高一立体几何初步单元测试试题

高一立体几何初步单元测试试题第I卷（选择题）一、单选题1．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的周长为 D．四边形的面积为【答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即B错误；还原平面图为下图，即，即A错误；过C作CF⊥AB，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C错误；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：D2．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，问题转化为在上找一点，使最短，作关于的对称点，连接，令与交于点，则得的最小值就是为．故选：A3．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中平面BCD，，且，则鳖臑外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，取的中点为，连接，可证为三棱锥外接球的球心，故可求外接球的表面积.【详解】如图，取的中点为，连接，因为平面BCD，平面，故，同理.因为的中点为，故.而，平面，故平面，而平面，故，故，所以为三棱锥外接球的球心，又，故，所以，故三棱锥外接球半径为，故其外接球的表面积为.故选：C.4．在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设为的中点，证明平面，根据球的截面性质确定交线的形状，结合弧长公式求交线长.【详解】设为的中点，连接，因为，为等边三角形，所以，因为，，，平面，所以平面，所以以为球心，为半径的球面与平面的交线为以为圆心的圆，由，可得交线即以为圆心，为半径的圆弧，设该圆弧与，分别相交于点M，N，因为，，所以，因为，所以所以，故交线长.故选：B.5．距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形．图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为6m，，，，点D在正四棱锥的斜高PH上，平面ABC且．不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意问题转化为求四棱锥体积与三棱柱体积再加一个小三棱锥体积之和，运用体积公式求解即可.【详解】设为正四棱锥底面中心，连接，则，，，取的中点，连接，过作于，则．在直角中．过作交于连接．则，所求体积故选：B6．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，，根据，得到为异面直线与所成的角求解.【详解】解：如图，取的中点，连接，.则，所以或其补角即为异面直线与所成的角，直三棱柱中，因为平面平面，且平面平面，，所以平面，平面，所以，依据题意，不妨设，则，，，所以，故选：C7．已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设正四面体棱长为，球半径为，计算得到，当截面过球心时，棱长最短，当截面时，棱长最长，分别计算棱长得到答案.【详解】设正四面体棱长为，球半径为，截面圆的半径为，则，则，设平面于，则是中心，且球心在上，连接并延长与交于点，连接，平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，则，，，则，解得，当截面过球心时，，此时棱长最短，故，；当截面时，棱长最长，此时，即，故，解得；综上所述：.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查了多面体的外接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中确定截面过球心时，棱长最短，截面时，棱长最长，再计算棱长是解题的关键.8．已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（

）A．l与α，β所成角相等 B．，C．，， D．，，【答案】C【分析】ABD可举出反例；C选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明.【详解】对于A，正方体中，设边长为，连接，则为与平面所成角，由勾股定理得到，故，同理可得和所成角的正弦值为，故与平面和所成角大小相等，但平面与平面不平行，故A错误；B选项，平面⊥平面，平面⊥平面，但平面与平面不平行，故B错误；对于C，由，得，又，所以，故C正确；对于D，l与m可同时平行于α与β的交线，故D错误．故选：C．二、多选题9．如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线BC与MP所成的最大角为45°C．不存在点P使得D．当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为【答案】AD【分析】对于A，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，先做出截面，再求其面积即可.【详解】点到平面的距离为为定值，又，所以，即三棱锥的体积为定值，故正确；设中点为，连接，则即为异面直线与所成的角在中，所以异面直线与所成的最小角为45°，故不正确；若为中点，则，所以，又，，所以平面，平面，所以，故不正确；取的中点，的中点，的中点，连接、、、、，所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为，故正确．故选：．10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为【答案】CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.【详解】A选项，圆柱的侧面积为，A选项错误.B选项，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，B选项错误.C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确.D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D选项正确.故选：CD11．如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则（

）A． B．平面平面FABC．直线EA与平面ABCD所成的角为 D．点E到平面ABF的距离为【答案】ACD【分析】根据多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形条件结合正方形的特点，可判断A选项，取中点，连接、，根据两平面的二面角可判断B选项，根据对称性找到平面的垂线，根据线面角的性质可求C选项，求点到面的距离转化为求三角形的高，可判断D选项.【详解】对于A选项，如图，由，，，为正三角形可得为正方形，故，故A正确；对于B选项，取中点为，在，中，由正三角形的性质可得，，，平面平面，平面，平面，则为二面角的平面角，由，，得，故B错误；对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱柱，连接，交点为正方形的中心，则平面，即为直线与平面所成的角，由，，得，故C正确；对于D选项，连接，在正方形可知，，平面，平面，，与相交，且平面，平面即为三棱锥的高，设点E到平面ABF的距离为，由几何关系可求得，，，，由可得，，代入数据解得，故D正确．故选：ACD.12．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（

）A．被截正方体的棱长为2B．被截去的一个四面体的体积为C．该二十四等边体的体积为D．该二十四等边体外接球的表面积为【答案】ACD【分析】由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点，即可得出A项；根据A项，可知四面体是三条侧棱两两垂直，即可得出三棱锥的体积，判断B项；根据B项的结果，以及正方体的体积公式，即可得出C项；设球心为，连结，取中点为，连结，构造，根据勾股定理，即可求出，即外接球的半径为，即可求出表面积得出D项.【详解】对于A项，由已知可推得，二十四等边体的各个顶点均为正方体各个棱的中点，如图1，则，所以，故A项正确；对于B项，如图1，由A知，四面体是三条侧棱两两垂直，且长度为的三棱锥，所以，故B项错误；对于C项，正方体的体积为，所以该二十四等边体的体积为，故C项正确；对于D项，如图2，设球心为，显然是正方体的中心，连结，取中点为，连结，因为分别是的中点，所以.又，，所以，在中，有，所以，所以，该二十四等边体外接球的半径，表面积为，故D项正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题13．长方体ABCD－A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________．【答案】【分析】把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示，求解即可.【详解】把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为.故答案为：.14．已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为__________.【答案】【分析】根据正余弦定理可得的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为，所以，即，所以的外接圆半径为，在直三棱柱中，，设球的半径为，则，因此球的体积为．故答案为：.15．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为___________.【答案】【分析】先确定四棱锥为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线上，由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解.【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台，直线与直线的交点为P，所以四棱锥为正四棱锥，得平面，四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接BO，设该外接球的半径为R，由，，所以，则，即，解得，则四棱锥外接球的体积为.故答案为：.16．在三棱锥中，平面平面，是等边三角形且，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若球的体积为，则三棱锥体积的最大值为______.【答案】【分析】先利用条件求出球的半径和外接圆的半径，由条件知，要使三棱锥体积取到最大值，则点在底面上的投影为的中点，再利用球的截面圆的性质建立等量关系，从而求到底面的最大距离，进而求出最大体积.【详解】设球的，因为球的体积为，所以，得到如图，设的外接圆的圆心为，外接圆的半径为，球心为，又因为是等边三角形且，由正弦定理知，，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质知，点在底面上的投影在上，因为三棱锥的四个顶点都在球的球面上，要使三棱锥体积取到最大值，则点在底面上的投影为的中点，连接并延长交于，连，因为为等边三角形，所以为的中点，即有面，又易知平面，所以,易知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，过作面于，由球的截面圆的性质知，点在上，所以所以四边形为矩形，故，在等边三角形中，，所以，所以，故所以三棱锥体积的最大值为，故答案为：.四、解答题17．空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.(1)求；(2)求证：EH，FG，BD三线共点．【答案】(1)AH∶HD＝3∶1.(2)证明见解析【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面ACD，再由可得答案：（2）先证明四边形EFGH为梯形，设，则根据平面的性质可得答案．【详解】（1）∵，，又平面ACD，平面ACD，平面ACD，∵平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，，又，，∴，即：（2）∵，且，，∴，∴四边形EFGH为梯形，设，则，而平面ABD，，平面BCD，平面平面BCD＝BD，∴，∴EH，FG，BD三线共点．18．如图，已知三棱柱，平面平面，，，，、分别是、的中点．(1)证明：；(2)若求的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连结，根据，平面平面，得到平面ABC，进而得到，再由三棱柱的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理证明；（2）由（1）知：平面ABC，然后由求解.【详解】（1）如图所示，连结，在等边中，，则，因为平面平面，且平面平面，平面，由面面垂直的性质定理可得：平面ABC，又平面ABC，所以，由三棱柱的性质可知，而，故，又平面，平面，且，所以平面，结合平面，故.（2）由（1）知：平面ABC，则为三棱柱的高，又，，，所以，所以.19．三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点．(1)求证：直线平面；(2)若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一，根据中位线可得线线平行，证明面面平行再证线面平行，法二，作出辅助线，证明，即可得证；（2）根据线面平行可得，由等体积法求解.【详解】（1）在三棱柱中，，取中点F，连接DF，EF，∵D和E分别是和的中点，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面，∴面//平面，而面DEF，故直线//平面．法二，连接CE交于点G，连接CD交于点H，连接HG，如图，在三棱柱中，，，∴，，∴，则，又面，面，∴直线平面.（2）如图，∵直线//平面，∴，又，所以平行四边形边上的高，由B到面的高，则.20．如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点．(1)求证：⊥平面；(2)求证：平面；(3)求和平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)．【分析】（1）由线面垂直得到⊥，结合，由线面垂直的判定定理得到结论；（2）作出辅助线，由三角形的中位线定理得到线线平行，从而证明线面平行；（3）由（1）得到AC和平面ABE所成的角，求出边长，直接解直角三角形可得结论．【详解】（1）因为⊥平面，平面，所以⊥，又由，而，平面，故⊥平面；（2）连接交于M，连接，由点F为线段的中点，可得，而平面，平面，故平面；（3）由（1）知，平面，即为和平面所成的角．由已知，，，在直角三角形中，可得，即和平面所成角的正弦值为．21．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.(1)画出平面四边形的平面图，并计算其面积；(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.【答案】(1)平面图见解析，面积为(2)几何体的体积为，表面积为【分析】（1）设与交点为，在中，求出，，即可得出答案；（2）先求出，.然后根据题意可推得旋转形成的几何