专题02直线与平面位置关系的证明(原卷版)

专题02直线与平面位置关系的证明【必备知识点】一.平行关系的判定与性质推论推论平行关系直线与平面平行平面与平面平行判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号语言：一条直线和一个平面平行,则过这直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号语言：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.符号语言：垂直同一条直线的两个平面平行.符号语言：.(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)如果两个平面平行,则其中一个平面内的任意直线都平行另一个平面.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于三个平面,那么这两个平面相互平行.性质判定性质二.证明线面平行的常用方法1.利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点2.利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.常用构造平行四边形或者中位线方法找平行.（重点）3.利用面面平行的性质：如果两个平面平行,则其中一个平面内的任意直线都平行另一个平面.（重点）方法一：中位线法结合判定定理例1．长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面.例2．如图，正四棱锥，E为中点.求证：平面.例3．如图，正四棱柱中，，为棱的中点,证明：平面.方法二：平行四边形法结合判定定理例4．如图，已知OA、OB、OC交于点O，，，E、F分别为BC、OC的中点．求证：平面AOC．例5．如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．例6．如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，，是线段的中点，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.例7．如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．方法三：线段成比例结合判定定理例8．如图，在五面体PABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC．例9．如图，在正方体中，点是的中点，点在棱上，且，设直线、相交于点．求证：∥平面．例10．在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由方法四：利用面面平行的性质例11．如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.求证：∥平面.例12．如图，已知点P在平面四边形ABCD外，且平面ABCD，E是PD的中点，，，，求证：平面．例13．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点．求证：平面PCE.例14．平行四边形和平行四边形不在同一平面内，、分别为对角线，上的点，且．求证：平面．三.证明面面平行的常用方法1.根据定义：证明两个平面没有公共点2.利用面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.（重点）3.利用判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.（重点）4.利用面面平行的性质：如果两个平面分别平行于三个平面,那么这两个平面相互平行.例15．如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点,求证：平面平面VCD.例16．如图，在三棱柱中，分别为棱的中点.求证：平面平面.例17．如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．例18．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，．求证：（1）平面；（2）平面平面．例19．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点（1）求证：MN平面PAD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.四．证明线线平行的常用方法1.利用平面内线线平行的判定方法：同位角,内错角,同旁内角,中位线等几何方法.2.利用线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行,则过这直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.（重点）3.利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.例20．如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.例21．如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.例22．点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．总结：立体几何中的线线平行,线面平行,面面平行,这三种平行关系相互联系,相互转化.在高中阶段,证明线线平行时,常常需要利用线面平行的性质,而在证明线面平行时,又需要线线平行,所以在解决平行关系的综合问题时,必须要灵活运用这三种平行关系的相互转化.直线与直线平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行判定性质判定性质性质五.垂直关系的判定与性质两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言：两个平面相交,如果他们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直.(1)如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线.(2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(4)垂直于同一个平面的两条直线平行.(5)垂直于同一条直线的两个平面相互平行.(6)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(7)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么它必垂直于另一个平面.如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面相互垂直，记作.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.符号语言：垂直关系直线与平面垂直平面与平面垂直判定性质判定性质定义定义六．证明线面垂直的常用方法1.利用线面垂直的判定定理：证一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.（重点）2.利用面面垂直的性质定理：两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.(重点)例24．如图所示，在四面体ABCD中，棱，其余各棱长都为1，E为CD的中点，求证：(1)平面ABE；(2)平面BCD．例25．如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB．例26．如图，正方体，求证：平面．例27．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．例28．如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．例28．如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．(1)求证：平面；(2)求证：平面．例29．如图所示，三棱锥中，平面ABC，若O，Q分别是和的垂心，求证：平面PBC．例30．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，.证明：平面.七．证明线线垂直的常用方法1.利用定义:两直线成直角时,两直线垂直；勾股定理等.2.利用平行转化:即.3.利用线面垂直的性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线.（重点）例31．如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．例32．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．证明：D1E⊥A1D.例33．如图，在正方体中，求证：，．例34．如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．例35．在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．例36．已知圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上，，是垂足，求证：.八．证明面面垂直的常用方法1.利用面面垂直的定义:两个平面相交,如果他们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直.2.若一个平面与另一个平面的垂面平行,则这两个平面相互垂直.3.利用面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.（重点）例37．如图,在四棱锥中,底面,是直角梯形,,,,是的中点．求证:平面平面例38．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB．例39．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥.证明：平面平面.例40．如图，在四棱锥A－BCDE中，已知底面BCDE为直角梯形，CB∥DE，CB⊥CD，又棱AB⊥AC，侧面ABC⊥底面BCDE．求证：平面ACD⊥平面ABE.例41．如图，直三棱柱中，，为上的中点.证明：平面平面.例42．如图，四边形是边长为2的菱形，且平面，．证明：平面平面．例43．多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．求证：平面平面DEF.总结:立体几何中的线线垂直,线面垂直,面面垂直,这三种平行关系相互联系,相互转化.在证明线线垂直过程中,常常需要利用线面垂直的性质,在证明线面垂直过程中,又往往需要线线垂直或者面面垂直作为前提条件.在解决垂直关系的综合问题时,必须要灵活运用这三种垂直关系的相互转化.直线与直线垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直判定性质判定性质九．利用空间向量证明平行关系1.利用向量法证明线面平行的三个方法(1)设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明,即证.（重点）(2)根据线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行,要证明一条直线与一个平面平行,在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.(3)根据共面向量定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,只需证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.例44．在如图所示的多面体中，平面平面，，M，N分别是的中点．求证：平面.例45．如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点．求证：平面PFQ.例46．如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N．求证：平面ABCD.例47．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M为棱PB的中点．求证：.例48．如图，且，，且，且，平面，，为的中点，为的中点.求证：平面.例49．如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，平面，且.证明：平面.例50．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，求证：PA//平面EDB.十．利用空间向量证明垂直关系1.利用空间向量证明直线与平面垂直的两个方法(1)证明直线与平面内两条相交直线垂直①用基底法或坐标法表示三条直线的方向向量②分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积,得到数量积为0;③利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行①建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标与平面的法向量的坐标.②判断直线的方向向量与平面的法向量平行.③判定直线与平面垂直.例51．如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，M，N分别为PB，CD的中点．求证：面.例52．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且．求证：平面PAC．例53．如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面．例54．如图，在长方体中，棱长，，点E是平面上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使平面．例55．如图，在多面体中，已知，，，，为等边三角形.求证：.【过关检测】1．四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：平面.2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.3．如图，在正方体中，与交于点，求证：(1)直线平面；(2)直线平面．4．正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求证：平面平面．5．如图，在棱长为a的正方体中，(1)求证：；(2)求证：平面．6．如图，在矩形中，，将矩形沿对角线把折起，使A移到处，且点在平面上的射影O恰好在上．(1)求证：；(2)求证：平面平面．7．如图，在正方体中，是正方体的体对角线.(1)求证：平面平面；(2)求证：平面.8．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求证：为的中点．9．如图，在边长是2的正方体中，E、F分别为AB、的中点．求证：(1)平面；(2)平面．10．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.求证:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．11．如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：(1)CM面；(2)面面.12．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．13．如图，在四棱锥中，底面A