专题51全真模拟卷01

绝密★启用前专题5.1全真模拟卷01数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足，则A． B．C． D．【试题来源】安徽省安庆市怀宁中学20212022学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】因为，所以两个等式相加得，，所以．故选A．2．集合，，则A． B．C． D．【试题来源】北京市顺义区2022届高三上学期期末【答案】B【解析】，，．故选B．3．数列的通项公式为，其前项和为，则=A． B．C． D．【试题来源】内蒙古海拉尔第二中学20212022学年高三上学期期末考试【答案】B【解析】数列的通项公式为，，可知每四项之和为0，故得到，故选B.4．在的展开式中，x的系数为A．160 B．80C． D．【试题来源】四川省广安市20212022学年高三上学期第一次诊断考试【答案】C【解析】的展开式的通项为令，解得，所以的展开式中，x的系数为，故选C5．已知在中，点D是边AB上的点，且，，则的值为A． B．C． D．【试题来源】四川省成都市石室中学20212022学年高三上学期一诊考试【答案】A【解析】因为，则，所以，即．设，则，．在中，由余弦定理，得，所以．在中，由正弦定理，得，故．故选A．6．定义在R上的偶函数满足，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是A．10 B．8C．6 D．4【试题来源】吉林省双辽市一中、大安市一中、通榆县一中等重点高中20212022学年高三上学期期末联考【答案】A【解析】如图所示，与在区间上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线对称，所以在区间上的所有零点的和是10．故选A．7．设抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则线段的中点到y轴的距离为A．1 B．2C．4 D．5【试题来源】安徽省芜湖市20212022学年高三上学期期末【答案】C【解析】如图所示，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，设的中点为，作，垂足为，交轴于点，因为，根据抛物线的定义可得，因为为线段的中点，可得，又由抛物线，可得，所以，即线段的中点到y轴的距离为．故选C．8．若，则A． B．C． D．【试题来源】吉林省双辽市一中、大安市一中、通榆县一中等重点高中20212022学年高三上学期期末联考【答案】B【解析】因为，所以，即．令，则，所以，即．因为，令，，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以在上单调递增．又，所以．故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列说法正确的是A．若的最小正周期是，则B．当时，的一个对称中心为C．当时，D．若在区间上单调递增，则的取值范围为【试题来源】山东省潍坊市20212022学年高三上学期学科核心素养测评【答案】BCD【解析】对于A．若函数的最小正周期是2π，则，解得，所以选项A错误；对于B，时，函数，则，所以是f（x）的一个对称中心，选项B正确；对于C，时，函数，且，，由，得，所以，选项C正确；对于D，令，，因为f(x)在区间上单调递增，所以，解得，又ω＞0，所以，即的取值范围是，选项D正确．故选BCD．10．如图所示，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为；点处标签为1，记为；点处标签为2，记为；点处标签为1，记为；点处标签为0，记为以此类推，格点处标签为，记，则A． B． C． D．【试题来源】辽宁省大连市20212022学年高三上学期期末【答案】AD【解析】由题意得，第一圈从到共8个点，由对称性可得，第二圈从到共16个点，由对称性可得，根据归纳推理可得第n圈共有8n个点，这8n项的和也是0，设在第n圈，则，且，由此可知前22圈共有2024个点，即，且对应点为，所以对应点为，对应点为，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；由图可得对应点为（1，3），所以，故C错误；因为，又对应点为（n，n），所以，对应点为（n1，n），所以对应点为（1，n），所以所以，故D正确．故选AD11．已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有A． B．C． D．【试题来源】广东省潮汕地区精英名校2022届高三第一次联考【答案】ACD【解析】设，，，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示： A B C D观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意．故选ACD12．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是A．当时，B．C．若，则实数m的最小值为D．若有三个零点，则实数【试题来源】山东省潍坊市20212022学年高三上学期学科核心素养测评【答案】BC【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，由得当时，，则，所以，同理，当时，，以此类推，可得到的图象如下图所示，对于A，根据上述规律，当时，，所以A错误，对于B，根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，B正确，对于C，根据图象，当时，，由图可得C正确，对于D，有三个零点，等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象恒过点的直线，如图所示，当函数与的图象相切时，有三个交点，相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，所以有三个零点时，，所以D错误，故选BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则______________．【试题来源】吉林省双辽市一中、大安市一中、通榆县一中等重点高中20212022学年高三上学期期末联考【答案】【解析】因为，所以，所以．故答案为14．已知函数恰有三个不同的零点，则这三个零点之和为______________．【试题来源】四川省绵阳第一中学2021届高三一诊适应性考试【答案】5【解析】令，由对勾函数可知或，所以有三个零点等价于关于的方程有两解，且其中一解为或，另一解大于或小于．当不合题意，所以，则得．若，则该方程无解，不合题意．所以，所以，，当，此时不符合题意，当，此时，解得，由，当，解得，当整理所以，所以．故答案为15．已知双曲线的左、右焦点分别、，为渐近线上一点，为坐标原点，且，的面积为，则双曲线的离心率为______________．【试题来源】安徽省马鞍山市20212022学年高三上学期一模【答案】【解析】不妨设点为第一象限内的点，则，，可得，则，即点，因此，，即，故，因此，双曲线的离心率为．故答案为．16．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为______________．【试题来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测【答案】【解析】因为球的体积为，故球的半径满足，故，而，，，故，故，故，设到平面的距离为，则，故，故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面在球心的异侧时，有最大值，设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则，故球心到平面的距离为，故截面圆的半径，设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点，当最长时最长，此时，故长度的最大值为，故答案为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，证明：数列{c，}的前n项和．【试题来源】山西省运城市2022届高三上学期期末【答案】（1）；，（2）证明见解析【解析】（1）设正项等差数列的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，所以或（舍去），所以；因为，所以当时，所以，当时，，所以，所以是一个以为首项，以为公比的等比数列，所以；（2）所以，因为，所以．18．（12分）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知，．（1）求角A及的值；（2）若D为AB边上一点，且，，求的面积．【试题来源】山西省吕梁市2022届高三上学期第一次模拟【答案】（1），，（2）【解析】（1）由已知得，因，所以，因为，由正弦定理得，，所以，即，（2）由（1）得，在中，由正弦定理得，，所以，，所以，又，所以，所以．19．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数（1）从这名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．①恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？②设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（2）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望．【试题来源】北京市门头沟区2022届高三上学期期末调研【答案】（1）①；②分布列见解析，；（2）0.2【解析】（1）①20名学生中随机抽取两名学生共有，设恰好2名学生都来自同一班级共有，．②可取0，1，2，，，的分布列为012的期望，（2）可取0，1，2，，所以．20．（12分）如图，在直三棱柱中，．（1）证明：；（2）设，若二面角的大小为，求．【试题来源】江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）20212022学年高三上学期期末联考【答案】（1）证明见解析．（2）．【解析】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，所以四边形是正方形．连接，则，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以．（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，设，则，设，则设平面的法向量为，则即得，取，则平面的一个法向量为，考虑向量，满足所以是平面的一个法向量，因为二面角的大小为，所以，解得．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是短轴的一个端点，且为等腰直角三角形，．（1）求椭圆的方程；（2）设过的直线与交于，两点，是线段的中点，过点的直线的方程为，直线与交于点，求证：为定值．【试题来源】河南省豫南地区2022届高三下学期2月联考【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）设，则，即；由为等腰直角三角形，得，所以，所以椭圆的方程为．（2）由直线过焦点，当时，得直线的方程为，代入，并结合整理，得，设，则，设，则，结合，得，所以直线的方程为，由解得即，所以，即，当时，中点为，即，直线与交点坐标为，由此时轴知，故为定值．22．（12分）已知函数为自然对数的底数（1）求在处的切线方程；（2）当时，，求实数的最大值；（3）证明：当时，在处取极小值．【试题来源】江苏省泰州市20212022学年高三上学期期末【答案】（1）（2）.（3）证明见解析【解析】