2020-2021高中数学-第七章-随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册

2020-2021高中数学第七章随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册2020-2021高中数学第七章随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册2021高中数学第七章随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册2020-2021高中数学第七章随机变量及其分布素养检测新人教A版选择性必修第三册年级：姓名：单元素养检测(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,则P(2<X<4)= ()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】选C.随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.4.2.若随机变量X～BQUOTE,则D(2X+1)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为X～BQUOTE,故可得D(X)=6×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故D(2X+1)=4D(X)=QUOTE.3.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时,P=QUOTE=QUOTE,当1个正品3个次品时,P=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以正品数比次品数少的概率为QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下,第二次摸到正品的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.记A=“第一次摸出的是次品”,B=“第二次摸到的是正品”,由题意知,P(A)=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,则PQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.5.某服务性窗口可为顾客办理A,B,C,D四类业务,假设顾客办理业务所需时间相互独立,统计以往数据可得办理A,B,C,D四类业务的平均时间分别是2分钟、3分钟、4分钟、6分钟,频率分别为0.2,0.3,0.4,0.1,办理两项业务之间的间隔时间忽略不计,则工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客业务的概率为 ()A.0.25 B.0.16 C.0.34 D.0.09【解析】选A.工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客的业务,即在第6分钟末办理完第二位顾客的业务,则工作人员为前两位顾客办理业务的时间都是3分钟,或者一个2分钟、一个4分钟,则所求概率为0.32+QUOTE×0.2×0.4=0.25.6.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.若两人各投2次,则两人投中次数相等的概率为 ()A.0.2484 B.0.25 C.0.90 D.0.3924【解析】选D.由题意,甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,则甲、乙两人各投2次,两人两次都未投中的概率P0=(1-0.6)2×(1-0.7)2=0.0144;两人各投中一次的概率P1=QUOTE×0.6×(1-0.6)×QUOTE×0.7×(1-0.7)=0.2016;两人两次都投中的概率P2=0.62×0.72=0.1764.所以,两人投中次数相等的概率为P=P0+P1+P2=0.3924.7.盒中有5个小球,其中3个白球,2个黑球,从中任取i(i=1,2)个球,在取出的球中,黑球放回,白球涂黑后放回,此时盒中黑球的个数记为Xi(i=1,2),则 ()A.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)>E(X2)B.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)>E(X2)C.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)<E(X2)D.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)<E(X2)【解析】选C.P(X1=2)=QUOTE=QUOTE,P(X2=2)=QUOTE=QUOTE<P(X1=2),因为PQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以E(X1)=QUOTE.因为P(X2=2)=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,P(X2=4)=QUOTE=QUOTE,所以E(X2)=QUOTE>E(X1).8.甲、乙两人进行飞镖比赛,规定命中6环以下(含6环)得2分,命中7环得4分,命中8环得5分,命中9环得6分,命中10环得10分(两人均会命中),比赛三场,每场两人各投镖一次,累计得分最高者获胜.已知甲命中6环以下(含6环)的概率为QUOTE,命中7环的概率为QUOTE,命中8环的概率为QUOTE,命中9环的概率为QUOTE,命中10环的概率为QUOTE,乙命中各环对应的概率与甲相同,且甲、乙比赛互不干扰.若第一场比赛甲得2分,乙得4分,第二场比赛甲、乙均得5分,则三场比赛结束时,乙获胜的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.比赛结束,若乙获胜,则第三场比赛乙至多比甲低一分.当乙得2分时,甲得2分,P1=QUOTE×QUOTE=QUOTE;当乙得4分时,甲可得2分,4分,5分,P2=QUOTE×QUOTE=QUOTE;当乙得5分时,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=QUOTE×QUOTE=QUOTE;当乙得6分时,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=QUOTE×QUOTE=QUOTE;当乙得10分时,甲可得2分,4分,5分,6分,10分,P4=QUOTE×1=QUOTE;乙获胜的概率为P=P1+P2+P3+P4=QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植并销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是 ()附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6827,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.34135【解析】选ABD.对于选项A:μ+30=280,μ=250,正确;对于选项BC:利用σ越小越集中,30小于40,B正确,C不正确;对于选项D:P(280<X<320)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827×QUOTE=0.34135,正确.10.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体,每个面都是正三角形,甲四个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两个四面体一次,记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”,事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”,事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”,则下列结论正确的是 ()A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)C.P(ABC)=QUOTED.P(A)·P(B)·P(C)=QUOTE【解析】选ABD.由已知P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B)=P(C)=QUOTE=QUOTE,由已知有P(AB)=P(A)P(B)=QUOTE,P(AC)=QUOTE,P(BC)=QUOTE,所以P(A)=P(B)=P(C),则A正确;P(BC)=P(AC)=P(AB),则B正确;事件A,B,C不相互独立,故P(ABC)≠QUOTE,即C错误;P(A)·P(B)·P(C)=QUOTE,则D正确.11.某班级的全体学生平均分成6个小组,且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动,若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为QUOTE,则 ()A.该班级共有36名学生B.第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为QUOTEC.抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是QUOTED.设抽取的6名学生中女生数量为X,则D(X)=QUOTE【解析】选ACD.设该班级每个小组共有n名女生,因为抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为QUOTE,所以抽取的6名学生中没有男生(即6名学生全为女生)的概率为1-QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得n=2,所以每个小组有4名男生、2名女生,共6名学生,所以该班级共有36名学生,则A对;所以第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为QUOTE,则B错;抽取的6名学生中男生女生数量相同的概率是QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,则C对;设抽取的6名学生中女生数量为X,则X～BQUOTE,则D(X)=6×QUOTE×QUOTE=QUOTE,则D对.12.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以A1,A2,A3表示由甲箱中取出的是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是 ()A.P(B)=QUOTEB.P(B|A1)=QUOTEC.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3两两互斥【解析】选BD.因为每次取一球,所以A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;因为P(A1)=QUOTE,P(A2)=QUOTE,P(A3)=QUOTE,所以P(B|A1)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故B正确;同理P(B|A2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,P(B|A3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,故AC错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.甲、乙两人被随机分配到A,B,C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A岗位的人数为随机变量X,则随机变量X的数学期望E(X)=.

【解析】由题意可得X的可能取值有0,1,2P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE则数学期望E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.一个盒子里有2个红球,1个绿球和2个黄球,从盒子中随机取球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ,则E(ξ)=.

【解析】根据题意可知,ξ可取0,1,2,PQUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE;(此时取球情况是:第一次取红球;第一次取绿球,第二次取红球)PQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;(此时取球情况是:第一次取黄球,第二次取红球;第一次取绿球,第二次取黄球,第三次取红球;第一次取黄球,第二次取绿球,第三次取红球)P(ξ=2)=1-P(ξ=1)-P(ξ=0)=QUOTE.故E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是QUOTE外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是QUOTE,假设各局比赛结果相互独立.则甲队获胜的概率为.

【解析】甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,①3∶0时,概率为P1=QUOTE=QUOTE;②3∶1时,概率为P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;③3∶2时,概率为P3=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以甲队3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率为QUOTE,QUOTE,QUOTE,故甲队获胜的概率是QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教.选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为,设X为选出的3名同学中女同学的人数,则X的数学期望为.

【解析】设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=QUOTE=QUOTE;随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况,进行了一次20道题的问卷调查,每位同学都是独立答题,在收回的问卷中发现甲同学答对了12个,乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的,试求:(1)任选一道题目,甲、乙都没有答对的概率;(2)任选一道题目,恰有一人答对的概率.【解析】记“任选一道题目,甲答对”为事件A,“任选一道题目,乙答对”为事件B,根据古典概型概率计算公式,得P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE=QUOTE,所以P(QUOTE)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE.(1)“两人都没答对”记为QUOTE,所以P(QUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)“恰有一人答对”=AQUOTE∪QUOTEB,所以P(AQUOTE∪QUOTEB)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.18.(12分)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如表:等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望E(X).【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A,则P(A)=QUOTE=QUOTE,现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则X～BQUOTE,所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X=2)=QUOTE=QUOTE.(2)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个,现从中抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=QUOTE=QUOTE;P(X=1)=QUOTE=QUOTE;P(X=2)=QUOTE=QUOTE;P(X=3)=QUOTE=QUOTE,所以X的分布列如表:X0123PQUOTEQUOTEQUOTE、所以E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.19.(12分)为响应绿色出行,某市推出新能源租赁汽车.每次租车收费的标准由两部分组成:①里程计费:1元/公里;②时间计费:0.12元/分.已知陈先生的家离上班公司12公里,每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t(分),现统计了50次路上开车所用时间,在各时间段内频数分布情况如表所示:时间t(分)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)次数122882将各时间段发生的频率视为概率,一次路上开车所用的时间视为用车时间,范围为[20,60)分.(1)估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率;(2)若公司每月发放800元的交通补助费用,请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车(每月按22天计算),并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表)【解析】(1)设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的时间为A,则所求的概率为P(A)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE=QUOTE,所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为QUOTE.(2)每次开车所用的平均时间为25×QUOTE+35×QUOTE+45×QUOTE+55×QUOTE=35,每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12+0.12×35=16.2,每个月的费用为16.2×2×22=712.8(元),712.8<800,因此公司补贴能够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车.20.(12分)(2020·江苏高考)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).【解题指南】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p1=QUOTE×1=QUOTE,q1=QUOTE×1=QUOTE.p2=QUOTEp1+QUOTE×QUOTEq1=QUOTE,q2=QUOTEp1+QUOTEq1=QUOTE.(2)当n≥2时,pn=QUOTEpn-1+QUOTE×QUOTEqn-1=QUOTEpn-1+QUOTEqn-1,qn=QUOTEpn-1+QUOTEqn-1+QUOTE×(1-pn-1-qn-1)=-QUOTEqn-1+QUOTE,所以2pn+qn=QUOTE(2pn-1+qn-1)+QUOTE,则2pn+qn-1=QUOTE(2pn-1+qn-1-1),又2p1+q1-1=QUOTE,所以2pn+qn=1+QUOTE.所以Xn的分布列如表:Xn012P1-pn-qnqnpn则E(Xn)=qn+2pn=1+QUOTE.【补偿训练】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队相遇,假设甲队每人回答问题正确的概率均为QUOTE,乙队每人回答问题正确的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.【解析】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,记“甲队总得分为1分”为事件B,甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人都答错,其概率为PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为QUOTE,QUOTE.(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,记“乙队总得分为1分”为事件D,事件C即甲队三人中有2人答对,其余1人答错,则P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;事件D即乙队3人中只有1人答对,其余2人答错,则PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE+1-QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,由题意得事件C与事件D相互独立,所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率P(CD)=P(C)P(D)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.21.(12分)世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)频数22504502908(1)求所得样本的中位数(精确到百元);(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布N(51,152),若该市共有高中毕业生35000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上;(3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)范围内的8名学生中有5名女生,3名男生,现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为Y,求Y的分布列与数学期望.附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)设样本的中位数为x,则QUOTE+QUOTE+QUOTE·QUOTE=0.5,解得x≈51,所得样本中位数为51.(2)μ=51,σ=15,μ+2σ=81,旅游费用支出在8100元以上的概率为P(x≥μ+2σ)=QUOTE≈QUOTE=0.02275,0.02275×35000≈796,估计有796位同学旅游费用支出在8100元以上.(3)Y的可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=QUOTE=QUOTE,P(Y=1)=QUOTE=QUOTE