河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题 含解析

2024—2025学年（上）南阳六校高一年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“，”的否定为“，”.故选：D2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解指数不等式，得到，由补集和交集的概念得到答案.【详解】，故，解得，故，故选：B3.已知，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，即，解得，因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件.故选：A.4.已知幂函数的图象经过点，则（）A.为偶函数，且在上单调递减 B.为偶函数，且在上单调递增C.为奇函数，且在上单调递减 D.为奇函数，且在上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解.【详解】设幂函数，又因为幂函数的图象经过点，所以，解得,所以，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以fx为奇函数，又因为，所以fx在0,+∞上单调递减，故C故选：C.5.设，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由特殊值代入可判断ABD，由不等式的性质可判断C.【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，当，时，满足，此时，，，故B错误；C选项，由，可得，所以，故C正确；D选项，当时，，故D错误.故选：C.6.（）A.8 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将根式化为分数指数幂，结合对数运算法则进行计算【详解】.故选：A7.若函数在区间上的值域为，则的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】分别求出fx值域为时的定义域，从而可求解.【详解】由函数，所以当x=1时，fx有最小值，当时，即，解得或，又因时，fx单调递减，时，fx单调递增，所以的最大值为，的最小值为，所以的最大值为.故选：D.8.已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数fx为偶函数且在上单调递减，则，且fx在上单调递增，然后对分情况讨论，从而可求解.【详解】由函数fx为偶函数且在上单调递减，且，所以，且fx在上单调递增，当时，，则，所以；当时，，则，所以；当时，，则，所以；当时，，则，所以；当x>2时，，则，所以.综上所述：不等式的解集为.故B正确.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关系式正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可．【详解】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确；对于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正确；对于C，应该用“”符号，即，故C错误；对于D，是集合中的元素，即，故D正确.故选：ABD.10.下列各式的值等于6的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】A选项，利用指数运算和根式运算法则得到答案；BCD选项，利用对数运算法则计算出答案.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：BC11.已知正实数a，b满足，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，可得，然后再利用基本不等式逐项判断即可对AB判断求解；由由，可得，再利用单位“”即可对C判断求解；由，再结合，即可对D判断求解.【详解】A：由，可得，因为，所以，即，得，当时取等号，故A正确；B：由，当时取等号，又因为，当时取等号，所以，故B错误；C：由，可得，所以，当，即时取等号，故C正确；D：，因为，所以，所以，当时取等号，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算法则及换底公式可得，再求出即可.【详解】因为，即，所以.故答案为：.13.已知函数是上的减函数，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据函数在上是减函数特征，两段函数各自为减函数，且左段函数的最小值大于等于右段函数的最大值，解不等式组即可求得的取值范围．【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，即a的取值范围是.故答案为：.14.已知函数在上具有单调性，且，则_______.【答案】【解析】【分析】令，则，中，令，求出，从而得到，从而求出答案.【详解】令，则，中，令得，故，显然单调递增，且，故，所以，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算（1）；（2）已知，比较和的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数、对数的运算进行化简即可求解.（2）利用不等式性质即可求解.【小问1详解】原式.【小问2详解】由，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以.16.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，分别对进行讨论再结合，从而可求解.（2）分别对进行讨论再结合，从而可求解.【小问1详解】由题意可得，当时，，此时，不符合题意；当a>0时，，由，可得；当时，，由，可得；综上所述：的取值范围为.【小问2详解】当时，，此时，故符合题意；当a>0时，，由，可得，解得；当时，，由，可得，解得；综上所述：的取值范围为.17.（1）若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值；（2）讨论关于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）且为方程的两个根，由韦达定理得到方程，求出答案；（2）因式分解，再分，，，，五种情况，求出不等式解集.【详解】（1）由题意得且为方程的两个根，故，，解得；（2），若，则，解得，若，解得，若，则，解得，若，此时，解得或，若，此时，解得或，综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.18.数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元（2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元【解析】【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可；（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果.【小问1详解】设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有，当且仅当，即时取等号.所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.【小问2详解】设月利润为万元，则有，由题知，整理得，解得.所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.19.已知函数.（1）若，求在区间上的值域；（2）若方程有实根，求实数m的取值范围；（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解；（3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解.【小问1详解】当时，，令，因为，所以，所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，当时，有最小值，当时，有最大值，所以.所以时，在区间上的值域为.【小问2详解】由（1）知当令，，，则，即有实数根，此时实数根大于零，所以可得，解得：.所以方程有实根，实数m的取值范围为.【小问3详解】由题意得，若对任意的，总存在，使得，可得,由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，