浙江省杭州市西湖区之江实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区之江实验学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列微信表情图标属于轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(

)A.3，4，8 B.

5，6，10 C.

5，5，11 D.5，6，113.下列选项中a的值，可以作为命题“，则”是假命题的反例是(

)A. B. C. D.4.下列各组图形中，表示AD是中BC边的高的图形为(

)A. B. C. D.5.下列不等式说法中，不正确的是(

)A.若，，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则6.如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，那么下列条件中能判断是直角三角形的是(

)A.：：：4：5 B.，

C.，， D.，，7.如果不等式的解集是，那么m必须满足(

)A. B. C. D.8.如图，已知，则下列条件中，能够判定≌的有(

)

①；

②；

③；

④A.1个

B.2个

C.3个

D.4个9.如图，，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上.若，，则下列关系正确的是(

)A.

B.

C.

D.10.如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于点G，若，，则的面积是(

)A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.在中，锐角，则另一个锐角______.12.若等腰的两条边长为6cm和2cm，则等腰三角形周长为______13.中，三边分别是a，b，c，斜边，则的值为__________.14.如图，，点A、C、E共线.若，，，则______.15.若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______.16.如图，已知等边三角形DEF，延长DF至点A，延长FE至点C，延长ED至点B，且，连结AB，AC，BC，则______；若，，请写出a，b，c的关系______.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分

解下列不等式组

求不等式的解；

解不等式组18.本小题6分

如图，已知，，

用直尺和圆规，作出线段AB的垂直平分线不写作法，保留作图痕迹

如果线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD，已知，求的度数.19.本小题6分

如图，，

求证：≌

线段EB与EC相等吗？请说明理由．20.本小题8分

如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上.

作关于直线MN对称的图形；

若网格中最小正方形的边长为1，求的面积；

在直线MN上找一点P，则的最小值为______.21.本小题8分

等腰三角形ABC中，，于点D，

求的度数；

如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连接DF，求证：22.本小题10分

我校即将进行学生秋季实践活动，计划租用A，B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元.

求A型大巴车和B型大巴车每辆车各需多少元；

若我校计划租用A，B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，我校共有哪几种租车方案？

在的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？23.本小题10分

如图，在长方形ABCD中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

______用t的代数式表示

当t为何值时，≌？

当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

24.本小题12分

定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．

如图1，在智慧三角形ABC中，，AD为该三角形的智慧线，，，则BD长为______，的度数为______.

如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形点A，F，E按顺时针排列，，AE交BC于点D，连结EC，当时，求证：ED是的智慧线．

如图3，中，，若是智慧三角形，且AC为智慧线，求的面积．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，本选项不合题意；

C、是轴对称图形，本选项符合题意；

D、不是轴对称图形，本选项不合题意．

故选：

结合轴对称图形的概念求解即可．

本题考查了轴对称图形的概念，.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B

【解析】解：

A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形

B选项，，，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形

C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形

D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形

故选：

根据三角形的三边关系即可求

此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.【答案】C

【解析】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，

，但是，

正确；

故选：

根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．4.【答案】D

【解析】解：的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．

故选：

根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答．

本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键．5.【答案】B

【解析】解：A、，，

，原说法正确，故本选项不符合题意；

B、，

，原说法错误，故本选项符合题意；

C、，

，原说法正确，故本选项不符合题意；

D、，

，原说法正确，故本选项不符合题意；

故选：

根据不等式的性质逐个判断即可．

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于是解此题的关键．

根据直角三角形得出，再根据：：：4：5，求出最大角即可判断选项A；根据三角形的内角和定理求出，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C、选项

【解答】

解：：：：4：5，，

最大角，

不是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.，，

，

不是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.，，，

，

是直角三角形，故本选项符合题意；

D.，，，

，

不是直角三角形，故本选项不符合题意，

故选7.【答案】B

【解析】解：因为的解集是，不等号的方向改变了，

所以，解得

故选：

根据两边同时除以，不等号的方向改变，可得，解得

本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．8.【答案】D

【解析】解：A、，，，

根据AAS能推出≌，故本选项符合题意；

B、，，，

根据HL能推出≌，故本选项符合题意；

D、，，，

根据HL能推出≌，故本选项符合题意；

C、，，，

根据AAS能推出≌，故本选项符合题意；

故选：

根据全等三角形的判定定理判断即可．

本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，9.【答案】D

【解析】解：点B、E关于AC对称，

，，，

，

，

，

是的外角，

，

在中，，即，

，

，即，

，

故选：

运用轴对称、等腰三角形、三角形的内角和与外角和等性质找相关角的关系即可求解．

本题考查了轴对称、等腰三角形、三角形的内角和与外角和，根据图形分析角之间的关系是解题的关键．10.【答案】D

【解析】解：连接DE，

是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，

，

，

于点G，

，

，，

，

，

，

过E作于F，

的面积，

的面积，

的面积，

的面积，

的面积，

故选：

连接DE，首先证明，推出，，求出都是面积即可解决问题．

本题考查直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】

【解析】解：中，，

故答案为：

根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．

本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．12.【答案】14

【解析】解：当2cm的边为腰时，由于，不能构成三角形；

当2cm的边为底时，该等腰三角形的周长为

故答案为：

根据等腰三角形的定义，分类讨论，当2cm的边为腰和底时，分别计算其周长即可．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13.【答案】18

【解析】【分析】

先由勾股定理求得，然后求得的值．

本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容．

【解答】

解：为直角三角形，斜边，

，

故答案为：14.【答案】5

【解析】解：过B作于M，过D作于N，

，

，，

，，

，，

，

，

，

，

，，

≌，

，

，

故答案为：

过B作于M，过D作于N，由等腰三角形的性质求出，，由余角的性质推出，判定≌，得到，由勾股定理求出，得到

本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是判定≌，得到15.【答案】

【解析】解：，

解不等式①得：；

解不等式②得：，

原不等式组的解集为

又不等式组只有两个整数解，

故答案为：

解不等式组，可得出原不等式组的解集为，结合原不等式组只有两个整数解，即可得出a的取值范围．

本题考查了一元一次不等式组的整数解，通过解不等式组及不等式组整数解的个数，找出a的取值范围是解题的关键．16.【答案】

【解析】解：在等边三角形DEF中，有，，

，

，

，

≌≌，

，

为等边三角形，

，

，，

，即：，

故答案为：，

根据等边三角形的判定定理和性质定理及三角形的三边关系求解．

本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】解：去括号得：，

移项合并得：，

系数化为1得：，

不等式的解集为；

，

由①得：，

由②得：，

不等式组的解集为

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】解：如图，直线MN即为所求；

垂直平分线段AB，

，

，

，

，

【解析】利用尺规根据要求作出图形即可；

利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理求解即可．

本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．19.【答案】证明：在与中，

，

≌；

解：理由如下：

≌，

，

【解析】根据SSS定理证明结论；

由中全等三角形得，再由等角对等边定理得结论．

本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定与性质．20.【答案】

【解析】解：如图，即为所求．

的面积为

连接，交直线MN于点P，连接CP，

此时，为最小值．

由勾股定理得，，

的最小值为

故答案为：

根据轴对称的性质作图即可．

利用割补法求三角形的面积即可．

连接，交直线MN于点P，此时取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理计算即可．

本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．21.【答案】解：，

，

，

，

，

设，则，

，

解得：，

；

证明：连接BF，

垂直平分AB，

，

，

，

，

，

，，

，

【解析】根据等腰三角形的性质得到，设，则，根据三角形的内角和即可得到结论；

连接BF，根据垂直平分线的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：设每辆A型大巴车需x元，每辆B型大巴车需y元，

根据题意得：，

解得：

答：每辆A型大巴车需500元，每辆B型大巴车需300元；

设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，

根据题意得：，

解得：，

又为正整数，

可以为10，11，12，

该校共有3种租车方案，

方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；

方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；

方案3：租用12辆A型大巴车，8辆B型大巴车；

采用租车方案1所需费用为元；

采用租车方案2所需费用为元；

采用租车方案3所需费用为元

，

采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元．

【解析】设每辆A型大巴车需x元，每辆B型大巴车需y元，根据“租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案；

利用总租金=每辆A型大巴车的租金租用A型大巴车的数量+每辆B型大巴车的租金租用B型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的