时：45分钟

本节课的教学流程注重启发式教学，通过导入、讲解、实践、讨论和总结等环节，使学生深入理解二次函数的图像与性质。同时，结合实际问题和现代化教学手段，提高学生的学习兴趣和参与度，培养他们的逻辑思维、分析能力和团队合作精神。六、教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学故事：介绍二次函数在数学发展史上的重要地位，如古希腊数学家丢番图对二次方程的研究，以及牛顿在物理学中运用二次函数解决抛物线运动问题的经典案例。

（2）科普读物：推荐一些关于二次函数图像与性质的科普读物，帮助学生更深入地理解二次函数在实际中的应用，如《数学之旅：探索二次函数的奥秘》等。

（3）数学游戏：设计一些与二次函数相关的数学游戏，如“抛物线挑战”、“二次方程解密”等，激发学生的学习兴趣，提高他们的动手操作能力。

2.拓展建议：

（1）鼓励学生阅读数学故事和科普读物，了解二次函数的发展历程和应用领域，培养他们的数学素养和科学精神。

（2）引导学生参与数学游戏，通过游戏的方式巩固二次函数图像与性质的知识，提高学生的实际操作能力和问题解决能力。

（3）组织学生进行小组研究性学习，选取与二次函数相关的研究课题，如“二次函数在建筑设计中的应用”、“二次函数与经济发展”等，培养学生的团队协作能力和创新思维。

（4）鼓励学生利用所学知识解决实际问题，如在生活中寻找抛物线运动实例，分析二次函数在其中的作用，将理论与实践相结合。

（5）指导学生进行课后练习，针对二次函数图像与性质的难点进行巩固，提高解题能力。七、典型例题讲解例题1：求二次函数y=2(x-3)^2+4的顶点坐标和对称轴。

解答：二次函数的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。由题意可知，h=3，k=4，因此顶点坐标为（3，4），对称轴为x=3。

例题2：已知二次函数y=-3(x+2)^2+5的图像，求其与x轴的交点坐标。

解答：令y=0，得到方程-3(x+2)^2+5=0。解得x=-2±√5/3，因此与x轴的交点坐标为（-2-√5/3，0）和（-2+√5/3，0）。

例题3：已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（1，-3），且过点（0，1），求二次函数的解析式。

解答：设二次函数解析式为y=a(x-1)^2-3。由于图像开口向上，a>0。将点（0，1）代入方程，得到1=a(0-1)^2-3，解得a=4。因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)^2-3。

例题4：已知二次函数y=x^2-6x+9，求其最大值和最小值。

解答：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k。由题意可知，a=1，h=3，k=0。因为a>0，所以图像开口向上，顶点（h，k）为最小值点。因此，最小值为y=0，当x=3时取得。最大值不存在。

例题5：已知二次函数y=-5(x-2)^2+15，求其在x=3时的增减性。

解答：二次函数的对称轴为x=2。当x<2时，二次函数递增；当x>2时，二次函数递减。因此，在x=3时，函数值相对于x=2时的函数值是递减的。

补充和说明：

1.求顶点坐标和对称轴：对于二次函数y=a(x-h)^2+k，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

2.求与x轴的交点坐标：令二次函数y=a(x-h)^2+k中的y=0，解得x的值，即可得到与x轴的交点坐标。

3.求二次函数解析式：根据图像的开口方向、顶点坐标和过某点的条件，设出二次函数解析式，代入求解。

4.求最值：对于开口向上的二次函数，顶点处为最小值；开口向下的二次函数，顶点处为最大值。

5.增减性：根据对称轴和图像开口方向，判断二次函数在给定区间的增减性。八、板书设计①二次函数y=a(x-h)^2+k的标准形式及其图像特点。

②a、h、k对二次函数图像的影响：

a的符号与图像的开口方向及大小关系；

h的数值与图像的左右平移关系；

k的数值与图像的上下平移关系。

③二次函数图像的顶点坐标、对称轴及与坐标轴的交点。

④二次函数的增减性、极值问题及其在实际问题中的应用。

2.简洁明了：

通过使用简洁的语言和符号，突出重点知识，避免冗余和复杂表述。例如，使用图形和颜色突出关键概念，使用箭头和流程图展示解题步骤。

3.艺术性和趣味性：

①利用彩色粉笔或白板笔绘