第02讲平面向量基本定理及坐标表示精练

第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精练）一、单选题1．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A解：依题意，所以，即，所以；故选：A2．在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：延长、交于点，则、、三点共线，于是可得，因为且，所以，所以，故；故选：A3．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】A因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，所以,故选：A4．已知向量，若，则实数的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A因为，所以，.因为，所以，解得：.故选：A5．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C如图，连接AO，由O为BC的中点可得，∵M，O，N三点共线，则即故选：C6．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（

）A．为常数 B．的最小值为C．的最小值为 D．、的值可以为，【答案】B如下图所示：由，可得，，若，，，则，，，、、三点共线，，，故A正确；所以，时，也满足，则D选项正确；，当且仅当时，等号成立，C选项成立；，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.故选：B二、多选题7．如图，在中，分别是边上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是（

） B． C． D．【答案】ABD【详解】解：由三角形重心性质得，所以，A正确；因为，B正确；由重心性质得，，C错误；因为，所以，即，D正确．故选：ABD．8．如图，在四边形中，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法正确的是（

）A． B．若为线段的中点，则C．的最小值为 D．的最大值比最小值大【答案】ABD【详解】解：如图1，补全图形，则在直角中，，则，，，又，所以，A正确；故以点为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，如图2.所以，，所以，当为线段的中点时，，此时，故由得，解得，故，B正确；，所以当时，取得最小值，故C错误；，故由得，故当时，取得最小值，时，取得最大值，故，D正确.故选：ABD三、填空题9．若，则与同方向的单位向量是______．【答案】由已知，，所以与同方向的单位向量是．故答案为：10．若是直线外一点，为线段的中点，，，则______．【答案】因为为线段的中点，所以，所以，又因为，所以，所以．故答案为：.11．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为________.【答案】－因为，所以.又E，F，K三点共线，所以，解得：λ＝－.故答案为：－12．已知向量，，，若，则的最小值___________．【答案】，，∴，当且仅当时取等号.故答案为：.四、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E．(1)若，求和的值；(2)用向量表示．【答案】(1)，(2)(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，所以所以，所以解得(2)设，因为，所以．解得，即，所以，又因为M，E，N三点共线，所以，所以﹒14．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．(1)试用向量，表示；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为5.(1)设，由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，则，因为，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，则，又，所以，