专题34幂函数（知识点讲解）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）(原卷版)

专题3.4幂函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与不等式、方程等问题结合，考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．【知识点展示】1.幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.2.常见的5种幂函数的图象幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．3.常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇4.幂函数的几个结论对于形如(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．【常考题型剖析】题型一幂函数的概念例1.（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．例2．（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3例3.（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.【特别警示】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，题型二：幂函数的图象和性质例4.（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且例5.（2021·全国·高三专题练习）如图是幂函数的部分图象，已知取，，，这四个值，则与曲线，，，相对应的依次为（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，例6.【多选题】（2020·福建福州·高三阶段练习）若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数例7.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的有（

）A． B．C．y＝x2－1 D．y＝x3【规律方法】幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．题型三：幂函数图象和性质的应用例8.（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例9．【多选题】（2022·重庆市育才中学模拟预测）若a＞b＞0＞c，则(

)A． B． C． D．例10．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例11.（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（

）A． B．1 C． D．2例12.（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.例13.（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②当时，；③；例14.（2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．【总结提升】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．第一步，据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；0<a<1，α>0时0<aα<1；a>1，α<0时0<aα<1；0<a<1，α<0时，aα>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．2．给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．第四步：对于底数与指数均不相同的幂