河北省2024八年级数学上册第11章三角形专项突破练1三角形的倒角模型课件新版新人教版

第十一章三角形专项突破练1三角形的倒角模型类型1

8字形模型1.

如图，

AB

和

CD

相交于点

O

，∠

A

＝∠

C

，则下列结论

中不能完全确定正确的是(

D

)A.

∠

B

＝∠

D

B.

∠1＝∠

A

＋∠

D

C.

∠2＞∠

D

D.

∠

C

＝∠

D

D234567891012.

【学科素养·模型观念】如图①，已知线段

AB

，

CD

相交

于点

O

，连接

AC

，

BD

，我们把形如这样的图形称为“8

字形”.(1)求证：∠

A

＋∠

C

＝∠

B

＋∠

D

；(1)证明：在△

AOC

中，∠

A

＋∠

C

＝180°－∠

AOC

.

在△

BOD

中，∠

B

＋∠

D

＝180°－∠

BOD

.

∵∠

AOC

＝∠

BOD

，∴∠

A

＋∠

C

＝∠

B

＋∠

D

.

234567891012.

【学科素养·模型观念】如图①，已知线段

AB

，

CD

相交于点

O

，

连接

AC

，

BD

，我们把形如这样的图形称为“8字形”.(2)如图②，若∠

CAB

和∠

BDC

的平分线

AP

和

DP

相交于点

P

，与

CD

，

AB

分别相交于点

M

，

N

.

①以线段

AC

为边的“8字形”有

个，以点

O

为交点的“8字形”有

个；3

4

②若∠

B

＝100°，∠

C

＝120°，求∠

P

的度数.(2)解：②∵在△

AMC

和△

DMP

中，∠

C

＋∠

CAM

＝∠

P

＋∠

PDM

，在△

BDN

和△

PAN

中，∠

B

＋∠

BDN

＝∠

P

＋∠

PAN

，23456789101∴∠

C

＋∠

CAM

＋∠

B

＋∠

BDN

＝∠

P

＋∠

PDM

＋

∠

P

＋∠

PAN

＝2∠

P

＋∠

PDM

＋∠

PAN

.

∵

AP

平分

∠

BAC

，

DP

平分∠

BDC

，∴∠

CAM

＝∠

PAN

，∠

BDN

＝∠

PDM

，∴∠

C

＋∠

B

＝2∠

P

，即120°＋100°＝2∠

P

，∴∠

P

＝110°.23456789101类型2飞镖模型3.

如图，∠

ABD

，∠

ACD

的平分线交于点

P

，若∠

A

＝

48°，∠

D

＝10°，则∠

P

的度数为(

A

)A.19°B.20°C.22°D.25°A234567891014.

[2023秦皇岛期中]一个零件的形状如图中阴影部分.按规

定∠

A

等于90°，∠

B

，∠

C

分别等于29°和21°的零件

是合格零件，检验人员量得∠

BDC

＝141°，就断定这个

零件不合格.你能说明理由吗？23456789101解：理由：如图，延长

BD

交

AC

于点

E

.

根据三角形的外

角性质可知，∠

CED

＝∠

A

＋∠

B

，∠

BDC

＝∠

CED

＋

∠

C

，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝90°＋29°＋21°＝140°，∴检验人员量得∠

BDC

＝141°，可断定这个零件不

合格.234567891015.

【新考向·开放性问题】如图，在四边形

ABCD

中，∠

A

＝55°，∠

B

＝30°，∠

D

＝20°，求∠

BCD

的度数.下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三

种方法：方法一：作射线

AC

；方法二：延长

BC

交

AD

于点

E

；方法三：连接

B

D.

请选择上述一种方法，求∠

BCD

的度数.23456789101解：选择方法一：如图①，作射线

AC

并在线段

AC

的延

长线上任取一点

E

.

∵∠

BCE

是△

ABC

的外角，∴∠

BCE

＝∠

B

＋∠

BAE

.

同理可得∠

DCE

＝∠

D

＋∠

DAE

，∴∠

BCD

＝∠

BCE

＋∠

DCE

＝∠

B

＋∠

BAE

＋∠

D

＋∠

DAE

＝∠

B

＋∠

BAD

＋∠

D

.

∵∠

BAD

＝55°，∠

B

＝30°，∠

D

＝20°，∴∠

BCD

＝105°.23456789101∵∠

BED

是△

ABE

的外角，∴∠

BED

＝∠

B

＋∠

A

.

同理可得∠

BCD

＝∠

BED

＋∠

D

，∴∠

BCD

＝∠

B

＋

∠

A

＋∠

D

.

∵∠

A

＝55°，∠

B

＝30°，∠

D

＝20°，

∴∠

BCD

＝105°.选择方法二：如图②，延长

BC

交

AD

于点

E

.

23456789101选择方法三：如图③，连接

BD

.

在△

ABD

中，∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ADB

＝180°，∴∠

A

＋∠

ABC

＋∠

CBD

＋∠

ADC

＋∠

BDC

＝180°，∴∠

A

＋∠

ABC

＋∠

ADC

＝

180°－∠

CBD

－∠

BDC

.

在△

BCD

中，∠

BCD

＝

180°－∠

CBD

－∠

BDC

，∴∠

BCD

＝∠

A

＋∠

ABC

＋

∠

ADC

.

∵∠

A

＝55°，∠

ABC

＝30°，∠

ADC

＝20°，

∴∠

BCD

＝105°.23456789101类型3角内翻模型6.

把△

ABC

沿

EF

对折，折叠后的图形如图所示，∠

A

＝

60°，∠1＝96°，则∠2的度数为(

B

)A.30°B.24°C.25°D.26°B234567891017.

如图，将△

ABC

纸片沿

DE

折叠，使点

A

落在点A'处，且

BA'平分∠

ABC

，CA'平分∠

ACB

，若∠BA'C＝120°，

则∠1＋∠2的度数为(

D

)A.90°B.100°C.110°D.120°D234567891018.

【新考法·操作探究】如图，在△

ABC

中，∠

C

＝46°，

将△

ABC

沿直线

l

折叠，使点

C

落在点

D

的位置，则∠1

－∠2的度数是(

B

)A.23°B.92°C.46°D.

无法确定B234567891019.

【思想方法分类讨论】[2024邢台期末]如图，在△

ABC

中，∠

A

＝64°，∠

B

＝90°，∠

C

＝26°.点

D

是

AC

边上的定点，点

E

在

BC

边上运动，沿

DE

折叠△

CDE

，

点

C

落在点

G

处.当△

DEG

的三边与△

ABC

的三边有一

组边平行时，∠

ADG

＝

⁠

⁠.26°或38°或52°或64°或

116°或142°

23456789101点拨：如图①，当

DE

∥

AB

时，

DE

⊥

CG

.

∵∠

DGC

＝∠

C

＝26°，∴∠

ADG

＝∠

DGC

＋∠

C

＝52°.如图②，当

DG

∥

AB

，且点

G

在

BC

下方时，∠

ADG

＝

180°－∠

A

＝180°－64°＝116°.23456789101如图④，当

EG

∥

AC

时，∠

ADG

＝∠

G

＝∠

C

＝26°.如图③，当

DG

∥

BC

时，∠

ADG

＝∠

C

＝26°.23456789101如图⑤，当

EG

∥

AB

，且点

G

在

BC

上方时，∠

CFE

＝

∠

A

＝64°，∠

CEG

＝∠

B

＝90°.由折叠的性质可知，

∠

DEG

＝∠

DEC

＝45°，∠

EDG

＝∠

CDE

，∴∠

EDF

＝∠

C

＋∠

DEC

＝26°＋45°＝71°，∴∠

CDE

＝180°－∠

EDF

＝109°，∴∠

ADG

＝∠

EDG

－∠

EDF

＝∠

CDE

－∠

EDF

＝109°－71°＝38°.23456789101如图⑦，当

EG

∥

AB

，且点

G

在

BC

下方时，∠

GEB

＝∠

B

＝90°，∴∠

CEG

＝90°.如图⑥，当

DG

∥

AB