2024-2025学年新疆乌鲁木齐市高二上学期期中联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年乌鲁木齐市高二上学期期中联考数学检测试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章3.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过点，则直线的倾斜角（）A. B. C. D.2.平行线与间的距离为（）A B. C. D.3.已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为（）A. B.C. D.4.已知向量，则在方向上的投影向量的模为（）A B. C. D.5.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.7.某手机信号检测设备监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（）A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的一个焦点为C.椭圆的短半轴长为6 D.椭圆的离心率为10.空间内有四点，则（）A.点到直线EF的距离为 B.点到直线EF的距离为C.点到平面EFN的距离为 D.点到平面EFN的距离为11.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（）A.若，则直线与圆相切B.若圆上存在两点关于直线对称，则C.若，则D.若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为_____________；在轴上的截距为_____________．13.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______.14.在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；（2）经过两点.16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.已知直线．（1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）若直线过（1）中的定点，且在轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.（1）是否存在点，使得平面？（2）求的取值范围.（3）求点到直线的距离的最小值.19.已知圆经过三点．（1）求圆方程．（2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。2024-2025学年乌鲁木齐市高二上学期期中联考数学检测试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章3.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线过点，则直线倾斜角（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由两点求出直线斜率，由斜率求倾斜角.【详解】设直线的斜率为，则，即．因为，所以．故选：C2.平行线与间的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由平行线间的距离公式求解即可.【详解】方程变形为由平行线间的距离公式可得所求距离．故选：A.3.已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】求出圆心的坐标以及，并求出线段的中点的坐标，由此可得出所求圆的标准方程.【详解】因为圆的圆心为，所以，所以以为直径的圆的圆心为，半径为．故所求圆的标准方程为．故选：D.4.已知向量，则在方向上的投影向量的模为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得.【详解】由，得，，所以在方向上的投影向量的模为.故选：B5.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】由方程表示椭圆可得，求解可判断结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B.6.在空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案.【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，，则，故选：D7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（）A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟【正确答案】C【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得.【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线，即，圆，记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为，则，所以被监测的时长为分钟.故选：C8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，利用中位线的性质可求出，可得出，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理可求得的值，进而利用椭圆的离心率公式可求得该椭圆的离心率的值.【详解】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，由圆的几何性质可知，易知、分别为、的中点，则，且，所以，，由椭圆的定义可得，由勾股定理可得，即，整理可得，可得，因此，该椭圆的离心率为，故选：A.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的一个焦点为C.椭圆的短半轴长为6 D.椭圆的离心率为【正确答案】AD【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为，短半轴长为3，离心率．故选：AD.10.空间内有四点，则（）A.点到直线EF的距离为 B.点到直线EF的距离为C.点到平面EFN的距离为 D.点到平面EFN的距离为【正确答案】AD【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线、点到平面的距离.【详解】因为，所以EF的一个单位方向向量为．因为，所以点到直线EF的距离为．设平面EFN的法向量为，因为，所以令，得．因为，所以点到平面EFN的距离为．故选:AD.11.已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（）A.若，则直线与圆相切B.若圆上存在两点关于直线对称，则C.若，则D.若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是【正确答案】BC【分析】利用圆心到直线距离与半径的关系可判断A错误；由圆上存在两点关于直线对称可得直线过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误.【详解】A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径.∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，故A不正确.B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，∴，解得，故B正确.C.若，则圆心到直线的距离，∴，故C正确.D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示，，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为_____________；在轴上的截距为_____________．【正确答案】①.②.【分析】根据互相垂直直线之间的斜率关系，求出斜率，点斜式得出直线方程，求截距即可.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的斜率为2．因为直线过点，所以直线的方程为，即，故直线的斜截式方程为，令，解得，所以在轴上的截距为．故；13.经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______.【正确答案】【分析】根据椭圆定义即可得结果.【详解】由题意可知：，因为，所以的周长为.故答案为.14.在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为__________.【正确答案】##【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值.【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，于是，所以与所成角的余弦值为.故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求符合下列条件的椭圆的标准方程：（1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；（2）经过两点.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意可得，结合求得，即可得方程；（2）设椭圆的方程为，代入点运算即可.【小问1详解】由题意知，因为，即，解得，且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设椭圆的方程为.因为椭圆经过两点，则，解得故椭圆的标准方程为.16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【正确答案】（1）和不垂直，理由见详解；（2）【分析】（1）根据已知条件可设，计算出，的值，从而证明到，再由可证平面；所以建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证.（2）在第一问的基础上，分别求出平面与平面的法向量，利用公式计算可得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】和不垂直，理由如下：设，则，在中，，所以为等边三角形，所以，因为，，所以，从而，所以在直角中，，，又因为，所以，所以在中，满足，故为直角三角形，则；又因为，，所以平面；因为，所以，所以，故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.【小问2详解】由（1）可知，，，所以平面，故为平面的一个法向量；又，，设平面的法向量，所以，即，取，则，，故，设平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知直线．（1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）若直线过（1）中的定点，且在轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．【正确答案】（1）证明见解析，（2）或或【分析】（1）整理方程为，然后解方程组可得答案；（2）分截距为0与截距不为0两种情况计算可求得直线的方程．【小问1详解】将直线的方程整理为，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，其坐标．【小问2详解】①当截距为0时，直线的方程为，即．②当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得或若，则直线的方程为，即；若，则直线的方程为．故直线的方程为或或．18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.（1）是否存在点，使得平面？（2）求的取值范围.（3）求点到直线的距离的最小值.【正确答案】（1）存在，（2）（3）【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，设，利用，及即可求出点坐标；（2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解；（3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可.【小问1详解】如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题意得，，，设平面的法向量为，则，可取，设，所以，