《1向量基本定理》学习任务单

《1向量基本定理》学习任务单“向量基本定理”学习单班级：姓名：组号：【学习内容】沪教版（2020）必修第二册第8章平面向量8.3向量的坐标表示之1向量基本定理。【我的目标】1、能够准确说出向量基本定理的内容，一个字都不错哦。2、会用向量基本定理来解决简单的向量分解问题，就像拆积木一样熟练。3、可以在给定的平面内，根据向量基本定理找到合适的基底来表示其他向量，就像在地图上找到正确的路线一样。【重难点】重点：向量基本定理的理解与记忆，这可是我们的“大宝贝”，得牢牢抓住。难点：灵活运用向量基本定理解决各种向量问题，这就像走迷宫，要找到正确的出口可不容易。【我的研究】一、向量基本定理是啥？1、咱们先来看个例子哈。想象你在一个大操场上，有很多同学在不同方向跑来跑去。现在把每个同学看成一个向量。假如有两个同学，一个朝着正东方向跑（我们把这个方向的向量设为向量a），一个朝着正北方向跑（这个向量设为向量b），而且这两个同学跑得速度都不变哦。那操场上其他同学不管朝着哪个方向跑，是不是都可以用正东方向的这个同学和正北方向的这个同学的某种组合来表示呢？这就是向量基本定理的一个很直观的例子啦。2、现在咱们来正式学习向量基本定理的内容：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1+λ2e2。这里的e1和e2就像是刚才例子里正东和正北方向的同学，而λ1和λ2就是表示其他同学和这两个特殊同学之间关系的数字。那大家先试着把这个定理读个三遍，看看能不能记在小脑袋里呢？二、小练习1、已知向量e1，e2不共线，向量a＝3e1+2e2，向量b＝6e1+4e2，判断向量a与向量b是否共线。我们可以这样想哦，如果向量b能写成向量a的某个倍数，那它们就是共线的。假设存在实数k，使得b＝ka，也就是6e1＋4e2＝k(3e1+2e2)。那我们就可以得到两个方程：6＝3k（这是根据e1前面的系数得到的）和4＝2k（这是根据e2前面的系数得到的）。解第一个方程得到k＝2，解第二个方程也得到k＝2，所以向量a与向量b是共线的。大家看，这样一步一步分析是不是就很清楚啦？2、设e1，e2是平面内一组基底，如果λ1e1+λ2e2＝0，那么λ1和λ2的值是多少呢？因为e1，e2是基底，它们是不共线的。就像我们前面说的在操场上不同方向跑的同学，他们是独立的哦。要使λ1e1+λ2e2＝0成立，只有当λ1＝0且λ2＝0的时候才行。这就好比要让一个东西不动，那推动它的所有力量都得是零一样。三、找基底1、在平面直角坐标系中，向量i＝（1,0)，向量j＝（0,1)，这两个向量是很特殊的哦。那对于向量a＝（3,4)，我们怎么用向量i和向量j来表示呢？根据向量基本定理，我们可以设a＝λ1i+λ2j，也就是(3,4)＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)。这样就可以得到两个方程：3＝λ1（这是根据横坐标得到的）和4＝λ2（这是根据纵坐标得到的）。所以向量a＝3i＋4j。是不是很有趣呢？就像把一个复杂的东西拆成了两个简单的部分。2、再看一个例子，在一个斜着的坐标系（不是直角坐标系哦）里，有向量e1和向量e2，它们不共线。对于一个向量b，我们怎么确定它用e1和e2表示的系数呢？首先我们要根据向量基本定理设b＝μ1e1+μ2e2。然后我们可以通过一些已知条件，比如说向量b的长度和方向，以及向量e1和e2的长度和方向之间的关系来建立方程，进而求出μ1和μ2的值。这就有点像在一个神秘的地图里，根据一些线索找到宝藏的位置一样。【组内过关】（课内完成）一、判断题1、任何两个向量都可以作为平面内的一组基底。（）答案是错的哦。因为只有不共线的两个向量才能作为基底，就像我们前面说的，在操场上朝着相同方向或者在同一条直线上跑的同学不能作为两种不同的“标准方向”一样。2、若e1，e2是平面内的一组基底，且λ1e1+λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0。（）这个是对的，我们前面已经详细讲过啦，基底向量是独立的，要让它们组合起来等于零向量，只能系数都是零。二、填空题1、已知向量e1，e2不共线，向量a＝2e13e2，向量b＝4e16e2，向量b＝＿__a。我们设向量b＝ka，也就是4e16e2＝k(2e13e2)。根据前面讲的方法，我们可以得到4＝2k（根据e1前面的系数），解得k＝2；6＝3k（根据e2前面的系数），解得k＝2。所以向量b＝2a。2、在平面内，向量e1＝（2,1)，向量e2＝（1,3)，向量a＝（4,7)，若a＝λ1e1+λ2e2，则λ1＝＿__，λ2＝＿__。设a＝λ1e1+λ2e2，也就是(4,7)＝λ1(2,1)＋λ2(1,3)。得到方程组：4＝2λ1λ2和7＝λ1+3λ2。我们可以先把第一个方程变形为λ2＝2λ14，然后代入第二个方程，得到7＝λ1+3(2λ14)。展开得到7＝λ1+6λ112，移项得到7λ1＝5，解得λ1＝5/7。把λ1＝5/7代入λ2＝2λ14，得到λ2＝2×（5/7)－4＝10/728/7＝18/7。三、简答题1、请解释为什么向量基本定理中要求基底向量不共线？就像我们前面在操场上的例子，如果两个同学朝着相同或者相反的方向跑（也就是共线），那他们就不能表示出操场上所有方向的同学的跑步情况啦。在向量里也是一样，如果基底向量共线，那它们就不能组合出平面内所有的向量，就会有很多向量没办法用这两个向量表示出来，就像少了一些颜色，画不出完整的画一样。【当堂检测】（课内完成）一、选择题1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）A.e1＝（0,0)，e2＝（1,2)B.e1＝（1,2)，e2＝（5,7)C.e1＝（3,5)，e2＝（6,10)D.e1＝（2,3)，e2＝（1/2,3/4)答案是B哦。因为A选项里e1是零向量，零向量和任何向量都共线，不能做基底；C选项里e2＝2e1，它们共线，不能做基底；D选项里e2＝1/4e1，它们也共线，不能做基底。只有B选项里的两个向量不共线，可以做基底。2、已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝ab，如果c与d共线，那么（）A.k＝1且c与d同向B.k＝1且c与d反向C.k＝1且c与d同向D.k＝1且c与d反向因为c与d共线，所以存在实数λ，使得c＝λd，也就是ka＋b＝λ(ab)＝λaλb。得到方程组k＝λ和1＝λ，解得λ＝1，k＝1。当k＝1时，c＝a＋b＝（ab)＝d，所以c与d反向，答案是D。二、计算题1、已知向量e1，e2不共线，向量a＝e1＋2e2，向量b＝3e14e2，求2a3b。首先计算2a，2a＝2(e1＋2e2)＝2e1＋4e2。然后计算3b，3b＝3(3e14e2)＝9e112e2。最后计算2a3b，2a3b=（2e1＋4e2)（9e112e2)＝2e1＋4e29e1＋12e2=7e1+16e2。2、设向量e1，e2是平面内的一组基底，已知向量a＝3e1＋5e2，向量b＝4e1＋7e2，向量c＝15e113e2，求实数λ，μ，使得c＝λa+μb。把a，b代入c＝λa+μb，得到15e113e2＝λ(3e1＋5e2)＋μ(4e1＋7e2)。展开得到15e113e2=（3λ4μ)e1+（5λ＋7μ)e2。得到方程组：15＝3λ4μ和13＝5λ＋7μ。我们可以先把第一个方程乘以5，得到75＝15λ20μ；把第二个方程乘以3，得到39＝15λ＋21μ。然后用新得到的第一个方程减去第二个方程，得到114＝41μ，解得μ＝114/41。把μ＝114/41代入15＝3λ4μ，得到15＝3λ4×（114/41)，解得λ＝53/41。三、拓展题1、在三角形ABC中，D是BC边的中点，设向量AB＝a，向量AC＝b，试用a和b表示向量AD。因为D是BC边的中点，所以向量BD＝1/2向量BC。向量BC＝向量AC向量AB＝ba。所以向量BD＝1/2(ba)。向量AD＝向量AB＋向量BD＝a+1/2(ba)＝1/2a＋1/2b。2、已知向量e1，e2不共线，向量a，b满足3a2b＝4e1，a＋2b＝3e2，求向量a，b用e1，e2表示的式子。我们把这两个方程相加，得到4a＝4e13e2，解得a＝e13/4e2。把a＝e13/4e2代入a＋2b＝3e2，得到e13/4e2+2b＝3e2。移项得到2b＝3e2e1+3/4e2=e19/4e2，解得b＝1/2e19/8e2。【自我评估方法】1、对于向量基本定理内容的记忆，如果能准确无误地背出来，就给自己3分，如果有小错误扣1分，如果错误较多就扣2分。2、在做判断题、填空题的时候，如果全对给自己5分，每错一题扣1分。3、在做简答题的时候，如果回答得逻辑清晰、内容完整就给自己4分，如果回答有些不完整或者逻辑有点乱扣12分。4、在做选择题、计算题和拓展题的时候，如果答案正确且步骤完整，根据题目的难易程度给自己68分不等，如果答案正确但步骤有小缺失扣13分，如果答案错误就不得分。5、最后把所有的分数加起来，如果总分在30分以上（包括30分），那说明你对向量基本定理掌握得非常好；如果总分在2029分之间，那还需