2024-2025学年上海市杨浦区同济大学第一附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市杨浦区同济大学第一附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是(

)A.α⊥β，m⊂β B.α//β，n⊥β C.α⊥β，n//β D.m//α，n⊥m2.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BA.直线AA1

B.直线A1B1

C.直线3.已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是A.R1：R2：R3=2：3：24.正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为(

)A.13

B.12

C.23二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式x2+2x−3≤0的解集为______．6.对于正实数x，代数式x+9x+1的最小值为______．7.两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)8.若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为______.(结果保留π)9.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为______．10.若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为______．11.在△ABC中，已知2sinA=3cosA，则∠A=12.若三个向量a=(3,3,2)，b=(6,m,7)，c=(0,5,1)共面，则实数m13.已知二面角α−AB−β为30°，P是平面α内的一点，P到β的距离为1，则P在β内的射影到AB的距离为______．14.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，P为该球面上的动点，若三棱锥P−OAB体积的最大值为6，则球O的表面积为______．15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC′面积达到最大．16.在四面体PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=−PC三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=3cos2x+12sin2x．

(1)求函数y=f(x)的最小正周期；

18.(本小题14分)

据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米．

(1)求该蒙古包的表面积(不含底面)；

(2)求该蒙古包的体积．19.(本小题14分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为45°．

20.(本小题16分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C为菱形，点A1在底面上的投影为AC的中点D，且AB=2．

(1)求证：BD⊥CC1；

(2)求点C到侧面AA1B121.(本小题18分)

设m为给定的实常数，若函数y=f(x)在其定义域内存在实数x0，使得f(x0+m)=f(x0)+f(m)成立，则

称函数f(x)为“G(m)函数”．

(1)若函数f(x)=2x为“G(2)函数”，求实数x0的值；

(2)若函数f(x)=lgax2+1，为“G(1)函数”，求实数a的取值范围；

(3)已知f(x)=x+b(b∈R)为“G(0)函数”，设参考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.{x|−3≤x≤1}

6.5

7.必要不充分

8.100π

9.2：1

10.28311.π312.21

13.314.48π

15.60°

16.72017.解：(1)由题意得f(x)=3cos2x+12sin2x

=3(1+cos2x)2+12sin2x

=32cosx+12sin2x+32

=sin(2x+π3)+3218.解：(1)∵蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，

且该圆锥的高为3米，圆柱的高为4m，底面直径为8m，

∴AD=32+42=5，又DC=4，

故该蒙古包的表面积为1219.解(1)∵A1A⊥平面ABCD，

∴A1C与底面ABCD所成的角为∠A1CA=45°，又易知AC=2，

∴A1A=2，

∴四棱锥A1−ABCD的体积为13×2×2×2=43；

(2)连接BD，则易得BD/​/B1D1，

∴异面直线A120.解：(1)证明：由点A1在底面ABC上的投影为AC的中点D，知A1D⊥平面ABC，

又BD⊂平面ABC，∴A1D⊥BD，

∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴AC⊥BD，

∵A1D∩AC=D，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵CC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CC1．

(2)∵A1D⊥AC，D是AC中点，侧面AA1C1C是菱形，∴A1C=A1A=AC，

∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=2，∴DB=DA=DC=2，DA1=6，

由(1)知直线DB，DC，DA1两两垂直，

∴以D为坐标原点，DB，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则D(0,0,0)，A(0,−2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,6)，

 AB=(2,2,0)， AA1=(0,21.解：(1)由f(x)=2x为“G(2)函数”，得f(x0+2)=f(x0)+f(2)，

即2x0+2=2x0+22，解得x0=log243，故实数x0的值为log243；