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文档简介

6.5

定积分的应用

定积分在科学技术的各个领域都有广泛的应用。通常用定积分解决的问题是求非均匀分布的整体量，例如面积、体积、成本、利润等。“微元法(元素法）”是定积分应用的基本方法，其核心思想是在每个微小的局部把函数看作常数。什么量可以用定积分表示出来?(1)U是一个与变量x的变化区间[a,b]有关的量;则可以考虑用定积分来表达这个量U.(2)U对于区间[a,b]具有可加性.就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,(3)部分量

的近似值可表示为当所求量U符合下列条件：则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步骤：这个方法通常称为微元法(元素法).(1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如

x(2)任取一小区间并记为求出相应于这小区间的部分量

的近似值dU,并将其表示为(3)以所求量U的元素

为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得即为所求量U的积分表达式.为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积微元得

曲边梯形面积的积分式也可以用微元法

建立如下.地等于长为f(x)、宽为dx的小矩形面积,故有近似它对应的面积元素dA为6.5.1平面图形的面积在[a,b]上任取一区间

设平面图形是由两条连续曲线y=f(x)，y=g(x)（其中

）以及直线x=a,x=b

所围成，求此平面图形的面积.和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应求由曲线小区间在区间[c,d]上任取一个解两曲线的交点选

x为积分变量例

6.26

求由曲线和所围成的图形面积.面积元素解两曲线的交点选

y为积分变量例

6.27

求由

和

所围成的图形的面积.

所求面积解画草图,求两曲线交点的坐标以便解方程组:交点面积元素选

为积分变量,?确定积分限,练习旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条圆柱圆锥圆台6.5.2体积问题1.旋转体的体积直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴．旋转而成的薄片的体积元素旋转体的体积为如果旋转体是由连续曲线直线及

x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,求体积.取积分变量为x,在[a,b]上任取小区间[x,x+dx],取以dx为底的小曲边梯形绕x轴解这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆例6.28

求由椭圆围成的图形绕x轴

旋转一周所得旋转体的体积.与x围成的图形绕

x轴旋转而成.所求体积为解两曲线的交点为绕x轴旋转所得体积x轴旋转所得旋转体的体积.练习求抛物线所围成图形绕解体积元素取积分变量为x,oxy练习2.已知平行截面面积的立体的体积立体体积A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，A(x)为x的已知连续函数.如果一个立体介于过

而垂直于x轴的两平面之间，体积元素解取坐标系如图底圆方程例6.29一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面为直角三角

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