2024-2025学年福建省福州市格致中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州市格致中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i(1−3i)1+i=(

)A.2+i B.2−i C.−2+i D.−2−i2.已知集合A={x|x2−3x≥0}，B={0,1,2,3}，则(A.{3} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}3.已知样本数据x1，x2，…，x100的平均数和标准差均为4，则数据−x1−1，−x2A.−5，4 B.−5，16 C.4，16 D.4，44.已知函数f(x)=cosxex+2x，则曲线y=f(x)在x=0A.2x−2y+1=0 B.x+y−1=0 C.x−y+1=0 D.2x−y+1=05.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为(

)A.(6425,4825) B.(6.已知函数f(x)=sinωx+acosωx(ω>0)图象的对称轴方程为x=kπ+π4(k∈Z)，则f(A.1 B.−1 C.22 7.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆CA.(0,sin2α] B.(0,sinα] C.[sin2α,1) D.[sinα,1)8.已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若AB=CD=2，则CA⋅CB+DAA.6 B.12 C.24 D.32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知二项式(xm+1x)n(x>0且x≠1，n∈N∗A.n=6 B.m=2

C.Cn−1m+10.已知定义在R上的函数f(x)=log2(x2+ax+b)，g(x)=(x−a)(x+b)，其中a，b分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数.设“函数f(x)的值域为[0,+∞)”为事件A，“函数g(x)A.P(AB)=118 B.P(A+B)=736 C.11.一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体.下列结论正确的是(

)A.若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体

B.等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直

C.三组对棱长度分别为a，b，c的等面四面体外接球的表面积为4π(a2+b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}为等差数列，a1+a13.某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积(表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2)依然存在空隙(最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方).若等径球的半径为rA，空隙中能容纳的最大外来原子(图3中位于中间的小球)的半径为rB，则rBr14.max{x1,x2,x3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=4acosC．

(1)求tan(C−A)的最大值，并判断此时△ABC的形状；

(2)若b=4，tanB=2，求△ABC的面积．16.(本小题15分)

如图，已知在多面体ABCDEF中，AD//BC，AB⊥BC，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，

(1)求证：平面BCF//平面ADE；

(2)若BC=AE=2，AB=AD=CF=1，求二面角E−BD−F的余弦值．17.(本小题15分)

某学校在2023—2024年度体育节活动中设置了一项趣味轮滑比赛，比赛设置了2个动作项目组，其中项目组一中有3个规定动作，项目组二中有2个自选动作，比赛规则：每位运动员从2个项目组的5个动作中选择3个参赛，最后得分越多者，排名越靠前.评分规则：对于项目组一中的每个动作，若没有完成得0分，若完成得10分.对于项目组二中的动作，若没有完成得0分，若只完成1个得20分，若完成2个得50分.已知运动员甲完成项目组一中每个动作的概率均为12，完成项目组二中每个动作的概率均为13，且每个动作是否能完成相互独立．

(1)若运动员甲选择项目组一中的3个动作参赛，设甲的最后得分为X，求X的分布列与数学期望；

(2)18.(本小题17分)

已知O为坐标原点，P，Q是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的两个动点．

(1)若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且OT=λOQ(λ∈R)，∠QPT=π4，求双曲线E的渐近线方程；19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x−x(a>0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性．

(2)给定x1，x2∈D且x1<x2，对于两个大于1的正实数α，β，若存在实数m满足：α=mx1+(1−m)x2，β=(1−m)x参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.C

9.AB

10.BC

11.ABD

12.12

13.214.2

15.解：(1)由b=4acosC及正弦定理，得sinB=4sinAcosC，

所以sin(A+C)=4sinAcosC，所以sinAcosC+cosAsinC=4sinAcosC，

所以cosAsinC=3sinAcosC，

易得cosAcosC≠0，则tanC=3tanA，

所以tan(C−A)=tanC−tanA1+tanCtanA=2tanA1+3tan2A，

易得tanA>0，所以tan(C−A)=21tanA+3tanA≤33，

当且仅当tanA=33时，tan(C−A)取得最大值33，

此时tanC=3tanA=3，所以A=π6，C=π3，由三角形内角和定理得B=π2，

所以当tan(C−A)取得最大值时△ABC为直角三角形；

(2)由题可知，tan(A+C)=−tanB=−2，得tanA+tanC1−tanAtanC=−2，

由(1)可得tanC=3tanA>0，所以3tan2A−2tanA−1=0，

所以tanA=1，16.(1)证明：因为AD//BC，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，

所以BC/​/平面ADE，

因为AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，所以AE/​/CF，

因为CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，

所以CF/​/平面ADE，

又BC∩CF=C，BC，CF⊂平面BCF，

所以平面BCF/​/平面ADE．

(2)解：因为AD//BC，AB⊥BC，

所以AB⊥AD，

又AE⊥平面ABCD，且AB、AD⊂平面ABCD，

所以AE⊥AB，AE⊥AD，

所以AB，AD，AE两两垂直，

故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,2,1)，

所以BD=(−1,1,0)，BE=(−1,0,2)，BF=(0,2,1)，

设平面BDE的法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅BD=0m⋅BE=0，即−x1+y1=0−x1+2z1=0，

令x1=1，则y1=1，z1=1217.解：(1)由题意得X的所有可能取值为0，10，20，30，

所以P(X=0)=C30×(1−12)3=18，X0102030P1331所以E(X)=0×18+10×38+20×38+30×18=308+608+308=15；

(2)由题意，运动员甲的参赛方案有3个：

方案1：从项目组一中选择3个动作参赛，

方案2：从项目组一中选择2个动作、从项目组二中选择1个动作参赛，

方案3：从项目组一中选择1个动作、从项目组二中选择2个动作参赛，

对于方案1：由(1)知甲的最终得分的数学期望为15，

对于方案2：设甲的最终得分为Y，则Y的所有可能取值为0，10，20，30，40，

则P(Y=0)=(1−12)2×(1−13)=16，

P(Y=10)=C21×12×(1−12)×(1−13)=13，

P(Y=20)=(12)2×(1−13)+(1−12)2×13=118.解：(1)取PQ的中点M，连接OM，

由OT=λOQ以及双曲线的对称性可知O为线段QT的中点，

此时OM//PT，

不妨设直线PQ的倾斜角为α，直线OM的倾斜角为β，

可得tanα=2，kOM=tanβ，

易知β=α−π4，

所以kOM=tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=2−11+2×1=13，

不妨设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

因为P，Q两点均在双曲线上，

所以x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，

两式相减得x12−x22a2−y12−y22b2=0，

整理得y1+y22x1+x22⋅y1−y2x1−x2=b2a2，

即b2a2=kOM⋅19.解：(1)函数f(x)=(a+1a)lnx+1x−x(a>0)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=a+1ax−1x2−1=−x2−(a+1a)x+1x2=−(x−a)(x−1a)x2，

令f′(x)=0，解得x=a或x=1a．

当0<a<1时，0<a<1<1a，

∴当0<x<a或x>1a时，f′(x)<0，当a<x<1a时，f′(x)>0，

故函数f(x)在(a,1a)上单调递增，在(0,a)和(1a,+∞)上单调递减．

当a=1时，f′(x)=−(x−1)2x2≤0恒成立，

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减．

当a>1时，0<1a<1<a，

∴当0<x<1a或x>a时，f′(x)<0；当1a<x<a时，f