第26讲圆锥曲线压轴小题

第26讲圆锥曲线压轴小题方法总结：1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：典型例题：47．（2022·四川·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________.【答案】##0.5【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求出抛物线的方程，利用点关于直线对称的点求出点M的坐标，设直线l的方程为：，，联立抛物线方程，进而利用韦达定理表示出，结合垂直向量的数量积为0列出关于的方程，解方程即可.【详解】由题意知，抛物线的焦点F为，所以，所以抛物线的方程为：，设关于直线的对称点为，则直线MF与直线垂直，又，有，得①，因为线段MF的中点在直线，所以，即②，由①②，解得，所以，设直线l的方程为：，，则，，，消去y，得，，，因为，所以，又，所以，解得.故答案为：48．（2022·全国·模拟预测）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.【答案】【解析】【分析】先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解.【详解】如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q，因为，所以，所以是等边三角形，所以，则，即；又因为，所以，解得，，，在中，，，，由余弦定理，得.故答案为：.49．（2022·全国·模拟预测）已知点，分别是双曲线的左、右焦点.为双曲线上一点，且，当时，双曲线的焦点到渐近线的距离是______.【答案】【解析】【分析】由条件可得，由勾股定理结合条件求出，，由双曲线的定义得出，进一步得出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，由点到直线的距离公式得出答案.【详解】由得.又因为，由勾股定理得,解得，，由双曲线定义得，所以，所以，所以双曲线的渐近线是，所以焦点到渐近线的距离.故答案为：50．（2022·全国·模拟预测）已知是抛物线上一点，点，，则周长的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】由抛物线的定义将P点到B点（B点即为抛物线的焦点）的距离转化为到抛物线的准线的距离即可求解.【详解】解：易知是抛物线的焦点，，周长为，结合抛物线定义可知的最小值为点到抛物线的准线的距离，即，所以周长的最小值为．故答案为：.51．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的右焦点的直线，与的右支分别交于两点，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】【分析】由题意易知，设，由双曲线定义可知，，在和中由勾股定理，分别可得，，两式联立化简整理可得，由此即可求出结果.【详解】如图，连接，．因为，所以，设，因为，所以．由双曲线定义可得，即，由双曲线定义可得，即，在中，由勾股定理可得，即①，在中，由勾股定理可得，即②，由②得，代入①整理得，所以C的离心率为．故答案为：.52．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即为，由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.故答案为：．53．（2022·四川·三模（理））已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．【答案】##【解析】【分析】求得点的轨迹方程，设出直线的方程，结合根与系数关系列方程，化简求得直线的斜率.【详解】设，的中点坐标为，由于动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切，所以，整理得点的轨迹方程为.依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，，设，则，由于，所以，即，，，，4k2-4k+1=0，解得故答案为：54．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知点F（c，0）为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞【答案】1+【解析】【分析】设出F(c,0)，B(0,b)，双曲线的一条渐近线y=ba的条件是斜率之积为，结合双曲线的的关系和离心率公式计算即可得到所求值.【详解】由对称性知，选取双曲线C的一条渐近线方程为y=b相应直线BF方程为xc+y从而ba⋅(-bac=c2-a2因为e所以双曲线的离心率e=故答案为：1+555．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点P的坐标，代入双曲线方程求解作答.【详解】由双曲线的对称性，不妨令F为右焦点，渐近线为y=bax，即，令半焦距为c，则过F垂直于渐近线y=bax的直线方程为：y=-由bx-ay=0ax+by=ac解得x=a2cy=abc依题意，点P的坐标为(2a2c-c,即(2ac-ca)2-4(ac所以双曲线的离心率为.故答案为：过关练习：1．（2022·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆.设点满足：圆M上存在点P，使，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，分析可得，从而可求出结果.【详解】由题意知圆心，半径，连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，根据圆的切线性质，有，反之，若，则圆M上存在一点P使得，因此圆M上存在点P，使得，等价于，由，得，解得，因此，实数t的取值范围是，故选：A.2．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，当满足时，过点作的平行线l交双曲线于A，B两点，线段AB中点为Q，则直线PQ的斜率为（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得，从而得，求出后可得值，写出直线方程，与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点的坐标，可得直线斜率．【详解】由可得，得，所以，由双曲线对称性知，，在中，，所以，即，故，直线l的方程为，与双曲线方程联立可得，，，从而得点，，故选：A.3．（2022·全国·模拟预测）设F为抛物线焦点，是上的一点，，，则满足条件的点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义结合题目条件可得，从而写出直线的方程，联立方程组得一元二次方程，由判别式小于零可知直线与抛物线没有交点，所以没有满足条件的点.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则．又，∴，∴，∴直线的方程为，联立方程组，化简可得，由，可得直线与抛物线没有交点，由对称性可得与抛物线没有交点，故满足条件的点不存在.故选：D．【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．4．（2022·安徽·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（

）．A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.【详解】设直线，联立，则，则，．由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，又，满足，，且，∴，解得．故选：A．5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线与圆相交于，两点，则的值为（

）A． B．16 C． D．8【答案】C【解析】【分析】分别求出A，B坐标，利用向量的坐标运算直接求出.【详解】因为直线与圆相交于A，B两点，所以，解得：.所以.故选：C.6．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（

）A．12 B．18 C．60 D．【答案】C【解析】【分析】根据给定条件求出弦AB中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线的距离最大值即可推理计算作答.【详解】因，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B，表示点、到直线的距离和的5倍，设弦AB中点，则有于是得：，圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有，当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得，又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，圆的圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最大值为，所以的最大值为60.故选：C7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的右顶点为A，，若在双曲线C的渐近线上存在点M，使得∠AMB＝90°，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出点坐标，以AB为直径的圆D，问题转化为双曲线C的渐近线与圆D有交点，利用点到直线距离得到不等关系，求出离心率的取值范围.【详解】依题意，A（a，0），B（5a，0），则以AB为直径的圆D：；而，故双曲线C的渐近线与圆D有交点，故圆心D（3a，0）到直线的距离，则，故，故，则，故双曲线C的离心率的取值为，故选：B.8．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】先求得符合题意条件的R的取值范围，即可做出判断.【详解】圆C：的圆心，半径R点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆、符号函数的知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故A错误；对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故C正确；对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故B错误；对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故D错误.故选：C10．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（

）A．1 B．4 C．5 D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线AB的方程，再去求点到直线AB的距离的最大值即可解决.【详解】设，切点，由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0，设在点A处切线斜率为在点A处切线方程可设为由，可得由，可得则在点A处切线方程可化为，即由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0，设在点B处切线斜率为在点B处切线方程可设为由，可得由，可得则在点B处切线方程可化为，即又两条切线均过点P，则，则直线AB的方程为，即则直线AB恒过定点点到直线AB的距离的最大值即为点到的距离故点到直线AB的距离的最大值为.故选：D11．（2022·山东临沂·一模）已知，分别为双曲线C：（，）的左，右焦点，点P在第二象限内，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若.则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】取的中点，由已知得，由三线合一得△是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示，再由双曲线的定义表示，在△中由余弦定理列式，得关于的等式关系，即可求得离心率.【详解】取线段的中点，连接，因为，所以，所以△是等腰三角形，且，在中，，连接，又，点在双曲线上，由，则，在△中，，整理得，所以离心率.故选：C12．（2022·河南安阳·二模（文））抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.【详解】抛物线的焦点.由,所以直线AF的方程为，即，联立，得，解得：或，可得：.同理直线BF的方程为，即，联立，解得：.所以，解得：.故选：B13．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将沿DM翻转，直到与△首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，分析出线段的中点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，即可求出轨迹的长度.【详解】由已知得:四边形是正方形，沿DM翻转的过程中，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，设线段的中点,线段的中点,则点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，线段AC的中点的运动轨迹长度为.故选：.14．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用抛物线定义结合已知条件列出方程组，求解方程组作答.【详解】抛物线：的焦点，准线，由点到的距离为得：，即，由点在抛物线上得：，因此有，整理得，而，解得，所以.故选：C15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，过F作与x轴平行的直线交抛物线于A，B（B在第一象限）两点，且上存在点M，满足，则r的最小值为（

）A．2 B．6 C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出点A,B的坐标，根据得到点M的轨迹方程，然后结合点M满足圆的方程求出答案.【详解】易得，将代入得，，．设，则由得，，故，故点M为圆与曲线（）的公共点，则，故，即．故选：C．16．（2022·河南·模拟预测（文））对于曲线（且），以下说法正确的是（

）A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是【答案】D【解析】【分析】对m进行分类讨论，分为双曲线和椭圆，即可判断.【详解】当时，曲线为双曲线，，故焦点坐标为；当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为.故选：D.17．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根据已知条件结合双曲线的对称性，知四边形为矩形，再结合双曲线的定义和直角三角形的勾股定理及双曲线的离心率公式即可求解.【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，由图形的对称性知为矩形，则有，所以，在中，，解得．故选:C.18．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】设出切点坐标，利用导函数求出切线斜率，进而表达出切线方程，将代入，结合，从而求出直线AB的方程.【详解】设，，，所以在A点处的切线方程为，将代入得，因为，化简得，同理可得，所以直线AB的方程为，故选：A．19．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））设F1，F2是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】C【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出|F2P|＝b，进而求出|OP|＝a，利用勾股定理求出，从而得到a与b的关系，从而求出离心率.【详解】如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形，渐近线方程为：，由点到直线距离公式得：，因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以，所以c＝，所以.故选：C.20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知是椭圆上的任意一点，过原点作圆的两条切线，设这两条切线与椭圆交于，两点，则，的斜率之积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设过原点作圆两条切线方程为，切线，的斜率分别记为，，其中，是方程的两根，计算可得结论.【详解】由圆：，得圆心为，半径为.设过原点作圆两条切线方程为，由题意可知，圆心为到两条切线的距离等于，则即，设切线，的斜率分别记为，，则由已知得，就是，的斜率,因为是椭圆上的任意一点，所以，即.所以，是方程的两个实数根，所以.故选：B.21．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C．

D．【答案】C【解析】【分析】由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用表示的代数式，由椭圆的定义可得与的关系，由角的范围求出三角函数的范围，进而求出离心率的范围，即可得到结果．【详解】因为直线过原点，由椭圆及直线的对称性可得，所以，设下焦点，连接，，又因为，即且互相平分，可得四边形为矩形，即有，在中，，，由椭圆的定义可得，所以，所以离心率，因为，，所以，，所以，,所以，故选：C．22．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据点P到距离等于到准线的距离加1，结合抛物线的定义以及图象，得出与距离之和的最小值.【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，如图所示，根据点P到距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故与距离的最小值为.故选：D．23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】画出所表示的半圆，结合直线所过的定点，应用数形结合法判断直线与半圆有两个相异的交点，直线的位置情况，即可求k的范围.【详解】由题设，表示圆的半圆，又直线过定点，由下图知：k的取值范围在直线与半圆左侧相切时斜率(不含)、直线过时斜率之间.当在半圆左侧相切时到直线距离等于半径，即，可得.当直线过时，；综上，要使直线与半圆有两个相异的交点，k的取值范围是.故选：C24．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知抛物线的焦点，过其准线与轴的交点作直线，若直线与抛物线相切于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由抛物线的方程求出的坐标，设切点的的坐标，求出切线的斜率，求出切线的方程与抛物线联立，由判别式等于求出的横坐标与焦点的横坐标相同，纵坐标为，可得轴，，可得为等腰直角三角形，进而求出的值.【详解】由题意得，设切点，，，所以过切点的切线方程为，代入抛物线的方程，得，所以，可得，所以，，即，所以轴，，所以为等腰直角三角形，所以.故选：C.25．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（

）（1）；（2）存在点满足（3）直线与直线的斜率之积为（4）若△的面积为，则点的横坐标为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】（1）由椭圆定义进行求解；（2）点P在以为直径的圆上，求出圆的方程，与椭圆方程联立作出判断；（3）设出点P的坐标，表达出直线与直线的斜率，计算出答案；（4）利用的面积求出点P的纵坐标，进而利用椭圆方程求出横坐标.【详解】由题意得：，所以，，故，，，，由椭圆的定义知：，（1）错误；假设存在点满足，则点P在以为直径的圆上，即，与椭圆方程联立得：，无解，故假设不成立，不存在点满足，（2）错误；设点，则，所以其中，，所以，（3）正确；，解得：，将代入椭圆方程中，解得：，（4）正确.综上：正确答案为2个，故选：B26．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为所以双曲线方程为，则右焦点，所以直线方程为，设，将代入化简得，，所以，所以，解得，得，所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，直线方程为，由，得，由，得，所以，故选：C27．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形为矩形，且，则C的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】设椭圆的半焦距为，依题意以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用，结合椭圆的定义，得到关于，的不等关系，求解即可得到答案．【详解】解：设椭圆的半焦距为，因为四边形为矩形，所以以为直径的圆与椭圆有公共点，则，所以，又，即，即所以，故，因为，又，所以，则，又，即，且，所以，故，即，即解得，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：C．28．（2022·全国·高三专题练习）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（

）A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)【答案】D【解析】【分析】设直线l：x＝ty＋m，讨论t＝0时结合半径范围分析满足条件的切线条数，再根据切线的性质研究t≠0时切线的条件，保证两种情况下切线总共4条求r的取值范围【详解】不妨设直线l：x＝ty＋m，又，当t＝0且r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意；当t＝0且0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需t≠0的直线恰有2条即可.当t≠0时，将直线代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0,则△＝16t2＋16m＞0①，所以，则M(2t2＋m，2t)，由，可得m＝3－2t2代入①，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,又由圆心到直线的距离等于半径，得d＝r＝,由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).故选：D29．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交M，N两点（其中M在笫一象限），若M，，N，四点共圆，则C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再根据的关系即可得出答案.【详解】解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，则四边形为矩形，所以以为直径的圆与椭圆有公共点，则，即，所以，故.故选：A.30．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则C的焦距等于（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】【分析】根据渐近线方程可得，由可得答案.【详解】曲线的渐近线方程为，可得，所以，所以焦距为，故选：C.31．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且的面积为4，若过圆心C作该抛物线准线的垂线，垂足为D，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】设可得，过点A作于Q，过点B作于P，利用抛物线定义得，利用梯形中位线、基本不等式可得答案.【详解】根据题意，，设，即，过点A作于Q，过点B作于P，利用抛物线定义得，根据梯形中位线可知，，所以（当且仅当时，等号成立），故选：A.32．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为，连接、，利用椭圆的定义求出的值，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围，再利用椭圆的离心率公式可求得结果.【详解】设椭圆的左焦点为，连接、，因为直线与椭圆均关于原点对称，则、关于原点对称，又因为为的中点，则四边形为平行四边形，则，所以，，可得，取点，则，可得，所以，，故选：A.33．（2022·福建漳州·一模）已知以F为焦点的抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若，则在y轴上的截距为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】由点求出抛物线方程，再利用向量得出A，B坐标的关系，联立直线方程可求出点B坐标，再求出直线斜率即可得解.【详解】抛物线经过点，所以，解得，即抛物线方程为，焦点为，设，联立，消元得，由，，又，即,，，，，，，即直线方程为，故在y轴上的截距为，故选：D34．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图所示，椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的实轴长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用直线的倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于的不等关系，求解即可得到答案．【详解】设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，则四边形为矩形，所以以为直径的圆与椭圆有公共点，则，所以，又由题意，即，故，即因为直线倾斜角不小于，所以直线的倾斜角不小于，则，化简可得，因为，所以，则，又，所以，故，解得，所以，综上故选：．35．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知双曲线的方程为，双曲线的右顶点A到渐近线的距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程写出右顶点坐标以及渐近线方程，即可求得答案.【详解】双曲线的方程为,则右顶点A的坐标为，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程为，故右顶点A到渐近线的距离为，故选：C36．（2022·云南保山·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，，则以为直径的圆与x轴的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义求得点A的坐标，再根据直线与圆的位置关系判断.【详解】如图所示：抛物线的焦点为，准线方程为，设，根据抛物线定义知，得.线段的中点到轴的距离，则以为直径的圆与轴相切，故选：A．37．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））若直线与圆交于M、N两点，则弦长的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．2【答案】B【解析】【分析】由题意求得直线过定点，圆心，半径，且当时，值最小，利用弦长公式即可求得答案．【详解】设直线，即联立，解得，故直线经过定点，由知定点在圆内，由圆方程可知圆心，半径，当垂直时，最小，此时到直线的距离，所以，故选：．38．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的两点，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设为AF的中点，为BF的中点，，根据条件可得点A、B坐标间的关系，结合韦达定理可求得k的值.【详解】解：设为AF的中点，为BF的中点，，，所以，作轴于点P，轴于Q，则，因为，所以P为NF的中点，则，同理，因为，则，即，即，所以，整理得，设直线l的方程为，联立，整理得，所以，结合式得，代入中，即，因为，所以，即，所以，故选：D.二、多选题39．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆C的焦距为1B．点在椭圆C内部C．若椭圆的焦点在x轴上，则D．若点，则的距离的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A，由椭圆方程求得判断；对于选项B，将点代入椭圆方程判断；对于选项C，由求解判断；对于选项D，由P，Q，三点共线求解判断.【详解】对于选项A，由椭圆，易得，所以焦距为2，故选项A错误；对于选项B，将点代入中，易得，则点Q在椭圆C内部，故选项B正确；对于选项C，由椭圆的焦点在x轴上，得，解得，故选项C正确；对于选项D，（当P，Q，三点共线时，且点P位于第四象限时，取得最大值），故选项D正确，故选：BCD.40．（2022·全国·模拟预测）已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（

）A．焦点的坐标为 B．若，则过定点C．若直线过点，则 D．若直线过点，则的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，即可判断A；设直线，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，由，即可求出，即可判断B；设直线，代入抛物线方程，消元列出韦达定理，即可判断C、D；【详解】解：对于A，由题意，所以焦点，故A错误；对于B，若直线的斜率，显然不合题意；设直线，代入，得，则，，所以，所以，所以，所以直线过定点，故B正确；对于C，由直线过点，可设直线，代入，得，则，，所以，故C正确；对于D，由C可知，，，所以，所以当时，的最小值为16，故D正确，故选：BCD.41．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，设直线与抛物线C交于A，B两点，当直线l经过点F时，.设圆F为以点F为圆心，OF为半径的圆（O为坐标原点），则下列说法正确的是（

）A．抛物线的C的方程为B．直线l截圆F的弦长的最小值为C．直线l截圆F的弦长的最大值为2D．当时，取到最小值【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A：判断出直线l过定点.设直线l的倾斜角为，由可得，即可得.利用斜率，解得：，即可得抛物线C的方程；对于选项B：判断出点P在圆F外，可得直线l截圆F的弦长的最小值为0；对于选项C：直线l截圆F的弦长取到最大值为圆F的直径；对于选项D：设点A，B的坐标为，，表示出，利用二次函数求最值.【详解】对于选项A：直线，可化为：所以直线l过定点.设直线l的倾斜角为，则有，，且由可得，即可得.点F的坐标为，所以，解得：，即可得抛物线C的方程为，故选项A成立；对于选项B：可得圆F的方程为，因为点P在圆F外，可得直线l截圆F的弦长的最小值为0，故选项B错误；对于选项C：当直线l经过点F时，此时直线l截圆F的弦长取到最大值，最大值为圆F的直径，故选项C成立；对于选项D：由l过定点P，可设直线l为，设点A，B的坐标为，，联立可得，根据韦达定理可得，，当时，取到最小值为，此时，故选项D成立.故选：ACD.42．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．的取值范围为C．的取值范围为D．当取得最小值时，直线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】对于A,求出圆心到直线l的距离，根据圆心距和弦长的一半及半径之间的关系可求得，即可判断A;对于B,C,根据直线过定点，求出过该顶点的弦长的最小值和最大值，即可判断；对于D,根据取得最小值时，直线的垂直关系，可求得直线MN的方程，由此可判断D.【详解】对于选项A，当时，