微积分 第3版 课件 2.5 函数的连续性

2.5

函数的连续性2.5.1函数的连续性定义2.5(函数在一点的连续性)则称函数在点连续,称为的连续点.如果注意:函数在一点处连续性包含以下三个条件:设所以,在点连续等价于:则显然,

定义2.6(函数在一点左、右连续)点左、右连续.例2.21讨论函数在点的连续性.证因函数在点左连续且右连续,所以在该点连续.处右连续,在在处左连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.定义2.7(函数在区间连续)则称它在开区间内连续;如果函数在开区间内连续,则称它在闭区间上连续.通常把所有区间I

上的连续函数构成的集合记作

如闭区间上连续函数的全体记为

如果函数在开区间内每一点都连续,证由夹挤定理,

因例2.22证明函数

内连续.同理,定理2.11(函数四则运算的连续性)例如,故在其定义域内连续.定理2.12(复合函数的连续性)定理2.13

设函数在区间I上单调而且连续,则其反函数也单调且连续.由此,反三角函数在其定义域内皆连续.即注:初等函数的连续性提供了极限的简单求法.例2.23求解因函数的定义域为

是定义区间内点.

定理2.14(初等函数的连续性)初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.例2.24已知

解因求由极限的保号性,在的某个空心邻域内,有

在这个空心邻域内有由初等函数的连续性,有例2.25求解所以因2.5.2函数的间断点的一个间断点.下列三种情形至少有一种会发生:

例如,函数在

点左右极限都存在但不相等,所以,为的间断点.函数在

点左右极限都存在且相等,但函数在点无定义,所以,为的间断点.如果和中至少一个不存在,例如,函数因所以,为函数的间断点.点是间断点.函数在

点左右极限都不存在,另外,也是函数的间断点.根据间断点的具体情形,可以将其做如下分类:第一类间断点:第一类间断点又可以分成两种情形:

如果左、右极限相等,则称其为可去间断点;如果左、右极限不相等,则称为跳跃间断点.间断点.的间断点,如果和都存在,则称的第一类例如,为的跳跃间断点;如果补充定义

为的可去间断点.在间断是因为函数在这个点没有定义,

这也是把称为可去间断点的原因.那么它就在连续了.第二类间断点:除去第一类间断点之外的间断点,若其中有一个为则称为无穷间断点.事实上,和中至少有一个不存在,则点就是第二类间断点.

统称第二类间断点.初等函数无定义的孤立点是间断点;分段函数的分段点是可能的间断点,需要讨论.求函数的间断点的方法:并判断其间断点的类型.解函数的定义域为

由初等函数的连续性,函数在其定义区间内连续.例2.26

讨论函数的连续性,所以函数的间断点是所以,x

=0为可去间断点.所以,x

=1为第二类无穷间断点.2.5.3闭区间上连续函数的性质设在区间I有定义,则称是函数在区间I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)设在[a,b]上连续,则在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若区间是开区间或区间内有间断点,定理不一定成立.推论2.1

(有界性定理)设在[a,b]上连续,则在[a,b]上有界.

显然,函数的最大、最小值分别是它的一个上界和一个下界.定理2.16(零点定理)

设函数在闭区间[a,b]上连续,使得则至少有一点证由零点定理,所以,方程使得例2.27

设证明方程至少有一个小于的正实根.证由零点定理,得证.使得例2.28

证明方程至少有一个小于的正根.令练习

证明方程证由零点定理,一根.所以,方程使得练习设函数证由零点定理,使得即定理2.17

(介值定理)

设函数在闭区间上连续,若则至少有一点使得证设由零点定理,故推论2.2

闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M与