高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和一导学案新人教A版必修5

2.3等差数列的前n项和（一）【教学目标】1.驾驭等差数列前n项和公式及其获得思路.2.经验公式的推导过程，体验从特别到一般的探讨方法，学会视察、归纳、反思.3.娴熟驾驭等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．【教学过程】一、创设情景老师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3等差数列的前n项和（一）》课件“情景导入”部分，思索与等差数列前n项和有关的两个实际问题的解法，从而引发进一步学习相关学问的爱好.二、自主学习教材整理等差数列的前n项和阅读教材P42～P44例2，完成下列问题．1．数列的前n项和的概念一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d三、合作探究问题1高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50快速求出了等差数列前100项的和．但假如是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示：不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采纳倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝eq\f(nn＋1,2).问题2等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？提示：S3＝eq\f(3a1＋a3,2)＝3eq\f(a1＋a3,2)＝3a2＝21.问题3我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d吗？提示：按n的降幂绽开Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.问题4假如{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？提示：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．探究点1等差数列前n项和公式的应用命题角度1方程思想例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？提示：由题意知S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋45d＝310，,20a1＋190d＝1220，))解方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝6.))∴Sn＝n×4＋eq\f(nn－1,2)×6＝3n2＋n.名师点评：(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要留意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月起先算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？提示：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝eq\f(60＋60－19×0.5,2)×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．名师点评：建立等差数列的模型时，要依据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是依据首项和公差选择前n项和公式进行求解．探究点2等差数列前n项和的性质的应用例3(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．提示：(1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a9,\f(1,2)b1＋b9)＝eq\f(\f(9a1＋a9,2),\f(9b1＋b9,2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(7×9＋2,9＋3)＝eq\f(65,12).名师点评：等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，假如运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．四、当堂检测1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是()A．12B．24C．36D．482．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于()A．2B．3C．6D．73．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.4．已知等差数列{an}中：(1)a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.提示：1．B2.B3.1904．解(1)∵Sn＝n×eq\f(3,2)＋(－eq\f(1,2))×eq\f(nn－1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×(－eq\f(1,2))＝－4.∴n＝12，an＝a12＝－4.(2)由Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1－512,2)＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.五、课堂小结本节课我们学习过哪些学问内容?提示：1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共