专题07三角形中的组合图形问题（第一篇）（原卷版）

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题07三角形中的组合图形问题类型对应典例以两个三角形组合考查解三角形问题典例1以两个三角形组合的考查解三角形的开放性问题典例2以梯形为背景考查解三角形典例3以平面四边形为背景考查解三角形的最值问题典例4以半圆和四边形组合而成考查解三角形典例5以三角形嵌套三角形为背景考查解三角形典例6以五边形为背景考查解三角形典例7【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.【思路引导】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积【典例2】【山东省日照市20192020学年高三下学期1月校际联考】在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【思路引导】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】如图，在梯形中，，为上一点，，.（1）若，求；（2）设，若，求.【思路引导】(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；(2)先由，表示出，进而可用表示出，，再由，即可求解.【典例4】【广东省2019届高三上学期期末联考】如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.【思路引导】(1)由正弦定理将化为，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出的长，将平面四边形的面积转化为两三角形与面积之和，即可求解.【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】如图，半圆O的直径，点C，P均在半圆周上运动，点P位于C，B两点之间，且.（1）当时，求的面积.（2）求四边形ABPC的面积的最大值.【思路引导】（1）根据已知条件求出，再利用面积公式即可；（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值.【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】如图所示，正三角形的边长为2，分别在三边和上，为的中点，．（Ⅰ）当时，求的大小；（Ⅱ）求的面积的最小值及使得取最小值时的值．【思路引导】第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.（1）求服务通道的长度；（2）当时，赛道的长度？【思路引导】（1）连接，在中，由余弦定理可得，由等腰三角形的性质结合可得，再由勾股定理可得结果；（2）在中，，，，直接利用正弦定理定理可得结果.【针对训练】1.【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】如图，在中，，，，，D在边上，连接.（1）求角B的大小；（2）求的面积.2.【天一大联考皖豫联盟20192020学年高中毕业班第二次考试】如图所示，在平面四边形中，.（1）若，，求的长；（2）若，，求的面积.3.【2020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.（1）求的值.（2）如图，点D在线段AC上，且，若，求面积的最大值.4.【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】如图，在四边形中，,平分,，,的面积为，为锐角.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.5.【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在①;②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知，.(1)求;(2)如图，为边上一点，，求的面积6.【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】如图，在平面四边形中，，设.（1）若，求的值；（2）用表示四边形的面积，并求的最大值.7.【湖北省宜昌市20192020学年高三期末数学】已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）在中，，为边的中点，为边上一点，且，，求的面积.8.【内蒙古呼和浩特市20192020学年高三上学期质量普查调研】（1）当时，求证：；（2）如图，圆内接四边形的四个内角分别为、、、.若，，，.求的值.9.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.10.【北京市房山区20192020学年高三上学期期末】如图，在平面四边形中，，，，，.（1）求的值；（2）求，的值.11.【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质