高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P202 第8章 无穷级数

第8章无穷级数习题8.11.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性:(1)解：因为所以，级数发散。(2)解：因为所以，级数发散。(3)解：因为所以，级数收敛。（4）解：因为所以，级数收敛。2.已知级数的部分和，试求该级数的通项，并说明该级数的敛散性。解：所以，该级数收敛。3．判别下列级数的收敛性:(1)解：级数由调和级数发散及级数的性质知该级数也发散。(2)解：是公比为的等比级数，而，所以，该级数收敛。(3)解：该级数的通项的极限不存在，所以，该级数也发散。(4)解：该级数的通项的极限，所以，该级数也发散。(5)解：该级数的通项的极限，所以，该级数也发散。(6)解：是公比为的等比级数，而，所以，该级数收敛。习题8.21.用比较判别法，判定下列级数的敛散性：(1)解：因为且发散，所以由比较判别法得，原级数发散。(2)解：因为而级数收敛，所以由比较判别法得，原级数收敛。(3)解：因为而级数收敛，所以由比较判别法得，原级数收敛。(4)解：因为而级数是公比为的等比级数，收敛，所以由比较判别法得，原级数收敛。2.用比值判别法判别下列级数的收敛性:(1)解：由比值判别法得，原级数发散。(2)解：由比值判别法得，原级数发散。(3)解：由比值判别法得，原级数收敛。(4)解：由比值判别法得，原级数收敛。(5)解：由比值判别法得，原级数收敛。(6解：由比值判别法得，原级数收敛。(7)解：由比值判别法得，原级数发散。(8)解：由比值判别法得，原级数发散。3.判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)解：，而级数收敛，（它是的级数）所以，原级数绝对收敛。(2)解：因为，所以，级数收敛，原级数绝对收敛。(3)解：该级数的通项的极限，故该级数发散。(4)解：而级数是发散的，（它是的级数）故该级数非绝对收敛的。又因为数列满足：所以，由莱布尼兹判别法得该级数是条件收敛的。(5)解：，而级数是公比为的等比级数，收敛，故原级数绝对收敛。（6）解：，由于，级数发散，所以级数也发散，因而原级数非绝对收敛的。又因为数列满足：所以，由莱布尼兹判别法得原级数是条件收敛的。（7）解：先考察级数，因为所以，级数是收敛的，故原级数绝对收敛。（8）解：而级数发散，（它是的级数）故该级数非绝对收敛的。又因为数列满足：所以，由莱布尼兹判别法得原级数是条件收敛的。设正项级数收敛，证明级数也收敛。证明：因为是正项级数，故，又正项级数收敛，由比较判别法得级数也收敛。习题8.31.求下列幂级数的收敛域：(1)解:因为所以，收敛半径。当时，原级数收敛；当，原级数为发散；当，原级数为发散；所以，原级数的收敛域为。(2)解:因为所以，收敛半径。当时，原级数收敛；当，原级数为收敛；当，原级数为收敛；所以，原级数的收敛域为。(3)解:因为所以，收敛半径。原级数的收敛域为。(4)解：因为所以，收敛半径。当时，原级数收敛；当，原级数为收敛；当，原级数为发散；所以，原级数的收敛域为。(5)解：因为所以，收敛半径。当时，原级数收敛；当，原级数为发散；当，原级数为发散。所以，原级数的收敛域为。(6)解:因为所以，收敛半径。当，即时，原级数收敛；当，原级数为收敛；当，原级数为发散。所以，原级数的收敛域为 。(7)解:因为所以，收敛半径。当，即时，原级数收敛；当，原级数为发散；当，原级数为发散。所以，原级数的收敛域为。(8)解:因为所以，收敛半径。当，即时，原级数收敛；当，原级数为收敛；当，原级数为发散。所以，原级数的收敛域为 。2.求下列幂级数的收敛域及和函数：(1)解：因为级数的收敛半径为1.容易知道在均发散，所以级数的收敛域为.设幂级数的和函数为，即，逐项积分，并注意到经过逐项积分得到的新级数与原幂级数有相同的收敛半径，有即两端对求导，得，即，，(2)解：因为级数的收敛半径为1.容易知道在收敛，在发散，所以级数的收敛域为.设幂级数的和函数为，即，逐项求导，（得到的新级数与原幂级数有相同的收敛半径），有，对上式两边积分，得当时，显然.又当时，原级数为，是收敛的，利用幂级数的和函数的连续性得到(3)解：由（1）题有，所以3.设幂级数的收敛半径是，求级数，的收敛区间。解：级数逐项求导得到级数，所以，级数和级数有相同的收敛半径，级数的收敛半径也是。级数的收敛区间是当时，级数收敛，级数收敛区间是。习题7.41.将下列函数展开为的幂级数，并确定收敛区间.(1)解：利用，(2)解：利用(3)解：利用(4)解：利用(5)解：利用(6)解：，，，2.将下列函数在指定点处展开为幂级数，并确定收敛区间.（1）解：当，即当时，（2）解：当，即当时，（3）解：3.利用级数展开法计算的近似值（要求误差不超过）．解：取前三项作近似值，有4.利用，求的近似值，并估计误差．解:，利用，5.计算下列积分的近似值（要求误差不超过）．（1）解：先求积分的幂级数展开式。利用得所以=在上式中，令，得取前两项作近似值，有（2）解：先求积分的幂级数展开式。利用，得在上式中，令，得取前两项作近似值，有综合习题8选择或填空题（1）设级数是收敛的，则（B）。A级数必收敛B级数未必收敛CD级数发散（2）下列级数条件收敛的是（A）。ABCD（3）设，则级数（B）。A发散B条件收敛C绝对收敛D收敛性与值有关（4）幂级数的收敛域是（B）。ABCD二．计算或证明题1.判别下列级数的收敛性:(1)解：因为级数通项的极限，所以，级数发散。(2)解：因为又级数收敛，所以，原级数绝对收敛。(3)解：因为考察级数，由比值判别法易得该级数收敛，所以原级数绝对收敛。(4)解：当时，级数通项的极限，级数发散。当时，，级数发散。当时，，且收敛，故原级数收敛。(5)解：因为且级数和级数均收敛，所以，原级数收敛。(6)解：因为由比值判别法得该级数收敛。2.利用函数的幂级数展开式求导数：（1）设，求解：，（2），求解：3．设级数收敛，试证明级数也收敛。证明：因为级数收敛，所以级数收敛，故级数也收敛。4．已知级数收敛，证明级数也收敛。证明：