2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示分层演练含解析新人教A版必修第二册

平面对量基本定理及坐标表示A级基础巩固1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数m的值为 ()A.-32 B.32解析:因为a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,所以3×2+m·(-1)=0,所以m=6. 答案:D2.在平面直角坐标系Oxy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC= ()A.5 B.4 C.3 D.2解析:由四边形ABCD为平行四边形,知AC=AB+AD=(3,-1),故AD·AC=(2,1)·(3,-1)=5.答案:A3.若正方形OABC两边AB,BC的中点分别为点D和E,则∠DOE的余弦值为 ()A.12 B.32 C.3解析:以点O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形OABC的边长为1,则D（1,12）,E（12,1）,于是cosDOE=1×1答案:D4.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|b|=5.解析:因为a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-2t).因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-3)×(-1)+3(3-2t)=0,解得t=2,所以b=(1,2),所以|b|=12+25.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角解:(1)设c=(x,y),因为|c|=25,所以x2+y2=25,所以x2+由c∥a,得1×y-2×x=0,所以1×y-2×x故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2×5+3a·b-2×54整理得a·b=-52所以cosθ=a·b因为θ∈[0,π],所以θ=π.B级实力提升6.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当PA·PB取最小值时,点P的坐标是 ()A.(2,0) B.(4,0) C.（103,0）解析:设P(a,0),则PA=(2-a,-1),PB=(4-a,2),所以PA·PB=(2-a)(4-a)-2=a2-6a+6.由二次函数的性质,得当a=3时,PA·PB有最小值,此时点P的坐标是(3,0).答案:D7.已知平面对量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=2.解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).因为|a|=5,|b|=25,a·c=5m+8,b·c=8m+20,且c与a的夹角等于c与b的夹角,所以c·a|即5m+85=8m+208.设向量a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),b=-12,32,且a与b不共线.(1)求证:(a+b)⊥(a-b);(2)若向量3a+b与a-3b的模相等,求α.(1)证明:由题意可得a+b=（cosα-12,sinα+32a-b=（cosα+12,sinα-32所以(a+b)·(a-b)=cos2α-14+sin2α-3所以(a+b)⊥(a-b).(2)解:因为向量3a+b与a-3b的模相等,所以(3a+b)2=(a-3b)2,所以a2-b2+23a·b=0.因为|a|=cos2α+sin2α所以1-1+23a·b=0,解得a·b=0,所以-12cosα+32sin所以tanα=33因为0≤α<2π,所以α=π6或7πC级挑战创新9.多选题设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论正确的是 ()A.|a|=|b| B.a·b=1C.a-b与b垂直 D.a∥b解析:由题意,知|a|=12+02=1,|b|=(12)

2+(12)

2a·b=1×12+0×12=12,(a-b)·b=a·b-|b|2=12-12=0,所以a-b与b垂直,故选项答案:BC10.多空题已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若a⊥b,则k的值为5;若|a+b|不超过5,则k的取值范围为-6≤k≤2